2023年高考第三次模拟考试卷-数学（新高考Ⅰ卷A卷）（全解全析）

2023年高考数学第三次模拟考试卷

 全解全析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．若集合，，则的元素个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】，，且，，

又，则，的元素个数为3个．故选：

2．设在复平面内对应的点为，则“点在第四象限”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

【答案】A

【解析】由题知，在复平面内对应的点为，

因为点在第四象限，即，

，即，或，

所以“点在第四象限”是“”的充分不必要条件，故选：A

3．已知是各项不相等的等差数列，若，且成等比数列，则数列的前6项和（    ）

A．84 B．144 C．288 D．110

【答案】A

【解析】设等差数列的公差为，由成等比数列，则，

即，整理可得，

由数列各项不相等，解得，即，，

故.故选：A.

4．已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，得，则，

即，则，

所以向量在向量上的投影向量的坐标为.故选：.

5．函数的部分图象大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为的定义域为R.定义域关于原点对称，

，

所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D，

当时，令可得或，

所以时，两个相邻的零点为和，

当时，，，，故排除选项A，故选：C.

6．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（    ）种．

A．20 B．4 C．60 D．80

【答案】C

【解析】先安排2名男生，保证每个小组都有男生，共有种分配方案；

再安排5名女生，若将每个女生随机安排，共有种分配方案，

若女生都在同一小组，共有种分配方案，

故保证每个小组都有女生，共有种分配方案；

所以共有种分配方案.故选：C.

7．刍(chú)甍(méng)是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．

已知一个刍甍底边长为，底边宽为，上棱长为，高为，则它的表面积是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】设几何体为，如下图所示：

矩形的面积为，

侧面为两个全等的等腰三角形、，两个全等的等腰梯形、，

设点、在底面内的射影点分别为、，

过点在平面内作，连接，

过点在平面内作，连接，

平面，、平面，，，

，，平面，

平面，，易知，，

则在中，斜高为，

所以，，

同理可知，梯形的高为，

所以，，

因此，该几何体的表面积为.故选：B.

8．如图，椭圆的左焦点为，右顶点为A，点Q在y轴上，点P在椭圆上，且满足轴，四边形是等腰梯形，直线与y轴交于点，则椭圆的离心率为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，做轴于点，

因为四边形是等腰梯形，则，

则点的横坐标为，代入椭圆方程，

可得，即，

因为，则，

由，则，

化简可得，，同时除可得，

即，

对于

当时，，当时，，

在时，方程有根，

且，故应舍，所以.故选:D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．如图为国家统计局于2022年12月27日发布的有关数据，则（    ）

A．营业收入增速的中位数为 B．营业收入增速极差为

C．利润总额增速越来越小 D．利润总额增速的平均数大于

【答案】ABD

【解析】由表中数据易知营业收入增速的中位数为，故选项正确；

营业收入增速的极差为，故选项正确；

利润总额增速2022年1-3月累计比2022年1-2月累计上升，故选项错误；

利润总额增速的平均数

，故选项正确；故选：.

10．甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用，，分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（    ）

A．，，两两互斥 B．

C．与B是相互独立事件 D．

【答案】AB

【解析】对于A，由题意可知，，不可能同时发生，所以，，两两互斥，所以A正确，

对于B，由题意可得，

所以，所以B正确，

对于C，因为，

，

所以，所以与B不是相互独立事件，所以C错误，

对于D，由C选项可知D是错误的，故选：AB

11．已知是双曲线的左、右焦点，是C上一点，若C的离心率为，连结交C于点B，则（    ）

A．C的方程为 B．

C．的周长为 D．的内切圆半径为

【答案】ABD

【解析】对A，将点A的坐标代入双曲线方程，并由 得下列方程组：

，解得，∴双曲线，A正确；

对B，，，，

，∴，B正确；

对C， ，

，，周长，C错误；

对D，令 ，则 ，  ，在 中，

，∴，设 的周长为l，内切圆半径为r，

，

由三角形面积公式知： ，

  ，D正确；

故选：ABD．

12．已知函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则下列结论中一定正确的是（    ）

A． B．  C． D．

【答案】ABD

【解析】因为为奇函数，定义域为R，所以，故，

等式两边同时取导数，得，即①，

因为的图象关于y轴对称，则，故，

等式两边同时取导数，得②.

由，令，得，解得，

由，令，得，

由②，令，得，

令，得，解得，故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若，则_____．

【答案】

【解析】令可得，则，

所以，，

所以，为展开式中的系数，

的展开式通项为，

所以，.

故答案为：.

14．若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则______.

【答案】   

【解析】设直线的方程为，即则点，

由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，

则，解得，所以，

因为，故.

故答案为：.

15．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值， 经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%）

参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．

【答案】

【解析】因为100个数据，，，…，的平均值，

方差，

所以的估计值为，的估计值为．

设该市高中生的身体素质指标值为X，

由， 得，

所以．

故答案为：.

16．已知函数.若，则a的取值范围是___________.

【答案】

【解析】当时，恒成立；

当时，此时应有，即.

令,，则.

设，则恒成立，

所以，即单调递增.

又，则要使在上恒成立，

应有在上恒成立，

即在上恒成立.

又时，，所以；

当时，此时应有，即.

令，则.

令，则恒成立，

所以，即单调递减.

又，则要使在上恒成立，

应有在上恒成立，即在上恒成立.

因为，在上单调递减，所以，所以.

综上所述，a的取值范围是.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．如图，在四边形中，已知，，．

（1）若，求的长；

（2）求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）在中，由余弦定理，得，

∴，整理得,

解得或（舍去）．

∴，

而,故,

∴，

故在中，

，

∴；

（2）设,则在中，,

则，

所以，

当，即时，面积取到最大值.

18．记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列.

（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）证明见解析；；（2）.

【解析】（1）∵，，

∴，，

设，则，，

又∵数列为等差数列，∴，

∴，

∴，

当时，，

∴，

∴，

又∵，

∴，即：，

又∵，∴是以1为首项，为公比的等比数列，

∴，即；

（2）∵，且，

∴，

∴

，

∴.

19．如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，，点在底面的射影为，且，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）若为线段上一点，且平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）证明：等腰梯形中，，，

作交于，如图，则是菱形，，

是等边三角形，则，，，

所以，即，

又，，平面，

所以平面，又平面，

所以平面平面；

（2）点在底面的射影为，由（1），得在上，且，

又，所以，而由（1）知，因此，

建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

则，

又，，所以，

设（），，

，，

设平面的法向量为，

则，

取，则，取平面的法向量，

，则（负值舍去），

即，，

设直线与平面所成的角为，则，

所以，直线与平面所成的角正弦值为.

20．第届亚运会将于年月日至月日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为、、，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．

（1）求这人中至多有人通过初赛的概率；

（2）求这人中至少有人参加市知识竞赛的概率；

(3)某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：

方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励元；

方案二：只参加了初赛的选手奖励元，参加了决赛的选手奖励元．

若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．

【答案】（1）；（2）；（3）方案二更好，理由见解析

【解析】（1）人全通过初赛的概率为，

所以，这人中至多有人通过初赛的概率为.

（2）甲参加市知识竞赛的概率为，乙参加市知识竞赛的概率为，

丙参加市知识竞赛的概率为，

所以，这人中至少有人参加市知识竞赛的概率为.

（3）方案一：设三人中奖人数为，所获奖金总额为元，则，且，

所以元，

方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为元，

则的所有可能取值为、、、，

则，

，

，

，

所以，.

所以，，

所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．

21．已知抛物线的焦点为，准线与抛物线的对称轴的交点为，点在抛物线上，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线交抛物线于两点，点A在轴上的投影为，直线分别与直线（为坐标原点）交于点，与直线交于点，记的面积为，的面积为，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】（1）作，垂足为，则.

因为，所以，.

因为点在抛物线上，所以，

消去得：，解得.

所以抛物线的方程为.

（2）设，

由，消去得.

则，因为，所以，则.

依题意知直线的方程为，直线的方程为.

由，得点的坐标为.

由得的坐标为.  

要证，即证，即证.

即证，即证.

因为，，

所以

.

即，所以.

22．已知函数．

（1）若，，求实数a的取值范围；

（2）设是函数的两个极值点，证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】（1）依题意，.

①当时，在上，所以在上单调递减，

所以，所以不符合题设.       

②当时，令，得，

解得，

所以当时，所以在上单调递减，

所以，所以不符合题设.

③当时，判别式，所以，

所以在上单调递增，所以.

综上，实数a的取值范围是.

（2）由（1）知，当时，在上单调递增，

在上单调递减，在上单调递增，

所以是的极大值点，是的极小值点.

由（1）知，，，则.

综上，要证，只需证，

因为

，

设，.

所以，

所以在上单调递增，所以.

所以，即得成立．

所以原不等式成立.