2024年新高中考试数学解答题模拟训练——数列（答案版）

这是一份2024年新高中考试数学解答题模拟训练——数列（答案版），共47页。试卷主要包含了记数列的前n项和为，且，记，为数列的前n项和，已知，，已知数列的前n项和为，满足，.，设数列的前n项和为，满足.，数列满足，记为数列的前项和，已知.等内容，欢迎下载使用。
(1)求数列的通项公式；
(2)设m为整数，且对任意，，求m的最小值．
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）由数列与的关系可得，再结合等比数列的通项可得解；
（2）利用错位相减法求出，结合范围即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
当时，，故，
且不满足上式，
故数列的通项公式为
（2）设，则，
当时，，
故，
于是．
整理可得，所以，
又，所以符合题设条件的m的最小值为7．
2．（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）记，为数列的前n项和，已知，．
(1)求，并证明是等差数列；
(2)求．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用与前n项和的关系，由可得的值，即可求得的值；根据相减法求得为常数，证明其为等差数列；
（2）由（1）中数列为等差数列，对进行奇偶讨论，即可求得.
【详解】（1）解：已知，
当时，，；当时，，，所以．
因为①，所以②．
②－①得，，整理得，，
所以（常数），，
所以是首项为6，公差为4的等差数列．
（2）解：由（1）知，，，．
当n为偶数时，；
当n为奇数时，．
综上所述，.
3．（2023春·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）已知数列的前n项和为，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前100项的和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用，整理可得数列是等比数列，求其通项公式即可；
（2）求出，然后分组求和.
【详解】（1）当时，，
整理得，
又，得
则数列是以-2为首项，-2为公比的等比数列.
则，
（2）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
则
4．（2023·全国·高三专题练习）记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和.
【答案】(1)
(2)1809
【分析】（1）由得出数列的递推关系，然后由连乘法求得通项；
（2）考虑到，，从而确定的前40项中有34项来自，其他6项由组成，由此分组求和．
【详解】（1）由，则，两式相减得：，
整理得：，即时，，
所以时， ，
又时，，得，也满足上式.
故.
（2）由.所以，
又，所以前40项中有34项来自.
故
.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)an＝×3n－1
【分析】（1）将an＋2＝2an＋1＋3an，变形为an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，利用等比数列的定义证明；
（2）由（1）得到an＋an＋1＝2×3n－1，再由an＋2＝2an＋1＋3an，得到an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，结合求解.
【详解】（1）证明：因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，
因为{an}中各项均为正数，
所以an＋1＋an＞0，
所以＝3，
所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列.
（2）由题意及（1）知，an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，
因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，
所以a2－3a1＝0，
所以an＋1－3an＝0，
故an＋1＝3an，
所以4an＝2×3n－1，即an＝×3n－1.
6．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）设数列的前n项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系即可求出数列的通项公式
（2），利用裂项相消法即可求出数列的和.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，，
即，即，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以.
（2）由（1）知，
，
所以
.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项，记的前n项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列公差，令，求数列的前n项和.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意结合等差数列的通项公式运算求解；
（2）根据题意可得，，利用裂项相消法求和
【详解】（1）由题意可得：，
整理得，则
可得或，
故或.
（2）∵，由（1）可得，
则，
故
所以.
8．（2023·全国·高三专题练习）数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）根据递推关系得，再验证满足条件即可求得答案；
（2）由（1）知，，再结合裂项求和与数列的单调性得，再解不等式即可.
【详解】（1）解：当，，①
，，②
①－②得（*）
在①中令，得，也满足（*），所以，，
（2）解：由（1）知，，
故，
于是，
因为随n的增大而增大，且恒小于1，
所以，解得或
所以实数m的取值范围是或.
9．（2023·河北张家口·张家口市宣化第一中学校考三模）记为数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)令，记数列的前项和为，试求除以3的余数.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据等差数列的定义及通项公式求出，再根据求出；
（2）利用等比数列前n项和公式求出，然后应用二项式展开式求余数
【详解】（1）由有，即，
又，故，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，即，
故，两式相减得，即，
所以，
因此的通项公式为.
（2）由（1）及，有，所以，
又，
因为均为正整数，所以存在正整数使得，
故，
所以除以3的余数为2.
10．（2023春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考期中）已知各项都是正数的数列，前项和满足.
(1)求数列的通项公式.
(2)记是数列的前项和，是数列的前项和.当时，试比较与的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系，结合等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）根据裂项相消法，结合等比数列前项和、二项式定理进行求解即可.
【详解】（1）当时，，所以或（舍去），
当时，有
两式相减得，
整理得，
因为的各项都是正数，所以，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以；
（2）由（1）得，则，
所以，
由（1）得
所以，
因为，
所以，故，
所以当时，.
11．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）设公差不为0的等差数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据等差数列性质设出公差和首项，代入题中式子求解即可；
（2）列出通项公式，根据通项求出的前n项和，再根据通项求出的前2n项和，两式相减解得的通项公式，最后分组求和求出数列的前n项和.
【详解】（1），设公差为d，首项为
，因为公差不为0，所以解得，
，数列的通项公式为，.
（2）
①
②
得，解得
12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列为等比数列，其前项和为，且满足.
(1)求的值及数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）当时，，两式相减得，由，可求出的值；
（2）由（1）知，由绝对值的定义结合等差数列的前项和公式即可求出数列的前项和.
【详解】（1）因为，所以时，，所以.
又由数列为等比数列，所以.又因为，所以，
综上.
（2）由（1）知，
当时，，
当时，
所以.
13．（2023·全国·高二专题练习）已知数列前n项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知得，，两式相除整理得，从而可证得结论，
（2）由（1）可得，再利用累乘法求，从而，然后利用放缩法可证得结论
【详解】（1）因为，所以，
所以，
两式相除，得，整理为，
再整理得，．
所以数列为以2为首项，公差为1的等差数列．
（2）因为，所以，
由（1）知，，故，
所以．
所以
．
又因为，
所以．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知为数列的前n项和，，.
(1)求数列的通项公式：
(2)若，为数列的前n项和.求，并证明：.
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据题设，利用的关系可推得，判断数列为等差数列，即可求得答案；
（2）由（1）求得的表达式，利用裂项求和求得，结合的的单调性，可证明结论.
【详解】（1）当时,，,则,
当时，，则,
两式相减得：
即
即
∵，∴,
∴数列是2为首项，公差为2的等差数列，∴.
（2）由（1）得，，
，
∵，∴，∴
又∵，∴随着n的增大而减少，从而随着n的增大面增大，
∴，
综上所述，.
15．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳市第四十中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，且满足：.
(1)求证：数列为常数列；
(2)设，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据证明即可；
（2）先求出数列的通项，再利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）由，
当时，，
当时，，
两式相减得，
即，所以，
所以，
当时，，上式也成立，
所以数列为常数列；
（2）由（1）得，
所以，
则
，
则，
两式相减得
，
所以.
16．（2023·青海西宁·统考一模）在数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）令可求得的值，令，由可得，两式作差可得出的表达式，再验证的值是否满足的表达式，综合可得出数列的通项公式；
（2）计算得出，利用裂项相消法求出数列的前项和，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：因为，①
则当时，，即，
当时，，②
①②得，所以，
也满足，故对任意的，.
（2）证明：，
所以
．
，
，即结论成立.
17．（2023春·全国·高二期中）已知数列满足，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由题意先求出，再根据，得，从而可得，再利用构造法求出的通项，从而可得的通项公式；
（2）分为偶数和奇数两种情况讨论，再结合分组求和法即可得解.
【详解】（1），得，
因为，即，解得，
由，得，
又，
故，所以，即，
所以，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
则，故，
所以；
（2）当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
综上所述，.
18．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）已知数列满足：，且．设．
(1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；
(2)求数列的前2n项和．
【答案】(1)
(2)数列的前2n项和为
【分析】（1）根据数列的递推公式可得，由此构造数列，进而证明结论；
（2）根据数列的递推公式可得数列的偶数项与奇数项之间的关系，由（1）可得数列的奇数项的通项公式，利用等比数列的求和公式，进而求得答案.
【详解】（1）由题意可知：，
，
故，即，
故是以为首项，以 为公比的等比数列，
且 ，
故
（2）由（1）知，,即，
由题意知： ，故 ，
故数列的前2n项和


.
19．（2023·浙江宁波·镇海中学校考二模）已知数列是等差数列，，且，，成等比数列．给定，记集合的元素个数为．
(1)求，的值；
(2)求最小自然数n的值，使得．
【答案】(1)，；
(2)11
【分析】（1）利用等比数列的性质求得公差，得通项公式，写出时的集合可得元素个数，即；
（2）由（1）可得，然后分组求和法求得和，用估值法得时和小于2022，时和大于2022，由数列的单调性得结论．
【详解】（1）设数列的公差为，由，，成等比数列，得，
，解得，所以，
时，集合中元素个数为，
时，集合中元素个数为；
（2）由（1）知，
，
时，=20012022，
记，显然数列是递增数列，
所以所求的最小值是11.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知为数列的前n项和，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取计算，得到，得到证明.
（2）确定，变换，利用裂项求和计算得到证明.
【详解】（1），，．
由，得，
，
所以，故，
所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列．
（2），
故，
所以
．
21．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）记数列的前n项和为，对任意，有．
(1)证明：是等差数列；
(2)若当且仅当时，取得最大值，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用数列，结合等差数列的定义，即可证明；
（2）由条件转化为，再转化为关于首项的不等式，即可求解.
【详解】（1）因为①，则②
①－②可得
，
故为等差数列．
（2）若当且仅当时，取得最大值，
则有,得则，，
故的取值范围为．
22．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列：
(2)若，求满足条件的最大整数.
【答案】(1)证明见解析
(2)50
【分析】（1）两边取倒数，再同时减2，根据等比数列的定义，即可证明.
(2)利用等比数列求和公式求和，再根据函数单调性，即可求解.
【详解】（1）证明：由，可得，
又
故数列为等比数列.
（2）由（1）可知，故.
令，易知随的增大而增大，，故满足的最大整数为50.
23．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知数列中，，是数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式：
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用与关系可推导得到，利用累乘法即可求得；
（2）由，结合可得，并由此得到；采用裂项相消法可整理得到，由可证得结论.
【详解】（1）由得：且；
当且时，，
整理可得：，，
则，，，，，
各式相乘得：，又，
.
当时成立，故.
（2）由得：，
，
，
又，.
24．（2023·重庆·统考模拟预测）问题：已知，数列的前n项和为，是否存在数列，满足，__________﹖若存在．求通项公式﹔若不存在，说明理由．
在①﹔②；③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选①：；选②：；选③：
【分析】选①：利用与的关系得到关于的递推公式，再由递推公式求，然后可得通项；选②：利用与的关系得到递推公式，然后构造等比数列可求通项；选③：根据递推公式构造等比数列可解.
【详解】选①：
，即是以2为公差，1为首项的等差数列
，即
当时，
显然，时，上式不成立，所以.
选②：当时，，即
所以
整理得
又，
所以从第二项起，是以2为公比，4为首项的等比数列
当时，，即
显然，时，上式成立，所以
选③：
又
是以2为公比和首项的等比数列
，即
25．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由，得到，再利用累乘法求解；
（2）由（1）易得，再利用裂项相消法求解.
【详解】（1）解：因为，，
所以，
所以
当时， 满足条件，
所以；
（2）因为，
所以，
所以，
所以 .
26．（2023春·江西宜春·高二宜春市第三中学校考期中）已知数列的前n项和为，，且．，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据对数运算得，利用等比数列定义求通项公式，利用等差中项判断数列为等差数列，建立方程求出公差，从而可得的通项；
（2）利用错位相减法计算即可.
【详解】（1）∵，∴，则，所以为等比数列，
又，得，所以，
由知是等差数列，且，，
∴，得，．∴.
（2）因为，，所以，
所以
则
上面两式作差得
，
∴
27．（2023春·湖北·高二湖北省咸宁高级中学统考期中）已知正项等差数列的前项和为，若构成等比数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）设数列的前项和为，求证:
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由等差数列和等比数列的定义，即可求出通项公式.
（2）利用裂项相消法即可求出数列的和，进而利用不等式放缩即可证明结果.
【详解】（1）由为等差数列，
得，则
又构成等比数列，
所以，
即
解得或(舍)，
所以;
（2）因为，
所以
28．（2023春·浙江·高二校联考期中）已知正项数列，其前n项和满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式；
(2)数列中是否存在连续三项，，，使得，，构成等差数列？请说明理由.
【答案】(1)证明见解析，；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据给定递推公式，结合“当时，”建立与的关系即可推理作答.
（2）由（1）求出，利用反证法导出矛盾，推理作答.
【详解】（1）依题意，正项数列中，，即，当时，，即，
整理得，又，因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
则，因为是正项数列，即，
所以.
（2）不存在，
当时，，又，即，都有，
则，
假设存在满足要求的连续三项，使得构成等差数列，
则，即，
两边同时平方，得，即，
整理得：，即，显然不成立，因此假设是错误的，
所以数列中不存在满足要求的连续三项.
29．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前n项和为，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；
(2)设，证明：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）先求出，然后将的换成，与原式相减可得，从而可得即可证明，求出通项公式， 再分组可求和.
（2）先求出，可得出，裂项相消法求和，可证明.
【详解】（1）当时，，即
由，则
两式相减可得，即
所以，即
数列为等比数列
则，所以
则
（2）
所以
30．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据公式得到是常数列，确定，计算得到通项公式.
（2）放缩，根据裂项相消法计算得到证明.
【详解】（1），则，
整理得到，故，
故是常数列，故，即，
当时，，
验证时满足，故
（2），
故
.
31．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，.
(1)求与通项公式；
(2)设，求的前n项和.
【答案】(1)，，
(2)，
【分析】（1）由等差数列、等比数列的定义计算基本量即可求通项公式；
（2）根据等比数列的求和公式及裂项相消求和即可.
【详解】（1）设的公差为d，因为，，
所以，解得，从而，
所以；
设的公比为q，因为，所以，解得，
因为，所以，
所以 .
（2）由上可知：，所以，
所以，
所以，.
32．（2023·广东·高三专题练习）已知等差数列的公差，且满足，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足求数列的前2n项的和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用已知条件结合等比数列定义，等差数列通项公式，列方程求，由此可得数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用分组求和法，裂项相消法及等比数列求和公式求出数列的和．
【详解】（1）因为，，成等比数列，所以，
即，
解得或．
因为，所以，
所以．
（2）由（1）得
所以，
所以
，
，
所以数列的前2n项的和．
33．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）设数列的前n项和为．已知，，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设数列的前n项和为，且，令，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)应用,结合等差数列定义证明即可;
(2)先求等比数列的通项公式,再两次应用错位相减或裂项相消
【详解】（1）①，
当时，②，
①－②得：,
即，
所以，且，
所以是以1为公差的等差数列．
（2）由（1）得，．
当时，；当时，；
又满足上式，所以．
所以，记数列的前n项和为．
方法一：（两次错位相减）
，①
，②
①－②得，③
则，④
③－④得
，
所以．
方法二：（裂项）
因为，
所以
．
34．（2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，且.
(1)求；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）先利用得到，再构造等比数列求解；
（2）先表示出，换元后构造函数，通过导数确定单调性，求出最小值得证.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，
即，
是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，
（2）由，得，
则，令，则，
令，则，当时，，
在上单调递增，，即，
当且仅当时，取等，得证.
35．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得数列的首项和公差，从而求得.
（2）利用错位相减求和法求得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
依题意，，则
所以，解得，所以.
（2），
所以，
，
两式相减得
，
所以.
36．（2023秋·江苏南京·高二南京市第九中学校考期末）已知数列{}的前n项和为，且满足
(1)求、的值及数列{}的通项公式：
(2)设，求数列{}的前n项和
【答案】(1)；；
(2).
【分析】（1）利用给定条件建立方程组求解得、，再变形递推公式求出即可计算.
（2）由（1）的结论，对裂项，利用裂项相消法计算作答.
【详解】（1）因，取和得：，
即，解得，由得：，
数列是首项为，公差的等差数列，则，即，
当时，，而满足上式，因此，，
所以，数列{}的通项公式.
（2）由（1）知，当时，，
因此，，，
则，满足上式，
所以.
37．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为,,.
(1)求数列的通项公式.
(2)令,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将题设条件转化为，从而得到，进而求出公比，由此得解；
（2）利用（1）结论，结合裂项相消求和法即可得解.
【详解】（1）当时,
即,又是等比数列,;
数列的通项公式为:.
（2）由（1）知,,
,
即.
38．（2023秋·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知各项为正数的数列的前项和为，若.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用公式，时，，代入化简得到数列的递推公式，即可求解通项公式；
（2）由（1）的结果，利用裂项相消法求和，再结合数列的单调性证明不等式.
【详解】（1）当时，，解得；
当时，由，得，
两式相减可得，，又，
，即是首项为，公差为的等差数列，
因此，的通项公式为；
（2）证明：由可知，所以，
，
因为恒成立，所以，
又因为，所以单调递增，所以，
综上可得．
39．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用数列中前项和与项的关系求解；
（2）先写出奇数项、偶数项的通项公式，再按奇数项、偶数项分组求和.
【详解】（1）由题意
当时，；
当时，
两式相减得，
所以，当时也成立．
所以数列的通项公式.
（2）根据题意，得
所以
所以
40．（2023春·陕西商洛·高二校考阶段练习）已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式求解作答.
（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法计算作答.
【详解】（1）等差数列中，，解得，因，，成等比数列，即，
设的公差为d，于是得，整理得，而，解得，
所以.
（2）由（1）知，，
所以.