2022-2023学年湖南省长沙市长沙县泉塘中学八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市长沙县泉塘中学八年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，
C. ：：：： D. ，，

5.  直角三角形两边长分别是、，第三边是(    )

A.  B.  C. 或 D. 无法确定

6.  下面四个命题：对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；全等三角形的对应角相等；如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，其中逆命题是真命题的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为如图，在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9.  如图，以的三边为直径分别向外作半圆，若斜边，则图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知，中，，，，的平分线交于点，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  比较大小：______．

12.  如果是一个整数，那么最小的正整数是______．

13.  化简：______．

14.  在中，，，则 ______ ．

15.  一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形，，，的面积分别为，，，，则最大的正方形的面积是______．

 

16.  如图，有一圆柱形油罐，底面周长为，高为从处环绕油罐建梯子，梯子的顶端点正好在点的正上方，梯子最短需要______

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如善于思考的小明进行了以下探索：若设其中、、、均为整数，则有，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
若，当、、、均为整数时，则______，______均用含、的式子表示
若，且、、均为正整数，分别求出、、的值．
【拓展延伸】
化简______．

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算题：
；
．

19.  本小题分
已知，，则：
______ ； ______ ； ______ ．
计算式子的值．

20.  本小题分
如图，已知在中，于，，，．
求的长．
求的长．

21.  本小题分

如图所示，四边形是矩形，把沿折叠到，与交于点，若，，求的长．

22.  本小题分
如图，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动有一天，小明在公园里游玩，如图，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？
 

23.  本小题分
如图，在四边形中，，，，．
求的长．
判断的形状，并说明理由．
求的度数．

24.  本小题分
如图，直角三角形，直角顶点在直线上，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点和点．

求证：；
如果．
求证：；
若设的三边分别为、、，试用此图证明勾股定理．

25.  本小题分
阅读与思考．
两点之间的距离公式：如果数轴上的点，分别表示实数，，两点，间的距离记作，那么
对于平面上的两点，间的距离是否有类似的结论呢？
运用勾股定理，就可以推出平面上两点之间的距离公式．
如图，已知平面上两点，，求，两点之间的距离；
如图，已知平面上两点，，求这两点之间的距离；
一般地，设平面上任意两点和，如图，如何计算，两点之间的距离？
对于问题，作轴，轴，垂足分别为点，；作轴，垂足为点；作，垂足为点，且延长与轴交于点，则四边形，是长方形．
因为______，______，
所以______．
所以．
这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式．
请你根据上面的公式求出下列两点之间的距离：，．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，即时，二次根式有意义．
故选：．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于，解不等式即可．
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项：，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
故选：．
当二次根式满足：被开方数不含开的尽方的数或式；根号内面没有分母．即为最简二次根式，由此即可求解．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的性质是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、无法计算，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项正确．
故选：．
直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
即，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，，
，
即，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.设，，，
，，
，
即，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，，
，
即，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

5.【答案】 

【解析】解：当第三边是斜边时，则第三边；
当第三边是直角边时，则第三边．
故选：．
此题要考虑两种情况：当第三边是斜边时；当第三边是直角边时．
熟练运用勾股定理，注意此题的两种情况．
 

6.【答案】 

【解析】解：对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；
同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，正确，为真命题；
全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，符合题意；
如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等的逆命题为如果两个实数相等，那么这两个实数的平方也相等，正确，为真命题，
真命题有个，
故选：．
利用平行线的判定、全等三角形的性质、实数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、全等三角形的性质、实数的性质，属于基础知识，比较简单．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，，
．
．
故选：．
根据海伦秦九韶公式即可解决此题．
本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，设大树高为，
小树高为，
过点作于，则是矩形，
连接，
，，，
在中，，
故选：．
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意知：．
图中阴影部分的面积


．
故选：．
利用勾股定理和圆的面积公式解答．
本题主要是考查勾股定理的应用，比较简单，解题的关键是将图中阴影部分的面积转化为的形式．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作于，

在中，由勾股定理得：，
是角平分线，，，
，
则，即，
解得，，
，
故选：．
作于，根据勾股定理求出，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算求出，即可得到答案．
本题考查的是勾股定理、角平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
先变形，，再比较即可．
本题考查了二次根式的性质和实数的大小比较的应用，主要考查学生的变形能力．
 

12.【答案】 

【解析】解：是一个整数，
是一个整数，
最小正整数的值是：，
故答案为：．
直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式乘法运算法则求出答案．
此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，
所以
故答案为：．
根据二次根式的性质，算术平方根的值必须是正数，所以开方所得结果是，然后再去绝对值．
本题主要考查二次根式的化简，其中必须符合二次根式的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
则．
故答案是：．
已知，，根据勾股定理可得，可求得，然后可求出的值．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形，，，的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形，，，的面积和即是最大正方形的面积．根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够得出正方形，，，的面积和即为最大正方形的面积．
【解答】
解：如图，

根据勾股定理的几何意义，可得正方形、正方形的面积和为，正方形、正方形的面积和为，，
即．
所以最大正方形的面积为，
故答案是．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平面展开最短路径问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短和勾股定理是常用求解方法．化“曲”为“平”，画出圆柱的展开图，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．
【解答】
解：将圆柱体的侧面展开，如图所示：

则底面周长，，
在中，，
故答案为：．  

17.【答案】    

【解析】解：，
，且、、、均为整数，
，，
故答案为：，；
，
，
，
又、、均为正整数，
或，
即，，或，，；
原式

，
故答案为：．
根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解；
根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解；
根据完全平方公式和二次根式的性质进行变形化简．
本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式的结构是解题关键．
 

18.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先化简各项二次根式，再合并同类项即可得出结论．
先化简各项二次根式，再按照二次根式乘法计算得出结论．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的顺序和运算法则是解题关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：，，
，，，
故答案为：．
，





．
根据二次根式的加减，二次根式的乘法运算进行计算即可求解．
根据的结论，结合完全平方公式进行计算即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：于，且，，

在中，，

；

在中，

，
． 

【解析】由题意可知三角形是直角三角形，利用已知数据和勾股定理直接可求出的长；
有的数据和勾股定理求出的长，进而求出的长．
本题考查了勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

21.【答案】解：四边形为矩形，
，，，，
沿折叠到，与交于点，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，解得．
即的长为． 

【解析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
根据矩形性质得，，，，再根据折叠性质得，而，则，所以，
设，则，，然后在中利用勾股定理可计算出．
 

22.【答案】解：由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
设绳索的长度为 ，则，
，
解得：，
答：绳索的长度是． 

【解析】设绳索的长度为 ，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
在中，由勾股定理，得；
是等腰直角三角形，
理由：，，
，
，
又，
是等腰直角三角形；
是等腰直角三角形；
，
，
． 

【解析】在中，利用勾股定理即可求得答案；
根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，由，得到，进一步即可得到答案．
由知，是等腰直角三角形，进而推出，于是求出的度数．
本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，于点，
，，
；
于点，于点，
，
由知：，
在和中，
，
≌，
；
由图可知：
，
，
化简，得：． 

【解析】根据直角三角形的定义和垂直的定义，可以证明结论成立；
根据可以证明结论成立；
根据，代入字母计算即可证明结论成立．
本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

25.【答案】解：因为，，
所以，，
由勾股定理得；
因为，，
所以，，
由同理得；
；；；
由两点之间的距离公式得：
． 

【解析】

【分析】
首先求得，，再利用勾股定理计算即可；
首先求得，，再利用勾股定理计算即可；
利用坐标与图形的性质可得，，再利用勾股定理可得答案；直接利用公式代入计算即可．
【解答】
解：见答案；
见答案；
因为，，
所以，
所以．
故答案为：；；；
由两点之间的距离公式得：
．
【点评】
本题是阅读理解题，主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理，两点间距离公式的推导等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．