2023年黑龙江省大庆市高新区中考数学一模试卷(含答案)

这是一份2023年黑龙江省大庆市高新区中考数学一模试卷(含答案)，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

黑龙江省大庆市高新区2023年中考数学一模试卷（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．2023的相反数的倒数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
2．大庆市2020年GDP超过了2800亿元，2800亿用科学记数法表示为（　　）
A．2.8×103 B．28×1011 C．2.8×1012 D．2.8×1011
3．已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列关系中，正确的（　　）

A．a＜b B．c＞b C．a＞b+c D．b﹣a＜c﹣a
4．地铁标志作为城市地铁的形象和符号，是城市与文化的缩影，下列图案分别为杭州，北京，深圳，上海四个城市的地铁标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．某校要从四名学生中选拔一名参加市“汉字听写”大赛，将多轮选拔赛的成绩数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差如下表所示：

甲
乙
丙
丁
平均数（单位：分）
m
90
91
88
方差s2（单位：分2）
n
12.5
14.5
11
根据表中数据，可以判断同学甲是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的学生，则m，n的值可以是（　　）
A．m＝92，n＝15 B．m＝92，n＝8.5
C．m＝85，n＝10 D．m＝90，n＝12.5
6．已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的体积为（　　）

A．36πcm3 B．24πcm3 C．12πcm3 D．8πcm3
7．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，则BE的长度为（　　）

A．1 B． C． D．2
8．下列说法正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．在同一平面内，不相交的两条直线必平行
C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
9．如图，点A（m，1）和B（﹣2，n）都在反比例函数y＝的图象上，过点A分别向x轴y轴作垂线，垂足分别是M、N，连接OA、OB、AB，若四边形OMAN的面积记作S1，△OBA面积记作S2，则（　　）

A．S1：S2＝2：1 B．S1：S2＝1：2 C．S1：S2＝4：3 D．S1：S2＝4：5
10．如图①，在矩形ABCD中，H为CD边上的一点，点M从点A出发沿折线AH﹣HC﹣CB运动到点B停止，点N从点A出发沿AB运动到点B停止，它们的运动速度都是1cm/s，若点M、N同时开始运动，设运动时间为t（s），△AMN的面积为S（cm2），已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（　　）

①当0＜t≤6时，△AMN是等边三角形．
②在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有3个．
③当0＜t≤6时，S＝．
④当t＝9+时，△ADH∽△ABM．
⑤当9＜t＜9+3时，S＝﹣3t+9+3．
A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．③④⑤
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．已知一次函数y＝（m+4）x+m+2的图象不经过第二象限，则m的范围 　 　．
12．黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为”迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 　 　种添加方式．

13．数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：．例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到．现将实数对（﹣2，1）放入其中得到实数m，再将实数对（m，﹣2）放入其中后，得到的实数是　 　．
14．若关于x的不等式3x﹣2m＜x﹣m只有3个正整数解，则m的取值范围是 　 　．
15．哈齐高铁于2015年开通，是我国目前最北端的高速铁路，开通8年时间，方便了千千万万大庆市民出行，也推动了龙江经济发展．从大庆西站到哈尔滨站中间有4个车站，共有 　 　种票价．（注：拟设每两个城市之间的票价相同）
16．如图，点A0（0，0），A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A（4，0）……．根据这个规律，探究可得点A2023的坐标是 　 　．

17．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D，P分别在，上．若∠BDC＝140°，则∠APC的度数为 　 　．

18．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠c），且a﹣b+c＝0，a＞0．下列四个结论：
①对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≥0恒成立；
②若a+b＝0，则不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜2；
③一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝1；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若c＞a，则当﹣1＜x1＜x2时，总有y1＜y2．
其中正确的是 　 　．（填写序号）
三、解答题（本大题共10小题，共66分．在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（4分）（1）计算：+（）﹣1﹣tan45°﹣（2023﹣）0；
（2）化简：．
20．（4分）先化简：，再从0，﹣1，﹣2，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
21．（5分）现需加工一批物件，甲单独做4天完成，乙单独做6天完成．现由乙先做1天，再两人合作，完成后共得报酬500元，如果按每人工作量分配报酬，那么该如何分配？
22．（6分）阳春三月，春暖花开，莲花山风景区游人如织，某摄影爱好者正在用无人机进行航拍．如图，在无人机镜头C处，观测风景区A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，已知A，B两点之间的距离为200米，则无人机镜头C处的高度CD为多少？（点A，B，D在同一条直线上，结果保留根号）

23．（6分）教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间，某校为了解本校九年级学生每天参加体育活动的情况，随机抽取了n名学生，对某一天的体育活动时间进行了调查，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
调查结果的频数分布表
组别
时间1（分钟）
频数
A
30≤t＜60
5
B
60≤t＜90
a
C
90≤t＜120
b
D
120≤t＜150
12
E
t≥150
8
根据上述信息，解答下列问题：
（1）频数分布表中的a＝　 　，扇形统计图中C组所在的扇形的圆心角为 　 　度；
（2）被抽取的n名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在哪一组（直接写出组别即可）；
（3）若该校九年级共有720名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育活动时间不低于120分钟的学生人数．

24．（6分）如图，在▱ABCD中，E为AD的中点，延长BE，CD交于点F，连结AF，BD．
（1）求证：△AEB≌△DEF；
（2）若BF＝BC，CD＝6，BD＝8，求AE的长．

25．（8分）大庆市为了筹建第五届旅发大会，建设滨水绿道，围绕“以河连湖，以绿串蓝”的理念，秉承“惠及民生、全民共享”的初心，串起一河五湖，沿黎明河主轴线纵伸延展，采用上跨立交和下穿通行的方式，建成一个全长35公里的滨水生态慢行系统．小东与父亲每天在某区段匀速慢跑，以600m距离为一个训练段．已知父子俩起点终点均相同，约定先到终点的人原地休息等待另一人．已知小东先出发20s，如图，两人之间的距离y与父亲出发的时间x之间的函数关系如图所示．请回答下列问题：

（1）小东的速度为 　 　m/s、父亲的速度为 　 　m/s；
（2）求出点A坐标和BC所在直线的解析式；
（3）直接写出整个过程中，哪个时间段内，父子两人之间距离超过了100m．
26．（8分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数第一象限内的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．
（1）求n和k的值；
（2）如图，以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE、BE，求S△ABE．

27．（9分）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．

28．（10分）如图，是将抛物线y＝﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；
（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y＝x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．


参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．2023的相反数的倒数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
【分析】根据相反数和倒数的定义进行求解即可．
【解答】解：2023的相反数是﹣2023，
﹣2023的倒数是，
∴2023的相反数的倒数是，
故选D．
【点评】本题主要考查了相反数和倒数的定义，解题的关键是熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；乘积为1的两个数互为倒数．
2．大庆市2020年GDP超过了2800亿元，2800亿用科学记数法表示为（　　）
A．2.8×103 B．28×1011 C．2.8×1012 D．2.8×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：2800亿＝280000000000＝2.8×1011．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3．已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列关系中，正确的（　　）

A．a＜b B．c＞b C．a＞b+c D．b﹣a＜c﹣a
【分析】根据数轴的定义和性质可得c＜b＜0＜a，b+c＜0，再进行判断即可．
【解答】解：由数轴可知：c＜b＜0＜a，
∴a＞b，故A错误；
∴b＞c，故B错误；
∵b+c＜0，a＞0，
∴a＞b+c，故C正确；
∵b＞c，
∴c﹣a＜b﹣a，
故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了数轴和有理数的大小比较，熟练掌握数轴上的点所表示的数的大小关系是解决问题的关键．
4．地铁标志作为城市地铁的形象和符号，是城市与文化的缩影，下列图案分别为杭州，北京，深圳，上海四个城市的地铁标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念和各图的特点求解．
【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，因为找不到一个点使图形绕该点旋转180°后能够与自身重合，不符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，因为找不到一个点使图形绕该点旋转180°后能够与自身重合，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，因为找不到一个点使图形绕该点旋转180°后能够与自身重合，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
5．某校要从四名学生中选拔一名参加市“汉字听写”大赛，将多轮选拔赛的成绩数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差如下表所示：

甲
乙
丙
丁
平均数（单位：分）
m
90
91
88
方差s2（单位：分2）
n
12.5
14.5
11
根据表中数据，可以判断同学甲是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的学生，则m，n的值可以是（　　）
A．m＝92，n＝15 B．m＝92，n＝8.5
C．m＝85，n＝10 D．m＝90，n＝12.5
【分析】根据平均数的大小，方差的大小比较得出答案．
【解答】解：由题意可知，甲的平均数比其他三个同学高，所以m可以是92；
又因为甲是这四名选手中成绩最稳定，所以甲的方差比其他三个同学小，所以n可以是8.5．
故选：B．
【点评】本题考查算术平均数、方差，理解“平均数反应一组数据的平均水平，而方差则反应一组数据的离散程度，方差越小，该组数据越稳定”是正确判断的前提．
6．已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的体积为（　　）

A．36πcm3 B．24πcm3 C．12πcm3 D．8πcm3
【分析】根据三视图确定圆锥的底面半径和高，然后利用圆锥的体积计算公式求得答案即可．
【解答】解：观察三视图得：圆锥的底面半径为6÷2＝3（cm），高为4cm，
所以圆锥的体积为πr2h＝π×32×4＝12π（cm3）．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算，了解圆锥的体积计算方法是解答本题的关键，难度不大．
7．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，则BE的长度为（　　）

A．1 B． C． D．2
【分析】由正方形的性质得出∠EFD＝∠BEF＝60°，由折叠的性质得出∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3﹣x，由直角三角形的性质可得：2（3﹣x）＝x，解方程求出x即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A＝90°，
∴∠EFD＝∠BEF＝60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，
∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，
∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，
∴B'E＝2AE，
设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3﹣x，
∴2（3﹣x）＝x，
解得x＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
8．下列说法正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．在同一平面内，不相交的两条直线必平行
C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
【分析】根据对顶角性质、平行线的判定与性质判断求解即可．
【解答】解：相等的角不一定是对顶角，故A错误，不符合题意；
在同一平面内，不相交的两条直线必平行，故B正确，符合题意；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故C错误，不符合题意；
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
9．如图，点A（m，1）和B（﹣2，n）都在反比例函数y＝的图象上，过点A分别向x轴y轴作垂线，垂足分别是M、N，连接OA、OB、AB，若四边形OMAN的面积记作S1，△OBA面积记作S2，则（　　）

A．S1：S2＝2：1 B．S1：S2＝1：2 C．S1：S2＝4：3 D．S1：S2＝4：5
【分析】过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，根据图象上点的坐标特征得到A（4，1），B（﹣2，﹣2），根据反比例函数系数k的几何意义求得S1＝4，然后根据S2＝S△ABK﹣S△AON﹣S梯形ONK求B得S2＝3，即可求得S1：S2＝4：3．
【解答】解：点A（m，1），点B（﹣2，n）都在反比例函数y＝的图象上．
∴m×1＝﹣2n＝4，
∴m＝4，n＝﹣2，
∴A（4，1），B（﹣2，﹣2），
∴S1＝4，
作BK⊥PN，交AN的延长线于K，
则AN＝4，ON＝1，AK＝6，KB＝3，
∴S2＝S△ABK﹣S△AON﹣S梯形ONKB＝×6×3﹣×2×4×1﹣（1+3）＝3，
∴S1：S2＝4：3，
故选：C．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，分别求得S1、S2的值是解题的关键．
10．如图①，在矩形ABCD中，H为CD边上的一点，点M从点A出发沿折线AH﹣HC﹣CB运动到点B停止，点N从点A出发沿AB运动到点B停止，它们的运动速度都是1cm/s，若点M、N同时开始运动，设运动时间为t（s），△AMN的面积为S（cm2），已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（　　）

①当0＜t≤6时，△AMN是等边三角形．
②在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有3个．
③当0＜t≤6时，S＝．
④当t＝9+时，△ADH∽△ABM．
⑤当9＜t＜9+3时，S＝﹣3t+9+3．
A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．③④⑤
【分析】由图②可知：当0＜t≤6时，点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动；由点M、N两点的运动速度为1cm/s，所以可得AH＝AB＝6cm，利用四边形ABCD是矩形可知CD＝AB＝6cm；当6≤t≤9时，S＝且保持不变，说明点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9﹣6）秒，可得HC＝3 cm，即点H为CD的中点；利用以上的信息对每个结论进行分析判断后得出结论．
【解答】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动，如图，

①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s，
∴AH＝AB＝6cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6 cm．
∵当t＝6s时，S＝9 cm2，
∴×AB×BC＝9．
∴BC＝3 cm．
∵当6≤t≤9时，S＝且保持不变，
∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9﹣6）秒，
∴HC＝3 cm，即点H为CD的中点．
∴BH＝ cm．
∴AB＝AH＝BH＝6cm，
∴△ABM为等边三角形．
∴∠HAB＝60°．
∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s，
∴AM＝AN，
∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三角形．
故①正确；
②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形：

此时有两个符合条件的点；
当AD＝AM时，△ADM为等腰三角形，如图：

当DA＝DM时，△ADM为等腰三角形，如图：

综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有4个．
∴②不正确；
③过点M作ME⊥AB于点E，如图，

由题意：AM＝AN＝t，
由①知：∠HAB＝60°．
在Rt△AME中，
∵sin∠MAE＝，
∴ME＝AM•sin60°＝tcm，
∴S＝AN×ME＝ cm2．
∴③正确；
④当t＝9+时，CM＝ cm，如图，

由①知：BC＝3 cm，
∴MB＝BC﹣CM＝2 cm．
∵AB＝6cm，
∴tan∠MAB＝，
∴∠MAB＝30°．
∵∠HAB＝60°，
∴∠DAH＝90°﹣60°＝30°．
∴∠DAH＝∠BAM．
∵∠D＝∠B＝90°，
∴△ADH∽△ABM．
∴④正确；
⑤当9＜t＜9+3时，此时点M在边BC上，如图，

此时MB＝9+3﹣t，
∴S＝×AB×MB＝×6×（9+3﹣t）＝27+9﹣3t．
∴⑤不正确；
综上，结论正确的有：①③④．
故选：A．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，主要涉及函数图象上点的坐标的实际意义，三角形的面积，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函数值．对于动点问题，依据已知条件画出符合题意的图形并求得相应线段的长度是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．已知一次函数y＝（m+4）x+m+2的图象不经过第二象限，则m的范围 　﹣4＜m≤﹣2　．
【分析】由一次函数不经过第二象限得到，求出解集即可得到答案．
【解答】解：∵一次函数y＝（m+4）x+m+2的图象不经过第二象限，
∴，
∴﹣4＜m≤﹣2，
故答案为：﹣4＜m≤﹣2．
【点评】此题考查了一次函数的性质：当k＞0，b＞0时，图象过第一、二、三象限，y随x的增大而增大；当k＞0，b＜0时，图象过第一、三、四象限，y随x的增大而增大；当k＜0、b＞0时，图象过一、二、四象限，y随x的增大而减小；当k＜0，b＜0时，图象过二、三、四象限，y随x的增大而减小．
12．黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为”迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 　4　种添加方式．

【分析】根据正方体的表面展开图的特征，即可解答．
【解答】解：将写有“庆”字的正方形分别放在“建”、“设”、“美”、“丽”的上方均可构成完整的正方体展开图，
所以，共有4种添加方式，
故答案为：4．
【点评】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键．
13．数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：．例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到．现将实数对（﹣2，1）放入其中得到实数m，再将实数对（m，﹣2）放入其中后，得到的实数是　　．
【分析】根据题中的新定义确定出m的值，即可确定出所求实数．
【解答】解：根据题中的新定义得：m＝＝，
则将实数对（m，﹣2）放入其中后，得到的实数是＝，
故答案为：
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．若关于x的不等式3x﹣2m＜x﹣m只有3个正整数解，则m的取值范围是 　6≤m＜8　．
【分析】首先解关于x的不等式，然后根据x只有3个正整数解，来确定关于m的不等式组的取值范围，再进行求解即可．
【解答】解：由3x﹣2m＜x﹣m得：
，
关于x不等式3x﹣2m＜x﹣m只有3个正整数解，
∴，
∴6≤m＜8，
故答案为：6≤m＜8．
【点评】本题考查了解不等式及不等式的整数解，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．
15．哈齐高铁于2015年开通，是我国目前最北端的高速铁路，开通8年时间，方便了千千万万大庆市民出行，也推动了龙江经济发展．从大庆西站到哈尔滨站中间有4个车站，共有 　15　种票价．（注：拟设每两个城市之间的票价相同）
【分析】由于同一段路程的票价是一定的，只要数清楚图中的线段总数，就能确定需要准备几种不同的票价；在数清楚线段总数的前提下，结合同一段路程的起点与终点不同，需要的车票也不同．用票价种类乘．【解答】【点评】
【解答】解：把中途4站看作线段AB上的4个点．

线段共有：5+4+3+2+1＝15（条），
所以有15种不同的票价．
故答案为：15．
【点评】本题考查的是一道有关线段的实际应用题，关键是将中途的4站看作A站与B站所得线段上的4个点．
16．如图，点A0（0，0），A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A（4，0）……．根据这个规律，探究可得点A2023的坐标是 　（2023，﹣2）　．

【分析】由图形得出点的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是2、0、﹣2、0、2、0、﹣2、…，四个一循环，继而求得答案．
【解答】解：观察图形可知，点A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，
纵坐标依次是2、0、﹣2、0、2、0、﹣2、…，
四个一循环，2023÷4＝505…3，
故点A2023坐标是（2023，﹣2）．
故答案为：（2023，﹣2）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律．
17．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D，P分别在，上．若∠BDC＝140°，则∠APC的度数为 　110°　．

【分析】根据圆内接四边形对角互补求得∠BAC的度数，根据等腰三角形的性质可求得∠ABC的度数，进而根据圆内接四边形对角互补即可求得∠APC的度数．
【解答】解：在圆内接四边形ABCD中，∠BDC＝140°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝180°﹣140°＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠APC＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
【点评】此题主要考查了圆的内接四边形的性质，圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角或弧的度数的一半．
18．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠c），且a﹣b+c＝0，a＞0．下列四个结论：
①对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≥0恒成立；
②若a+b＝0，则不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜2；
③一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝1；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若c＞a，则当﹣1＜x1＜x2时，总有y1＜y2．
其中正确的是 　②④　．（填写序号）
【分析】由题意可得，抛物线开口向上，且过（﹣1，0）点，对于①中不等式可变形为am2+bm+c﹣（a+b+c）≥0，对抛物线y＝ax2+bx+c来说，是x＝m与x＝1时的差，根据已知条件不能判断x＝1时是最低点，所以①中的式子不一定成立；②根据a、b的关系确定对称轴，然后得出抛物线与x轴的两个交点，再根据二次函数与不等式的关系判断②；把x＝1代入方程，得到a、b、c之间的关系，再根据抛物线上点的坐标特征判断③；根据c＞a，a＞0，a﹣b+c＝0，可确定抛物线的大体位置，再根据抛物线的增减性判断④．
【解答】解：①由不等式a（m2﹣1）+b（m﹣1）≥0，
变形可得am2+bm+c﹣（a+b+c）≥0．
∵当x＝m时，y＝am2+bm+c，当x＝1时，y＝a+b+c，
∴不等式am2+bm+c﹣（a+b+c）≥0是抛物线当x＝m与x＝1时函数值的差．
∵根据已知条件不能判断当x＝1时，函数有最小值，
∴am2+bm+c﹣（a+b+c）≥0不正确．
∴①不正确．
②∵a﹣b+c＝0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（﹣1，0）点．
∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0）．
∵a＞0，
∴抛物线开口向上．
∴抛物线y＝ax2+bx+c在x轴下方的部分x的取值范围为﹣1＜x＜2．
∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜2．
∴②正确．
③把x＝1代入一元二次方程得，﹣a+b＝2b+c，整理得，a+b+c＝0；
对于函数y＝ax2+bx+c，当x＝1时，y＝a+b+c，
若a+b+c＝0，则抛物线过点（1，0），
但根据已知条件，抛物线y＝ax2+bx+c不一定过（1，0）点，
所以一元二次方程有一个根x＝1不正确，即③错误．
④∵c＞a，a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与y轴正半轴相交．
∵抛物线过（﹣1，0）点，
∴抛物线的对称轴x＝m在直线x＝﹣1的左侧，即m＜﹣1．
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，且﹣1＜x1＜x2．
∴A，B两点在对称轴右侧的抛物线上．
∵抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴y1＜y2．
∴④正确．
综上所述，②④是正确的．
故答案为：②④．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与不等式，方程的关系，灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共66分．在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（4分）（1）计算：+（）﹣1﹣tan45°﹣（2023﹣）0；
（2）化简：．
【分析】（1）根据三次根式的定义、负整数指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数的值以及零指数幂的意义即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝2+2﹣1﹣1
＝4﹣1﹣1
＝3﹣1
＝2．
（2）原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查三次根式的定义、负整数指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数的值、零指数幂的意义以及分式的加减运算，本题属于基础题型．
20．（4分）先化简：，再从0，﹣1，﹣2，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】根据分式的运算法则化简计算即可．
【解答】解：
＝
＝．
∵x≠±2且x≠0，
∴x＝﹣1时，．
【点评】本题考查了分式的化简求值，正确化简，适当选值是解题的关键．
21．（5分）现需加工一批物件，甲单独做4天完成，乙单独做6天完成．现由乙先做1天，再两人合作，完成后共得报酬500元，如果按每人工作量分配报酬，那么该如何分配？
【分析】设两人合作用了x天，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，求出两人的工作量，即可做出判断．
【解答】解：设两人合作用了x天，
根据题意得：，
去分母得：2（x+1）+3x＝12，
去括号得：2x+2+3x＝12，
移项合并得：5x＝10，
解得：x＝2，
可得，，即两人的工作量相同，
则甲与乙各分一半，即（元）．
答：甲与乙各分一半，即每人获得250元报酬．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，求出两人的工作量是解本题的关键．
22．（6分）阳春三月，春暖花开，莲花山风景区游人如织，某摄影爱好者正在用无人机进行航拍．如图，在无人机镜头C处，观测风景区A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，已知A，B两点之间的距离为200米，则无人机镜头C处的高度CD为多少？（点A，B，D在同一条直线上，结果保留根号）

【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加减求差即可．
【解答】解：设CD为x米．
在Rt△ACD中，∠A＝30°．
∵，
∴．
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝x．
∵AD﹣BD＝AB，
∴．
解得x＝．
∴高度CD为（100+100）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为△ABC的AB边上的高，得出直角三角形解答．
23．（6分）教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间，某校为了解本校九年级学生每天参加体育活动的情况，随机抽取了n名学生，对某一天的体育活动时间进行了调查，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
调查结果的频数分布表
组别
时间1（分钟）
频数
A
30≤t＜60
5
B
60≤t＜90
a
C
90≤t＜120
b
D
120≤t＜150
12
E
t≥150
8
根据上述信息，解答下列问题：
（1）频数分布表中的a＝　10　，扇形统计图中C组所在的扇形的圆心角为 　108　度；
（2）被抽取的n名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在哪一组（直接写出组别即可）；
（3）若该校九年级共有720名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育活动时间不低于120分钟的学生人数．

【分析】（1）根据A组的频数和百分比求出抽取总数，用总数乘以B组所占比例可得求出a的值，求出C组所占百分比，乘以360°即可求解；
（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）由题意可得，a＝5÷10%×20%＝10，
扇形统计图中C组所在的扇形的圆心角为（1﹣10%﹣20%﹣24%﹣16%）×360°＝108°，
故答案为：10，108；
（2）由题意可知，被抽取的n名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在C组；
（3）720×（24%+16%）＝288（名），
答：估计该校九年级学生平均每天体育活动时间不低于120分钟的有288名学生．
【点评】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是求出样本容量，利用数形结合的思想解答．
24．（6分）如图，在▱ABCD中，E为AD的中点，延长BE，CD交于点F，连结AF，BD．
（1）求证：△AEB≌△DEF；
（2）若BF＝BC，CD＝6，BD＝8，求AE的长．

【分析】（1）利用平行四边形的性质和全等三角形的判定方法可以得到△AEB≌△DEF即可；
（2）根据已知条件证明四边形ABDF是矩形，然后根据勾股定理即可求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE＝∠FDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEB和△DEF中，
，
∴△AEB≌△DEF（ASA）；
（2）解：∵△AEB≌△DEF，
∴AB＝DF，
又∵AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，
∵BF＝BC，
∴BF＝AD，
∴四边形ABDF是矩形，
∴∠ABD＝90°，
∵AB＝CD＝6，BD＝8，
∴AD＝＝10，
∴AE＝AD＝5．
【点评】本题考查矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确平行四边形的判定方法和矩形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
25．（8分）大庆市为了筹建第五届旅发大会，建设滨水绿道，围绕“以河连湖，以绿串蓝”的理念，秉承“惠及民生、全民共享”的初心，串起一河五湖，沿黎明河主轴线纵伸延展，采用上跨立交和下穿通行的方式，建成一个全长35公里的滨水生态慢行系统．小东与父亲每天在某区段匀速慢跑，以600m距离为一个训练段．已知父子俩起点终点均相同，约定先到终点的人原地休息等待另一人．已知小东先出发20s，如图，两人之间的距离y与父亲出发的时间x之间的函数关系如图所示．请回答下列问题：

（1）小东的速度为 　2　m/s、父亲的速度为 　30　m/s；
（2）求出点A坐标和BC所在直线的解析式；
（3）直接写出整个过程中，哪个时间段内，父子两人之间距离超过了100m．
【分析】（1）由路程除以时间可得小捷的速度为40÷20＝2（m/s），父亲的速度为600÷200＝3（m/s）；
（2）父亲追上小捷所需时间为＝40（s），即得A的坐标为（40，0），求出B坐标是（200，160），C的坐标为（280，0），用待定系数法可得BC所在直线的解析式为y＝﹣2x+560；
（3）求出直线AB解析式为y＝x﹣40，解x﹣40＞100得x＞140，解﹣2x+560＞100得x＜230，即可得140＜x＜230时，父女两人之间距离超过了100m．
【解答】解：（1）由函数图象可得：
小捷的速度为40÷20＝2（m/s），父亲的速度为600÷200＝3（m/s），
故答案为：2，3；
（2）父亲追上小捷所需时间为＝40（s），
∴A的坐标为（40，0），
当父亲出发的时间x＝200s时，两人之间的距离y＝200×3﹣（200+20）×2＝160（m），
∴B坐标是（200，160），
小捷到达终点所需时间为＝300（s），300﹣20＝280，
∴C的坐标为（280，0），
设BC所在直线的解析式为y＝kx+b，把B（200，160），C（280，0）代入得：
，
解得，
∴BC所在直线的解析式为y＝﹣2x+560；
（3）由A（40，0），B（200，160）可得直线AB解析式为y＝x﹣40，
当x﹣40＞100得x＞140，
当﹣2x+560＞100得x＜230，
∴当140＜x＜230时，父女两人之间距离超过了100m．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
26．（8分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数第一象限内的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．
（1）求n和k的值；
（2）如图，以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE、BE，求S△ABE．

【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得n，则可求得A点坐标，代入反比例函数解析式则可求得k的值；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得B点坐标，根据两点间距离公式，可得AB，根据菱形的性质，可得BC的长，根据平行线间的距离相等，可得S△ABE＝S△ABC．
【解答】解：（1）把A点坐标代入一次函数解析式可得：
n＝×4﹣3＝3，
∴A（4，3），
∵A点在反比例函数图象上，
∴k＝3×4＝12；

（2）过A点作AH⊥BC垂足为H，连接AC，

∵一次函数y1＝x﹣3的图象与x轴相交于点B，
∴点B的坐标为（2，0），
∴AB＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝，AB∥CD，
∴S△ABE＝S△ABC＝BC•AH＝××3＝．
【点评】本题考查了反比例函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用平行线间的距离都相等得出S△ABE＝S△ABC是解题关键．
27．（9分）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．

【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明OD∥AC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线；
（2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM；
（3））由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则△ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）证明：∵线段AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．

【点评】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
28．（10分）如图，是将抛物线y＝﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；
（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y＝x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；
（2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3），根据CH＝NH即可列方程求解；
（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ＝OA＝1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y＝x+，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+k．
把（﹣1，0）代入得0＝﹣（﹣1﹣1）2+k，
解得k＝4，
则抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中令x＝0，则y＝3，即C的坐标是（0，3），OC＝3．
∵B的坐标是（3，0），
∴OB＝3，
∴OC＝OB，则△OBC是等腰直角三角形．
∴∠OCB＝45°，
过点N作NH⊥y轴，垂足是H．
∵∠NCB＝90°，
∴∠NCH＝45°，
∴NH＝CH，
∴HO＝OC+CH＝3+CH＝3+NH，
设点N坐标是（a，﹣a2+2a+3）．
∴a+3＝﹣a2+2a+3，
解得a＝0（舍去）或a＝1，
∴N的坐标是（1，4）；
（3）存在点P，点Q使四边形OAPQ是平行四边形，理由如下：
∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ＝OA＝1，且PQ∥OA，
设P（t，﹣t2+2t+3），把Q（t+1，﹣t2+2t+3）代入y＝x+，则﹣t2+2t+3＝（t+1）+，
整理，得2t2﹣t＝0，
解得t＝0或．
∴﹣t2+2t+3的值为3或．
∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．
或Q（t﹣1，﹣t2+2t+3）代入y＝x+，则﹣t2+2t+3＝（t﹣1）+，
解得t＝﹣（舍去）或2（舍弃），
综上所述，P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，），（，）．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及等腰三角形、平行四边形的性质，注意到△OBC是等腰直角三角形是解题的关键．