【新高考】第27天——《中档解答题计划》——模拟训练（四）

这是一份【新高考】第27天——《中档解答题计划》——模拟训练（四），共6页。试卷主要包含了基本量计算，频率分布直方图，边角混合式给出条件，棱柱载体，线线垂直证明等内容，欢迎下载使用。
《2023年高考最后三十天训练计划》第二十七天《中档解答题计划》——模拟训练（四）（概率统计—解三角形—立体几何—极坐标参数方程—不等式选讲）一、基本量计算、是否存在性探索1.已知等差数列的首项为1，公差，其前项和满足．（1）求公差；（2）是否存在正整数，使得．二、频率分布直方图、分布列、期望2．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，，，，，，，，，，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）写出的值；（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用表示其中初中生的人数，求的分布列和数学期望．三、边角混合式给出条件、锐角三角形、面积最值问题3．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．（1）求证：；（2）若的角平分线交于，且，求面积的取值范围．四、棱柱载体，线线垂直证明、逆向求二面角【结构不良问题】4．如图在三棱柱中，为的中点，，．（1）证明：；（2）若，且满足：_____，（待选条件）．从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角的正弦值．①三棱柱的体积为；②直线与平面所成的角的正弦值为；③二面角的大小为；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．  《2023年高考最后三十天训练计划》第二十七天《中档解答题计划》——模拟训练（四）（概率统计—解三角形—立体几何—极坐标参数方程—不等式选讲）1.已知等差数列的首项为1，公差，其前项和满足．（1）求公差；（2）是否存在正整数，使得．【解析】：（1）根据题意，等差数列的首项为1，前项和满足，则有，解可得或，又由，则；（2）根据题意，假设存在正整数，使得，由（1）的结论，，，则，则有，变形可得，存在，或，或，时符合题意．2．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，，，，，，，，，，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）写出的值；（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用表示其中初中生的人数，求的分布列和数学期望．【解析】：（1）由频率直方图的性质，，，（2）由分层抽样可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，初中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为，所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有人，同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为，学生人数约为人，所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有，（3）初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为，样本人数为人，同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为，故的可能取值为：1，2，3，，，，的分布列为：  1 2 3   ．3．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．（1）求证：；（2）若的角平分线交于，且，求面积的取值范围．【解答】证明：（1），由正弦定理可得，，，，，，为锐角三角形，，，，在，上单调递增，，即；（2）解：，在中，，由正弦定理可得，，，，为锐角三角形，，解得，，面积的取值范围为．4．如图在三棱柱中，为的中点，，．（1）证明：；（2）若，且满足：_____，（待选条件）．从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角的正弦值．①三棱柱的体积为；②直线与平面所成的角的正弦值为；③二面角的大小为；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解答】（1）证明：在三棱柱中，，，，△△，，又为的中点，，在中，，，，，、平面，平面，又平面，．（2）解：由（1）知，，，，、平面，平面，选择①③：平面，，，为二面角的平面角，即，为等边三角形，即，，，又三棱柱的体积为，，即，取的中点，连接，，过作于点，连接，平面，平面，为二面角的平面角，在中，，，，，，由于二面角的平面角与二面角的平面角互补，故二面角的正弦值为．选择①②：过点作于点，平面平面，平面平面，平面，故直线与平面所成角为，即，设，，则，即，，下面的解题步骤与选择①③相同．选择②③：平面，，，为二面角的平面角，即，为等边三角形，即，过点作于点，则，又平面平面，平面平面，平面，故直线与平面所成角为，即，设，则，即，下面的解题步骤与选择①③相同．