2023年黑龙江省大庆市中考数学一模试卷

这是一份2023年黑龙江省大庆市中考数学一模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年黑龙江省大庆市中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）若实数a的相反数是﹣3，则a等于（　　）
A．﹣3 B．0 C． D．3
2．（3分）截至2022年3月24日，携带“祝融号”火星车的“天问一号”环绕器在轨运行609天，距离地球277000000千米；277000000用科学记数法表示为（　　）
A．277×106 B．2.77×107 C．2.8×108 D．2.77×108
3．（3分）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　）

A．﹣a﹣c＞﹣b﹣c B．ac＞bc C．|a﹣b|＝a﹣b D．a＜﹣b＜﹣c
4．（3分）下列美丽的图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）下表是某校合唱团成员的年龄分布表：
年龄/岁
12
13
14
15
频数
5
15
x
10﹣x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　）
A．平均数、中位数 B．众数、中位数
C．平均数、方差 D．中位数、方差
6．（3分）已知圆锥的高是12，这个圆锥的侧面展开图的周长为26+10π，则这个圆锥的体积为（　　）
A．75π B．100π C． D．125π
7．（3分）如图，一个长方形的纸条按如图所示方法折叠压平，则∠1的度数等于（　　）

A．74° B．53° C．37° D．54°
8．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
9．（3分）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为（　　）

A．9 B．8 C．10 D．12
10．（3分）若a≥0，b≥0，则有（）2≥0，即a+b≥2．已知函数y1＝x+1（x＞﹣1）与函数y2＝（x+1）2+4（x＞﹣1），由上述结论判断的值正确的是（　　）
A．有最小值4 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值1
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）函数的自变量x的取值范围为 　 　．
12．（3分）函数y＝kx+1经过点（1，0），则该函数不经过第 　 　象限．
13．（3分）在1，2，3，4，5这五个数中，任取两数相加，其和为偶数的概率是　 　．
14．（3分）若关于x的不等式组的解集中的任意x的值，都能使不等式x﹣3＜0成立，则m的取值范围是 　 　．
15．（3分）若关于x的多项式x2﹣ax+36＝（x+b）2，则a+b的值是 　 　．
16．（3分）如图所示，用正六边形瓷砖按规律拼成下面若干图案，则第n个图案共有 　 　个小正六边形瓷砖．

17．（3分）函数y＝kx2+x+1（k为常数）的图象与坐标轴有两个交点，则k的值为 　 　．
18．（3分）如图，P为正方形ABCD内一点，从①PA＝PB；②∠PAB＝15°，③∠ADP＝30° 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为 　 　个．

三、解答题（共66分）
19．（4分）计算：．
20．（4分）先化简，再求值：，其中．
21．（5分）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠1800米，由甲、乙两个施工队同时开工合作修建，直至完工．甲施工队每天修建灌溉水渠100米，乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米．
22．（6分）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM＝30° （图中各点均在同一平面内）．求这棵大树CD的高度．
（结果取整数，参考数据：，，，．）

23．（7分）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：
A．t≤45；
B．45＜t≤60；
C．60＜t≤75；
D．75＜t≤90；
E．t＞90．
将收集的数据整理后，绘制成如图所示两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 　 　，在扇形统计图中，B组的圆心角是 　 　度，本次调查数据的中位数落在 　 　组内；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．

24．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．
（1）求证：AD＝CE；
（2）若D为BC中点，求证：四边形ADCE是矩形．

25．（7分）设函数，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．
（1）如图①，若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m），B（3，1），
①求 y1，y2 的函数表达式；
②直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围；
（2）如图②，若点C（1，n）在函数y1的图象上，点C先向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，点P在y轴上，求△PCD周长的最小值．

26．（8分）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线AB
D、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）①图中点D所表示的实际意义是 　 　；
②产量每增加1kg，销售价格降低 　 　元；
（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

27．（9分）如图，AB为⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，AD＝ED，延长AB至C，连接CD，∠BDC＝∠BED．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：BD•AD＝BE•CD；
（3）若，AC＝9，求BE的长．

28．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数解析式及顶点D的坐标；
（2）连接BD，若点E在线段BD上运动（不与点B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，对称轴交x轴于点T．设EF＝m，当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小？
（3）将抛物线y＝ax2+2x+b在y轴左侧的部分沿y轴翻折，保留其他部分得到新的图象L，在图象L上是否存在点P，使△BDP为直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．


2023年黑龙江省大庆市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）若实数a的相反数是﹣3，则a等于（　　）
A．﹣3 B．0 C． D．3
【解答】解：﹣3的相反数是3，
故选：D．
2．（3分）截至2022年3月24日，携带“祝融号”火星车的“天问一号”环绕器在轨运行609天，距离地球277000000千米；277000000用科学记数法表示为（　　）
A．277×106 B．2.77×107 C．2.8×108 D．2.77×108
【解答】解：277000000＝2.77×108．
故选：D．
3．（3分）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　）

A．﹣a﹣c＞﹣b﹣c B．ac＞bc C．|a﹣b|＝a﹣b D．a＜﹣b＜﹣c
【解答】解：A．由图知：a＞b，那么﹣a＜﹣b，﹣a﹣c＜﹣b﹣c，故选项A不符合题意．
B．由图知：a＞b，c＜0，那么ac＜ab，故选项B不符合题意．
C．由图知：a＞b，那么a﹣b＞0，|a﹣b|＝a﹣b，故选项C符合题意．
D．由图知：|a|＞|b|，a＞0，c＜b＜0，那么a＞﹣b，故选项D符合题意．
故选：C．
4．（3分）下列美丽的图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项A、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
5．（3分）下表是某校合唱团成员的年龄分布表：
年龄/岁
12
13
14
15
频数
5
15
x
10﹣x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　）
A．平均数、中位数 B．众数、中位数
C．平均数、方差 D．中位数、方差
【解答】解：由表可知，年龄为14岁与年龄为15岁的频数和为x+10﹣x＝10，
则总人数为：5+15+10＝30，
故该组数据的众数为13岁，中位数为：岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：B．
6．（3分）已知圆锥的高是12，这个圆锥的侧面展开图的周长为26+10π，则这个圆锥的体积为（　　）
A．75π B．100π C． D．125π
【解答】解：∵这个圆锥的侧面展开图的周长为26+10π，
∴这个圆锥的底面直径为10，
∴这个圆锥的体积为π×（10÷2）2×12＝100π．
故选：B．
7．（3分）如图，一个长方形的纸条按如图所示方法折叠压平，则∠1的度数等于（　　）

A．74° B．53° C．37° D．54°
【解答】解：如图，

由翻折不变性可知：∠1＝∠2，
∵74°+∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝53°，
故选：B．
8．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法错误，不符合题意；
B、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；
C、三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点，故本选项说法错误，不符合题意；
D、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故本选项符合题意．
故选：D．
9．（3分）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为（　　）

A．9 B．8 C．10 D．12
【解答】解：作CH⊥AB于点H，

在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，
∴CH＝4，
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴EF∥CG，
∴△EOD∽△GOC，
∴，
∵DF＝DE，
∴＝，
∴，
∴，
∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，
当EO⊥CD时，EO取得最小值，
∴CH＝EO，
∴EO＝4，
∴GO＝5，
∴EG的最小值是9，
故选：A．
10．（3分）若a≥0，b≥0，则有（）2≥0，即a+b≥2．已知函数y1＝x+1（x＞﹣1）与函数y2＝（x+1）2+4（x＞﹣1），由上述结论判断的值正确的是（　　）
A．有最小值4 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值1
【解答】解：＝＝（x+1）+，
∵x＞﹣1，
∴x+1＞0，
∴（x+1）+≥2，
∴≥4，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）函数的自变量x的取值范围为 　x≤　．
【解答】解：由题意得：3﹣2x≥0，
解得：x≤，
故答案为：x≤．
12．（3分）函数y＝kx+1经过点（1，0），则该函数不经过第 　三　象限．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+1的图象经过点（1，0），
∴0＝k+1，
解得：k＝﹣1，
故y＝﹣x+1，
则一次函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故答案为：三．
13．（3分）在1，2，3，4，5这五个数中，任取两数相加，其和为偶数的概率是　　．
【解答】解：列表得：
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
_
（1，4）
（2，4）
（3，4）
_
（5，4）
（1，3）
（2，3）
_
（4，3）
（5，3）
（1，2）
_
（3，2）
（4，2）
（5，2）
_
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
∴它们的和是偶数的概率为＝．
故答案为：．
14．（3分）若关于x的不等式组的解集中的任意x的值，都能使不等式x﹣3＜0成立，则m的取值范围是 　m≥﹣　．
【解答】解：解不等式x+2m＜0，得：x＜﹣2m，
解不等式3x+m＜15，得：x＜，
①若﹣2m＜，即m＞﹣3时，﹣2m≤3，
解得m≥﹣，
此时m≥﹣；
②若﹣2m≥，即m≤﹣3时，≤3，
解得m≥6，与m≤﹣3不符，舍去；
故m≥﹣．
15．（3分）若关于x的多项式x2﹣ax+36＝（x+b）2，则a+b的值是 　6或﹣6　．
【解答】解：由题意得：x2﹣ax+36＝x2+2bx+b2，
∴，
∴a＝12，b＝﹣6或a＝﹣12，b＝6．
∴a+b＝6或﹣6．
故答案为：6或﹣6
16．（3分）如图所示，用正六边形瓷砖按规律拼成下面若干图案，则第n个图案共有 　（5n+2）　个小正六边形瓷砖．

【解答】解：观察图形的变化可知：第1个图案共有5×1+2＝7个小正六边形瓷砖，
第2个图案共有5×2+2＝12个小正六边形瓷砖，
第3个图案共有5×3+2＝17个小正六边形瓷砖，
...，
所以第n个图案共有（5n+2）个小正六边形瓷砖．
故答案为：（5n+2）．
17．（3分）函数y＝kx2+x+1（k为常数）的图象与坐标轴有两个交点，则k的值为 　0或　．
【解答】解：∵函数y＝kx2+x+1（k为常数）的图象与坐标轴有两个交点，
①二次函数图象与x轴有1个交点，
∴1﹣4k＝0，
∴k＝，
②一次函数图象与坐标轴有两个交点，
∴k＝0，
∴k的值为0或，
故答案为：0或．
18．（3分）如图，P为正方形ABCD内一点，从①PA＝PB；②∠PAB＝15°，③∠ADP＝30° 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为 　3　个．

【解答】解：①②⇒③是真命题，
理由：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，AD＝CD，∠BAD＝90°，
作PF⊥AB于F，PE⊥AD于E，
∴∠AFP＝∠AEP＝90°＝∠BAD，
∴四边形AEBF是矩形，
在AF上取一点H使AH＝PH，则∠PHF＝30°，
设PF＝AE＝1，则PH＝2，FH＝，
则AF＝BF＝2+，
∴CD＝AD＝AB＝4+2，
在Rt△DEP中，PD＝
＝
＝
＝
＝2
＝2（2+）
＝4+2＝CD，
∵PA＝PB，
∴点P是AB的垂直平分线上，
∵AB∥CD，
∴点P也是CD的垂直平分线上，
∴PD＝PC，
∴PD＝CD＝PC
∴△PDC是等边三角形，可得∠ADP＝30°；
①③⇒②是真命题，
理由：首先证明△PDC是等边三角形，推出DA＝DP，推出∠DAP＝75°，可得结论．
②③⇒①是真命题，
理由：首先证明：DA＝DP，△PDC是等边三角形，即可推出结论．
故答案为：3．

三、解答题（共66分）
19．（4分）计算：．
【解答】解：原式＝2+2﹣﹣2
＝．
20．（4分）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
∵，
∴a＝2b，
∴原式＝．
21．（5分）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠1800米，由甲、乙两个施工队同时开工合作修建，直至完工．甲施工队每天修建灌溉水渠100米，乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米．
【解答】解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠m米，则技术更新后每天修建水渠（1+20%）m米，
1800÷2＝900（米），
由题意得：，
解得：m＝90，
经检验，m＝90是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
22．（6分）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM＝30° （图中各点均在同一平面内）．求这棵大树CD的高度．
（结果取整数，参考数据：，，，．）

【解答】解：由题意，得∠CAE＝15°，AB＝30米，∠CBE＝30°，
∴∠ACB＝∠CAE＝15°，
∴AB＝BC＝30米，
在Rt△CBE中，∠CBE＝30°，BC＝30，
∴（米），
在Rt△DEB中，∠DBE＝53°，
∴（米），
（ 米），
∴这棵大树CD的高度约为20米．
23．（7分）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：
A．t≤45；
B．45＜t≤60；
C．60＜t≤75；
D．75＜t≤90；
E．t＞90．
将收集的数据整理后，绘制成如图所示两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 　100　，在扇形统计图中，B组的圆心角是 　72　度，本次调查数据的中位数落在 　C　组内；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．

【解答】解：（1）这次调查的样本容量是：25÷25%＝100，
扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×＝72°，
∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组，
∴中位数落在C组．
故答案为：100，72，C；
（2）D组的人数为：100﹣10﹣20﹣25﹣5＝40，
补全的条形统计图如图所示：

（3） 名），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生大约有1710名．
24．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．
（1）求证：AD＝CE；
（2）若D为BC中点，求证：四边形ADCE是矩形．

【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB．
在▱ABDE中，AB＝DE，AB∥DE，
∴∠B＝∠EDC，AC＝DE．
∴∠EDC＝∠ACB，
在△ADC和△ECD中，
，
∴△ADC≌△ECD（SAS），
∴AD＝CE；
（2）四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AE∥BC，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AE＝CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
由（1）知AC＝DE，
∴▱ADCE是矩形．
25．（7分）设函数，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．
（1）如图①，若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m），B（3，1），
①求 y1，y2 的函数表达式；
②直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围；
（2）如图②，若点C（1，n）在函数y1的图象上，点C先向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，点P在y轴上，求△PCD周长的最小值．

【解答】解：（1）①把点B（3，1）代入 ，得 k1＝3，
∴y1 的函数表达式为 ，
把点A（1，m）代入 ，得m＝3，
把点A（1，3），B（3，1）代入 y2＝k2x+b，得 ，
解得，
∴y2 的函数表达式为 y2＝﹣x+4；
②观察图象，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是0＜x＜1或x＞3；
（2）点C（1，n）向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，可得点D的坐标为（2，n﹣2）．
∵C，D两点均在 y3 上，
∴2（n﹣2）＝n，解得n＝4，
此时点C（1，4），D（2，2），，
∵点C关于y轴的对称点C′为（﹣1，4），
∴CD＝＝，
∴△PCD周长的最小值为 ．
26．（8分）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线AB
D、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）①图中点D所表示的实际意义是 　当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元，　；
②产量每增加1kg，销售价格降低 　0.6　元；
（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

【解答】解：（1）①当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元，
故答案为：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；
②产量每增加1kg，销售价格降低 （120﹣42）÷130＝0.6（元）；
故答案为：0.6；
（2）设线段AB的函数关系式为 y1＝k1x+b1，
∵y1＝k1x+b1 的图象过点（0，60）与（90，42），
∴，
解得，
∴线段AB的函数关系式为y1＝﹣0.2x+60（0≤x≤90）；
（3）设线段CD的函数关系式为 y2＝k2x+b2．
∵线段CD经过点（0，120）与（130，42），
∴，
解得，
∴线段CD的函数关系式为y2＝﹣0.6x+120（0≤x≤130）．
设产量为xkg时，获得的利润为W元．
当0≤x＜90时，W＝x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]＝﹣0.4（x﹣75）2+225 0，
∴当x＝75时，W的值最大，最大值为2250；
当90≤x≤130时，W＝x[（﹣0.6x+120）﹣42]＝﹣0.6（x﹣65）2+2535，
∴当x＝90时，W的值最大，最大值为2160．
∵2160＜2250，
∴当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大利润为2250元．
27．（9分）如图，AB为⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，AD＝ED，延长AB至C，连接CD，∠BDC＝∠BED．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：BD•AD＝BE•CD；
（3）若，AC＝9，求BE的长．

【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∵∠BDC＝∠BED，∠BED＝∠A，
∴∠BDC＝∠A，
∴∠BDC+∠ODB＝90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是⊙O的半径；
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：如图，连接AE，
∵AD＝ED，
∴OD⊥AE，
由（1）知CD⊥OD，
∴AE∥CD，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠EDB＝∠EAB，
∴∠EDB＝∠C，
∵∠BED＝∠BAD，
∴△BED∽△DAC，
∴，
∴BD•AD＝BE•CD；
（3）解：∵∠ADB＝90°，tanA＝＝，
∵∠BDC＝∠DAC，
∴△BDC∽△DAC，
∴，
∵AC＝9，
∴CD＝6，
∴BC＝4，
∴，
由（2）知∠EDB＝∠C，
∴△EDB∽△DCB，
∴，
∴，
∴．

28．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数解析式及顶点D的坐标；
（2）连接BD，若点E在线段BD上运动（不与点B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，对称轴交x轴于点T．设EF＝m，当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小？
（3）将抛物线y＝ax2+2x+b在y轴左侧的部分沿y轴翻折，保留其他部分得到新的图象L，在图象L上是否存在点P，使△BDP为直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵y＝ax2+2x+b经过B（3，0），C（0，3），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点D（1，4）；
（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．

∵C（0，3），B（3，0），D（1，4），
∴BC＝＝3，
CD＝＝，
BD＝＝2，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∵•CD•CB＝•BD•CH，
∴CH＝＝，
∵EF⊥x轴，DT⊥x轴，
∴EF∥DT，
∴，
∴，
∴BE＝m，BF＝m，
∴△BFE与△DEC的面积之和S＝×m×m+×（2﹣m）×＝（m﹣）2+，
∵＞0，
∴S有最小值，最小值为，此时m＝，
∴m＝时，△BFE与△DEC的面积之和有最小值；
（3）存在．
理由：如图2中，将抛物线y＝ax2+2x+b在y轴左侧的部分沿y轴翻折，则翻折后抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3（x≥0）．

①当∠BDP＝90°时，如图3，点P在y＝﹣x2+2x+3（x≥0）上，

设P（p，﹣p2+2p+3），过点P作PM⊥DT于M，
∴∠PMD＝∠DTB＝90°，∠PDM+DPM＝90°，
∵∠PDM+∠BDT＝∠BDP＝90°，
∴∠DPM＝∠BDT，
∴△DPM∽△BDT，
∴，
∴，解得p＝或1（舍去），
∴点P的坐标为（，）；
②当∠DPB＝90°时，

由（2）知∠BCD＝90°，
∴当点P和点C重合时，∠DPB＝90°，△BDP为直角三角形，
∵y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3过点T（1，0），
∴当点P和点T重合时，∠DP′B＝90°，△BDP为直角三角形，
∴点P的坐标为（0，3）或（1，0）；
③当∠DBP＝90°时，如图5，点P在y＝﹣x2﹣2x+3（x≥0）上，

设P（p，﹣p2﹣2p+3），过点P作PN⊥x轴于N，
同理可得△PBN∽△BDT，
∴，
∴，解得p＝或（舍去），
∴点P的坐标为（，）；
综上所述，满足条件的点P的坐标为（，）或（0，3）或（1，0）或（，）．