2022-2023学年安徽省亳州市涡阳县八年级（下）期中数学试卷（人教版）（含解析）

2022-2023学年安徽省亳州市涡阳县八年级（下）期中数学试卷（人教版）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  正方形的面积是，则它的对角线长是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，▱的对角线，交于点，若，，则的长可能是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列三条线段中，不能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

6.  如图，在网格中，点，，都是格点网格线的交点，则的形状是(    )

A. 等腰直角三角形
B. 等腰三角形
C. 直角三角形
D. 等边三角形

7.  如图，在▱中，，连接，作交延长线于点，过点作交的延长线于点，且，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知是的边上的高，若，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，已知：平行四边形中，于，，，的平分线交于，连接则的度数等于(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  函数中，自变量的取值范围是______ ．

12.  如图，在平行四边形中，：为：，取长边的中点，，则 ______ ．

13.  如图所示，在中，是的中点，平分，于点，且，，则 ______ ．

14.  如图，点在长方形的边上，将长方形纸片沿折叠时，顶点与边上的点重合．
若，，则 ______ ；
若点恰好是的中点，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
如图，，是▱的对角线上两点，且，求证：．

17.  本小题分
一条东西走向的公路上有，两个站点视为直线上的两点相距，，为两村庄视为两个点，于点，于点如图，已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库，使得，两村庄到储藏仓库的直线距离相等，请求出储藏仓库到站点的距离精确到

18.  本小题分
如图，在网格中，已知格点顶点为网格线的交点．
以为一边，画一个与全等的格点；
求证：≌．

19.  本小题分
如图，作直角边为的等腰，则其面积；以为一条直角边，为另一条直角边作，则其面积；以为一条直角边，为另一条直角边作，则其面积，则 ______ ；
请用含有是正整数的等式表示，并求的值．

20.  本小题分
如图，已知、分别是▱的边、上的点，且．
求证：四边形是平行四边形；
在中，若，，，求边上的高．

21.  本小题分
已知，求：
的值；
的值．

22.  本小题分
为了证明勾股定理，李明将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点、、在同一条直线上，如图，请利用此图证明勾股定理；
如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒，若点在的平分线上，求此时的值．
 

23.  本小题分
中，、分别是，的中点，是内任意一点，连接、．

如图，点、分别是、的中点，连接，，，，求证：四边形是平行四边形；
如图，若点恰为和交点，求证：，；
如图，若点恰为和交点，射线与交于点，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，分母中不含有根号，即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意．
故选：．
根据二次根式的运算法则，逐项判断即可求解．
本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，熟记定理和性质是解题的关键．
设正方形的对角线为，然后根据勾股定理列式计算即可得解．
【解答】
解：设正方形的对角线为，
正方形的面积是，
边长为，
由勾股定理得，．
故选C．  

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
在中：，
即，
的长可能为．
故选：．
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得出的取值范围，进而得出结论．
本题考查的了平行四边形的性质和三角形的三边关系．解题时注意：平行四边形对角线互相平分；三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，，
，
能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
不能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、，，
，
能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
是等腰直角三角形．
故选：．
先根据勾股定理求出三角形三边长的平方，再由勾股定理的逆定理进行判断即可．
本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定等知识，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
；
故选：．
证明四边形是平行四边形，得出，证出，求出，得出，即可得出的长．
本题考查了平行四边形的性质与判定、直角三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，
，
．
故选：．
根据，然后代入计算可得答案；
此题考查的是完全平方公式及二次根式的化简求值，能够利用完全平方公式进行变形是解决此题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：当在内部时，如图，
，，，，
，，
，
当在外部时，如图，
，，，，
，，
，
的长是或．
故选：．
分两种情况，由勾股定理求出，的长即可解决问题．
本题考查勾股定理，关键是要分两种情况讨论．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，求得，于是得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于，可以求出的范围．
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

12.【答案】 

【解析】解：：为：，为 的中点，
，
四边形为平行四边形，
，，，
，，
，
，
．
故答案为：．
先证明，再根据平行四边形得到，，，从而得到，，进而得到，即可求出．
本题考查了平行四边形的性质的等腰三角形的性质，熟知平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于点．

，平分，
，．
在与中，
，
≌，
，，
是的中点．
是的中点，
是的中位线，
．
故答案是：．
延长交于点，易得≌，利用全等三角形的性质可得，是的中点，则可得是的中位线，从而可求出的长．
本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线．
 

14.【答案】  

【解析】解：由折叠的性质可知≌，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
故答案为：；
由折叠的性质可知≌，
，
点是的中点，
，
在中，，
，
，
，
．
故答案为：．
由折叠的性质可知≌，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理即可求出线段的长度，即可得的长度；
由折叠的性质可知≌，根据全等三角形的性质可知，由点恰好是的中点得，在中，利用勾股定理可得出，即可得出答案．
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理的运用以及翻折变换前后的两个图形全等的性质，掌握翻折变换的性质，利用勾股定理求解是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式


，
当时，
原式



． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
 

16.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】证≌，得，则，再由平行线的判定即可得出结论．
本题考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及平行线的性质与判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

17.【答案】解：、两村到储藏仓库的直线距离相等，
，
，，
，
在和中，由勾股定理得：，，
，
设，则，
，
解得：，
答：储藏仓库到站点的距离约为． 

【解析】由题意得，再由勾股定理得，设为，则，得方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图即为所求；

证明：由题意，，
在和中，
，
≌． 

【解析】根据全等三角形的判定画出图形即可；
利用勾股定理，根据证明三角形全等．
本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键或是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】 

【解析】解：，，，
，
故答案为：．
由知是正整数，



．
由、、，可以得到的值．
由可以推出，从而求出的值．
本题考查规律型：图形的变化类，勾股定理，关键是由勾股定理，三角形面积公式发现一般规律．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，且，
，
，
，
即，
四边形是平行四边形；
解：，，，
，
是边上的高，
，
，
即边上的高为． 

【解析】由平行四边形的性质得出，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
由勾股定理得，再由，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：，，
，，
则


；





． 

【解析】根据二次根式的乘法法则求出，根据二次根式的减法法则求出，根据提公因式法把原式变形，代入计算即可；
根据完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则是解题的关键．
 

22.【答案】解：，
，
，
；
过作的角平分线交于点，过作交于点，

，，，
，
，
平分，，，
，
，
，
，
，
点走过的路径为，
． 

【解析】通过三个直角三角形的面积等于大直角梯形的面积可以推导出勾股定理；
根据勾股定理，可得的长度，根据角平分线的性质，可得到的面积，通过面积可得的长度，就可求出值．
本题考查勾股定理的几何证明方法，通过勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积，来得到最后结果．
 

23.【答案】证明：，分别是的边，的中点，
是的中位线，
，，
同理：，，
，，
四边形是平行四边形；
取，中点，，连接，，，，

，，
由知，四边形是平行四边形，
，，
，；
在射线上截取，连接，，

，分别是，的中点，
是的中位线，
，即，
同理：，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；
取，中点，，连接，，，，根据平行四边形的性质即可即可求证；
在射线上截取，连接，，对边互相平行的四边形是平行四边形即可判定．
本题考查平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，解题的关键是掌握相关性质和判定，进行证明．