2022-2023学年湖北省武汉一初慧泉中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉一初慧泉中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在平面直角坐标系中，点到原点的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6.  根据下列条件不能判定三角形是直角三角形的是(    )

A.  B.
C. ，， D.

7.  下列命题的逆命题是真命题的是(    )

A. 等边三角形是锐角三角形 B. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等
C. 两直线平行，同位角相等 D. 如果两个角是直角，那么它们相等

8.  已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为，，，正放置的四个正方形的面积为、、、，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图在▱中，，，点关于的对称点为，连接交于点，点为的中点，连接，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  ______．

12.  如图，数轴上点、表示的数分别为、，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点所对应的数是______ ．

13.  如图，▱的对角线，交于点，且，，则的周长为______ ．

14.  如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形若，，则四边形的面积是______ ．

15.  如图，一架米长的梯子靠在一竖直的墙上，此时梯子底部离墙面米若梯子的顶部滑下米，则梯子的底部向外滑出距离为______ 米

16.  如图，点是线段上的一个动点，，且，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
 

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，矩形是一个底部直径为的杯子的示意图，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子漏出杯子外，当筷子倒向杯壁时筷子底端不动，筷子顶端正好触到杯口，求筷子的长度．

20.  本小题分
如图，在四边形中，点、在上，且，，．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，，则 ______ ．

21.  本小题分
作图：
直接写出的长为______ ；
找到格点，画出以点、、、为顶点且周长最小的平行四边形；
画的角平分线；
直接写出的面积是______ ．

22.  本小题分
计算： ______ ， ______ ；
已知，求代数式的值；
比较大小： ______ ．

23.  本小题分
如图，在中，，，，则与的数量关系是______ ，与延长线的夹角 ______ ；
如图，四边形中，，，，连接，猜想、、之间的数量关系，并证明你的猜想；
如图，四边形中，，，，，，请直接写出的长为______ ．
 

24.  本小题分
如图，平面直角坐标系中，，且，点坐标为．
若、满足，请直接写出、的值及点坐标；
如图，点为线段上一点，在延长线上且，线段交轴于点，连，若求证：；若，则 ______ ．
如图，线段交轴于点，将沿翻折得，过点作交于点，以、为边作如图所示的▱，试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：点的坐标是，
点到原点的距离是：．
故选：．
根据点坐标，直接利用勾股定理可求解点到原点的距离．
本题考查的勾股定理，掌握“已知两点坐标求解两点之间的距离”是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，不是最简二次根式；
B、，不是最简二次根式；
C、，不是最简二次根式；
D、是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式可进行求解．
本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的条件是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：．与不是同类二次根式，不能计算，故不符合题意；
B.，计算错误，故不符合题意；
C.，计算错误，故不符合题意；
D.，计算正确，故符合题意．
故选：．
根据二次根式的减法、乘法可进行求解．
本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项A符合题意；
B、，，
四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、，，
四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、，，
四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：：：：：，，
最大角，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.：：：：，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，，，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，，
，
，
，不能求出的一个角是直角，
即不一定是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理即可判断选项B和选项C，根据三角形的内角和定理即可判断选项A和选项D．
本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，三角形的内角和等于，如果三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

7.【答案】 

【解析】解：、等边三角形是锐角三角形的逆命题是锐角三角形是等边三角形，是假命题，不符合题意；
B、如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，是假命题，不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；
D、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命题，不符合题意；
故选：．
分别写出各个命题的逆命题，根据等边三角形的概念、实数的平方、平行线的判定定理、直角的概念判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
故选：．
先求出，，再把所求式子通分后整体代入求值．
本题考查二次根式的相关的求值，解题的关键是整体思想的应用．
 

9.【答案】 

【解析】解：
相邻的两个直角三角形全等，即≌，
，，
根据勾股定理的几何意义可知：，
同理：，，
，故选C．
观察图形根据勾股定理的几何意义，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．
本题考查了勾股定理的知识，其包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，取中点，连接，连接交于，作交的延长线于．

，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，，




故选：．
如图，取中点，连接，连接交于，作交的延长线于构建计算即可；
本题考查平行四边形的性质、轴对称图形、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线没工作直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
根据二次根式的基本性质进行解答即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：数轴上点、表示的数分别为、，
，，
以点为圆心，长为半径画弧，交于点，
，
过点作，
，
在中，由勾股定理得，
，
以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，
，
点对应的数为，
故答案为：．
根据题意求出的长，再根据勾股定理求出的长，由题意知，，即可得出结果．
本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
的周长，
故答案为：．
由平行四边形的性质可得，，，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作，，垂足分别为，，连接、交于点．

纸条的对边平行，即、，
四边形是平行四边形，
与的面积相等．
纸条的宽度相等，即，
，
四边形是菱形．
，
，，
，
，，
，
．
故答案为：．
由、，可知四边形为平行四边形，过点作于点，于点，连接、交于点；由平行四边形的对角线将平行四边形分为两个面积相等的三角形，结合两纸条的宽度相等可以得到；接下来判断出四边形的形状，然后求出对角线的长度，问题便不难解答．
本题主要考查的是菱形的性质和判定、含度直角三角形的性质及勾股定理，正确作出辅助线是解答的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
与都是直角三角形，
米，米，
根据勾股定理得：米，
米，
米，
根据勾股定理得：米，
梯子的底部向外滑出距离为：米，
故答案为：．
先根据勾股定理求出米，再求出米，然后根据勾股定理求出米，最后求出梯子的底部向外滑出距离即可．
本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，求出下滑后梯子底部距离墙面的距离．
 

16.【答案】 

【解析】解：作点关于线段的对称点，连接，，交于点，连接，过点作，交的延长线于点，过点作于点，如图所示：

由轴对称的性质可知：，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
当点与点重合时，则的最小值即为的长，
，
，
，
，，
，
，
，
，即的最小值为；
故答案为：．
作点关于线段的对称点，连接，，交于点，连接，过点作，交的延长线于点，过点作于点，由题意易得，则有，然后可得四边形是平行四边形，进而可得，最后问题可求解．
本题主要考查轴对称的性质、平行四边形的性质与判定、勾股定理及含度直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、平行四边形的性质与判定、勾股定理及含度直角三角形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】先化简，再算加减即可；
先化简，再算乘法与除法，最后算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

19.【答案】解：设杯子的高度是，则筷子的高度为，
杯子的直径为，
，
在中，由勾股定理得：
，
解得，
筷子． 

【解析】设杯子的高度是，则筷子的高度为，在中，利用勾股定理列出方程：，解方程即可．
本题主要考查了勾股定理的应用，运用方程思想是解题的关键，属于常考题．
 

20.【答案】 

【解析】证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，，
，
，，
，
，
，
即，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
根据平行线的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可；
由题意易得，根据勾股定理得出，进而利用三角形面积公式及勾股定理解答即可．
本题主要考查平行四边形的判定与性质及勾股定理，利用全等三角形的性质和平行四边形的判定是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：由图可知：；
故答案为：；
由图可知：，，
，
当以，为边构成的平行四边形周长最小；
所作图形如下：

的角平分线如图所示；

，
连接，取的中点，然后连接点与这个中点，则根据等腰三角形的“三线合一”可知平分；
由图可知：

．
故答案为：．
根据勾股定理可进行求解；
根据勾股定理求出，的长，然后根据平行四边形的性质可进行求解；
根据等腰三角形的性质可进行求解；
根据等积法及割补法可求解三角形的面积．
本题主要考查平行四边形的判定、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定、等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
 

22.【答案】     

【解析】解：；
故答案为：，；
，
，
；
，
；
故答案为：．
根据二次根式的分母有理化可进行求解；
直接把的值代入求解即可；
由题意得，进而问题可求解．
本题主要考查二次根式的运算及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算及分母有理化是解题的关键．
 

23.【答案】    

【解析】解：与的数量关系：，，理由如下：
，
，
，
在和中：
，
≌，
，
故BD与的数量关系：；
≌，
，
即：，
在中：





．
故答案为：，．

，理由如下：

如图，将绕点顺时针旋转，连接、，
，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
在和中：
，
≌，
，，
，
，
，
，
在中，，
．

如图，将绕点顺时针旋转，连接、，延长交于，

，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，，
，
在和中：
，
≌，
，，
，
，
，
设，，则有，
，
在中，，
，
在中，，
，
由解得，
，
，
在中，，
故答案为：．
证明≌即可；
由的证明方法可知：将绕点顺时针旋转，连接、，证明≌，再为直角三角形，用勾股定理即可；
由的证明方法可知：将绕点顺时针旋转，连接、，延长交于，再证明，用勾股定理即可求解．
本题属于四边形综合题，主要考查了三角形全等及性质、勾股定理在旋转中典型模型“手拉手”的综合应用，掌握典型模型的解决方法是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：，
，，
解得，，
点的坐标为．

过点作轴于点，过点作轴于点，
，且，
，，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
点在第四象限，
点的坐标为．
连接，
，，
直线是线段的垂直平分线，
，；
，，
，
；
，且，
，

，，
，
，
．
过点作于点，根据得，，
在和中，
，
≌，
，
设，
，，
，，
，且，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
，且，沿翻折得，
，，，
，
过点作轴于点，过点作轴于点，
则四边形是矩形，
，，
点坐标为，
，，，
过点作轴于点，交的延长线于点，
则四边形是矩形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
四边形是正方形，
，
过点作于点，交于点，
则四边形是矩形，
，，
设，，
则，，
，
，
解得，
，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理，得，
四边形是平行四边形，
，
．
利用实数的非负性，确定、的值；利用三角形全等，旋转的性质确定点的坐标．
连接，证明直线是线段的垂直平分线，结合三角形外角性质，证明即可．
过点作于点，证明≌，得到，设，证明，证明，列比例式求解即可．
利用三角形全等，勾股定理，平行线分线段成比例定理，证明即可．
本题考查了实数的非负性，三角形全等的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，熟练掌握三角形全等的判定，勾股定理，平行线分线段成比例定理是解题的关键．