湖北省部分市州2022-2023学年高三数学上学期元月联合调研考试试题（Word版附答案）

湖北省部分市州2023年元月高三年级联合调研考试

数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（    ）

A．1 B．2 C． D．5

2．已知集合，，则集合（    ）

A． B． C． D．

3．有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（    ）

A．平均数 B．第50百分位数 C．极差 D．众数

4．已知，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数则函数的图象大致是（    ）

A． B． C．D．

6．已知数列的前n项和为，且，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

7．已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

8．在三棱锥中，，，设侧面PBC与底面ABC的夹角为α，若三棱锥的体积为，则当该三棱锥外接球表面积取最小值时，（    ）

A． B． C． D．4

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．如图所示，在边长1为的正六边形ABCDEF中，下列说法正确的是（    ）

A．  B．

C．  D．

10．已知实数a，b，c满足，则下列关系式中可能成立的是（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．是的一个周期

B．的图象关于点中心对称

C．在区间上的零点个数为4

D．的最大值为

12．已知正方体的棱长为3，P为正方体表面上的一个动点，Q为线段上的动点，．则下列说法正确的是（    ）

A．当点P在侧面（含边界）内时，为定值

B．当点P在侧面（含边界）内时，直线与直线所成角的大小为

C．当点P在侧面（含边界）内时，对任意点P，总存在点Q，使得

D．点P的轨迹长度为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中，常数项为________．

14．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球．第一次从红箱内取出一球，观察颜色后放回原处；第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内再取出一球，则第二次取到红球的概率为________．

15．过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别为，，，点P在抛物线的准线上．若AP是的角平分线，则点P到直线l的距离为______．

16．已知关于x的不等式恒成立，则的最大值为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明．证明过程及演算步骤．

17．（10分）

已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．

（1）求边b的值；

（2）若D为边BC的中点，，求的面积．

18．（12分）

已知数列中，对任意的，都有．

（1）若为等差数列，求的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

19．（12分）

如图所示，在四棱锥中，，，，．

（1）证明：；

（2）求直线BC与平面PCD所成角的余弦值．

20．（12分）

2022年11月21日．第22届世界杯在卡塔尔开幕．小组赛阶段，已知某小组有甲、乙、丙、丁四支球队，这四支球队之间进行单循环比赛（每支球队均与另外三支球队进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者积0分；若出现平局，则比赛双方各积1分．若每场比赛中，一支球队胜对手或负对手的概率均为，出现平局的概率为．

（1）求甲队在参加两场比赛后积分X的分布列与数学期望；

（2）小组赛结束后，求四支球队积分均相同的概率．

21．（12分）

已知，为椭圆C：的左、右焦点．点M为椭圆上一点，当取最大值时，．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P为直线上一点（且P不在x轴上），过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，点B关于x轴的对称点为，连接交x轴于点G．设，的面积分别为，，求的最大值．

22．（12分）

设函数．

（1）当时，求在上的最值；

（2）对，不等式恒成立，求实数a的取值

范围．

湖北省部分市州2023年元月高三年级联合调研考试·数学

参考答案、提示及评分细则

一、单项选择题

1．C    2．D    3．A    4．C    5．B    6．D    7．B    8．B

二、多项选择题

9．BC    10．ABC    11．ABD    12．ACD

三、填空题

13．6 14．  15．5  16．

17．解：（1）因为，

由正弦定理得：，且，

所以．

（2）延长AD至点E，满足，连接EB，EC，在中，

由余弦定理得：，

因为，，

代入上式整理得：，所以

所以．

18．解：（1）由条件，可得：，，

因为为等差数列，设公差为d，由上式可得：，，

所以的通项公式为．

（2）由条件，可得：，

两式相减得：，因为，所以，

所以数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列；

偶数项是首项为1公差为4的等差数列．

所以当n为偶数时，

；

当n为奇数时，

．

综上：．

19．解：（1）连接BD，设BD的中点为O，连接OA，OP．

因为，所以，

因为，所以，

又，所以平面OAP，

因为平面OAP，所以．

（2）因为，所以，又，

所以，所以，又，

所以平面ABCD．

如图，以O为原点，OB，OP所在直线分别为x轴、z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，，，

，平面PCD的法向量分别为，

所以即取，则，

设与平面PCD所成的角为α，则

则直线BC与平面PCD的夹角余弦值为．

20．解：（1）甲队参加两场比赛后积分X的取值为0，1，2，3，4，6．所以随机变量X的分布列为：

随机变量X的数学期望：

．

（2）由于小组赛共打6场比赛，每场比赛两个球队共积2分或者3分；6场比赛总积分的所有情况为12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分共7种情况，要使四支球队积分相同，则总积分被4整除，所以每只球队总积分为3分或者4分．

若每支球队得3分：

则6场比赛都出现平局，其概率为：；

若每支球队得4分：

则6场比赛出现2场平局，则每支球队3场比赛结果均为1胜平1负，

其概率为：﹒

所以四支球队积分相同的概率为．

21．（1）依题意有当M为椭圆短轴端点时

最大，此时，则

为正三角形，则

且

∴，又，∴，，

故椭圆方程为．

（2）设，，，

则依题意有PA：，PB：

（注：椭圆上一点的切线方程结论要求证明，没有证明扣一分，本答案证明过程略）

因PA，PB都过点，则，

则AB方程为，即AB过定点．

故设AB方程为，，

联立，

∴

∴，，又

直线方程为：，令得

，∴

∴

当且仅当即，时取等号

故最大值为．

22．解：（1）时，，

设，即

∴在上单调递增

∴，，

即，

（2）即

即，对上恒成立，

设，

当时，，

由（1）知时，，∴

当时，

当时，，时，，不合题意．

当时，，

当时，，∴在单调递增

又，

∴存在使，当时，

∴在单调递减，此时，不合题意

综上．