初中数学人教版八年级下册19.1.1 变量与函数导学案及答案

这是一份初中数学人教版八年级下册19.1.1 变量与函数导学案及答案，共17页。学案主要包含了知识点剖析，函数的定义等内容，欢迎下载使用。
人教版八年级19.1变量与函数讲义
一、知识点剖析
知识点一、 变量与函数
变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。
常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。
【注意】1）变量可变，而常量不变。
2）常量和变量的区分：在某个变化过程中该量的值是否发生变化。
知识点二、函数的定义
1.一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，y就叫做是x的函数。
【函数概念的解读】1）有两个变量。
2）一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。
3）对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
4）y叫x的函数
2.函数自变量的取值范围：一般的，一个函数的自变量x允许取值的范围，叫做这个函数的取值范围.
3.确定函数自变量取值范围的方法：
1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；
4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
5）实际问题中函数定义域要和实际情况相符合，使之有意义。
4.函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值。
5.函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
6.函数的取值范围的确定：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围。
7.函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：
1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。
2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。
8.函数的三种表示法及其优缺点
解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

优点
缺点
解析法
准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系
求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实
际问题中有的函数值不一定能用解析式表示
列表法
自变量和与它对应的函数值数据一目了然

所列对应数值个数有限，不容易看出自变量
与函数值的对应关系，有局限性
图像法
形象的把自变量和函数值的关系表示出来
图像中只能得到近似的数量关系

二、经典例题



1.常量变量
例1．（2022·湖南长沙·八年级期中）把15本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本，则下列判断错误的是（　　）
A．15是常量 B．15是变量 C．x是变量 D．y是变量
【变式训练】1
（2023·山东济南市·七年级期中）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（　　）

A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
2.函数定义
例2.（2022秋·广西贺州·八年级统考期末）下列表达式中，y不是x的函数的是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练】2.
（2022秋·安徽六安·八年级统考期中）如图，下列各曲线中，不是的函数的是（     ）
A．B．C．D．
3.求自变量的取值范围
例3．（2022·河北唐山·八年级期末）下列函数关系式中，自变量x的取值范围错误的是（　　）
A．y＝2x2中，x为全体实数 B．y＝中，x≠﹣1
C．y＝中，x＝0 D．y＝中，x＞﹣7
【变式训练】3.
（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）函数中，自变量x的取值范围是（    ）
A． B．且 C． D．且
4. 函数值
例4.如图所示，表示了自变量x与因变量y的关系，当输入x的值是时，输出y的值是（    ）

A．2 B． C．4 D．
【变式训练】4.
按照如图所示的程序计算函数y的值时，若输入x的值是3，则输出y的值是﹣7，若输入x的值是1，则输出y的值是（　　）

A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2
5. 函数图象的识别
例5.小明骑车沿直线匀速前行，他前进了6千米后，原地休息了一会儿，又往回骑了3千米，接着又调头骑了9千米．下列能反映小明离开的距离与骑车时间的函数关系的大致图象是（   ）
A． B． C．D．
【变式训练】
为积极响应党和国家精准扶贫的号召，某扶贫工作队步行前往扶贫点开展入户调查。队员们先匀速步行一段时间，途中休息几分钟后加快了步行速度，最终按原计划时间到达目的地。设行进时间为t（单位：min），行进的路程为s（单位：m），则能近似刻画s与t之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．

6.从函数图象获取信息
例6.（2022秋·安徽六安·八年级统考期末）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的长度为100米；②火车的速度为30米/秒；③火车整体都在隧道内的时间为25秒；④隧道长度为1050米．其中正确的结论是（    ）

A．②③ B．①② C．③④ D．①④
【变式训练】
巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______；(2)朱老师的速度为_____米/秒，小明的速度为______米/秒；(3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？













人教版八年级19.1变量与函数讲义（解析版）
例1．（2022·湖南长沙·八年级期中）把15本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本，则下列判断错误的是（　　）
A．15是常量 B．15是变量 C．x是变量 D．y是变量
【答案】B
【分析】一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，据此判断即可．
【详解】解：把15本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．则x和y分别是变量，15是常量．故选：B．
【点睛】本题考查函数的基础：常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题关键．
【变式训练】1
（2023·山东济南市·七年级期中）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（　　）

A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【答案】C
【分析】根据常量与变量的定义即可判断．
【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：C．
【点睛】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．
2.函数定义
例2.（2022秋·广西贺州·八年级统考期末）下列表达式中，y不是x的函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义即可求解．
【详解】中，x取一个值，y有两个值和其对应，故A选项符合题意；
中，x取一个值，y有唯一的值和其对应，故B选项不符合题意；
中，x取一个值，y有唯一的值和其对应，故C选项不符合题意；
中，x取一个值，y有唯一的值和其对应，故D选项不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查函数的定义，解题的关键是根据函数的定义进行判断．
【变式训练】2.
（2022秋·安徽六安·八年级统考期中）如图，下列各曲线中，不是的函数的是（     ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对于自变量x的每一个确定的值y都有唯一的确定值与其对应，则y是x的函数，根据函数的定义解答即可.
【详解】解：A、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查函数的定义，函数图象，结合函数图象正确理解函数的定义是解题的关键.
3.求自变量的取值范围
例3．（2022·河北唐山·八年级期末）下列函数关系式中，自变量x的取值范围错误的是（　　）
A．y＝2x2中，x为全体实数 B．y＝中，x≠﹣1
C．y＝中，x＝0 D．y＝中，x＞﹣7
【答案】B
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式，判断即可．
【详解】解：A、y＝2x2中，x为全体实数，自变量x的取值范围正确，不符合题意；
B、y＝，x＞﹣1，本选项自变量x的取值范围错误，符合题意；
C、y＝，x＝0，自变量x的取值范围正确，不符合题意；
D、y＝，x＞﹣7，自变量x的取值范围正确，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
【变式训练】3.
（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）函数中，自变量x的取值范围是（    ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，即可求解 ．
【详解】解：根据题意得：，
解得：且．
故选：D
【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，熟练掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
6. 函数值
例4.如图所示，表示了自变量x与因变量y的关系，当输入x的值是时，输出y的值是（    ）

A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】将代入，求出值即可．
【详解】解：当时，；
故选C．
【点睛】本题考查求函数值．熟练掌握将自变量的值代入函数关系式，即可求出函数值，是解题的关键．
【变式训练】4.
按照如图所示的程序计算函数y的值时，若输入x的值是3，则输出y的值是﹣7，若输入x的值是1，则输出y的值是（　　）

A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2
【分析】先根据输入x的值是3，则输出y的值是﹣7，得到方程：﹣7＝﹣2×3+b，求出b的值，再令x＝1，计算出y即可．
【解析】∵输入x的值是3，则输出y的值是﹣7，
∴﹣7＝﹣2×3+b，
解得：b＝﹣1，
∴当x＜2时，y＝﹣x﹣1，
∴当x＝1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
故选：B．
7. 函数图象的识别
例5.小明骑车沿直线匀速前行，他前进了6千米后，原地休息了一会儿，又往回骑了3千米，接着又调头骑了9千米．下列能反映小明离开的距离与骑车时间的函数关系的大致图象是（   ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】依据小明一系列的动作，匀速前往对应的图象是上升的直线，匀速返回对应的图象是下降的直线等即可得出结论．
【详解】解：∵他沿直线匀速行驶6千米，
∴此图象是一段上升的直线，
∵休息了一段时间，
∴图象是一段平行于t轴的直线，
∵沿原路返回3千米，
∴图象是一段下降的直线，
∵调头再前进了9千米，
∴得图象是一段上升的直线．
∴综合考虑得图象是C．
故选：C．
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象、运动变化的规律等基础知识，考查数形结合思想，属于基础题．
【变式训练】
为积极响应党和国家精准扶贫的号召，某扶贫工作队步行前往扶贫点开展入户调查。队员们先匀速步行一段时间，途中休息几分钟后加快了步行速度，最终按原计划时间到达目的地。设行进时间为t（单位：min），行进的路程为s（单位：m），则能近似刻画s与t之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．

A
【分析】
根据行进的路程和时间之间的关系，确定图象即可得到答案．
【详解】
解：根据题意得，队员的行进路程s（单位：m）与行进时间t（单位：min）之间函数关系的大致图象是

故选：A
【点拨】
本题考查函数图象，正确理解函数自变量与因变量的关系及其实际意义是解题的关键．

6.从函数图象获取信息
例6.（2022秋·安徽六安·八年级统考期末）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的长度为100米；②火车的速度为30米/秒；③火车整体都在隧道内的时间为25秒；④隧道长度为1050米．其中正确的结论是（    ）

A．②③ B．①② C．③④ D．①④
【答案】A
【分析】根据函数的图象即可确定在段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米秒，进而即可确定其它答案．
【详解】
解：在段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米秒．故②正确；
火车的长度是150米，故①错误；
整个火车都在隧道内的时间是：秒，故③正确；
隧道长是：米，故④错误．
故正确的是：②③．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
【变式训练】
巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______；(2)朱老师的速度为_____米/秒，小明的速度为______米/秒；(3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？

【分析】根据函数图象可知，小明4分钟所走的路程为1600米，4～6分钟休息，6～10分钟骑车（2800﹣1600）米，骑车的总路程为2800米，根据路程、速度、时间的关系进行解答即可．
【解析】①根据图象可知，在4～6分钟，路程没有发生变化，所以小依中途休息的时间为：6﹣4＝2分钟，故①正确；②根据图象可知，当t＝4时，s＝1600，所以小依休息前骑车的平均速度为：1600÷4＝400（米/分钟），故②正确；③根据图象可知，小依在上述过程中所走的路程为2800米，故③错误；
④小依休息后的骑车的平均速度为：（2800﹣1600）÷（10﹣6）＝300（米/分），小依休息前骑车的平均速度为：1600÷4＝400（米/分钟），
400＞300，所以小依休息前骑车的平均速度大于休息后骑车的平均速度，故④错误；
综上所述，正确的有①②2个．故答案为：①②．


学以致用



1.在圆周长的计算公式C＝2πr中，变量有（　　）
A．C，π B．C，r C．π，r D．C，2π
2.下列各图象中，y不是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
3.寒冷的冬天里我们在利用空调制热调控室内温度的过程中，空调的每小时用电量随开机设置温度的高低而变化，这个问题中自变量是（       ）
A．每小时用电量 B．室内温度 C．设置温度 D．用电时间
4.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是﹣1，则输出的y值为（　　）

A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
5.在函数y＝+（x﹣4）0中，自变量x的取值范围是_____．
6. 小明早上步行去车站，然后坐车去学校．如图象中，能近似的刻画小明离学校的距离随时间变化关系的图象是_____．（填序号）

7.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了 一觉. 当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终 点……. 用 s1 、s2 分别表示乌龟和兔子所行的路程， t 为时间，则下列图像中与故事情节相吻合的是（ ）
A．B．C．D．
8.周末，小明骑车从家前往公园，中途休息了一段时间．他从家出发后所用时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示．对于下列说法：①小明中途休息了2分钟；②小明休息前的骑车速度为每分钟400米；③小明所走的路程为4400米；④小明休息前的骑车速度小于休息后的骑车速度．其中正确结论的序号是 　　．






学以致用答案：
1. B
【分析】根据变量定义可得答案．
【解析】在圆周长的计算公式C＝2πr中，变量有C和r，
故选：B．
2. B
【分析】函数的定义：在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则x叫自变量，y是x的函数．根据定义再结合图象观察就可以得出结论．
【解析】根据函数定义，如果在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应．而B中的y的值不具有唯一性，所以不是函数图象．
故选：B．
3. C
【分析】根据题意分析，自变量是设置温度，因变量是空调的每小时用电量，据此分析即可．
【详解】解：空调的每小时用电量随开机设置温度的高低而变化，这个问题中自变量是设置温度，故选：C．
【点睛】本题考查了自变量与函数关系，理解题意是解题的关键．
4. C
【分析】由﹣1在﹣2＜x≤2之间，把x＝﹣1代入y＝﹣x2计算即可．
【解析】当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）2＝﹣1．
故选：C．
5. x＞3且x≠4．
【分析】
结合二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不能为零，零的零次幂没有意义等知识点求解自变量取值范围．
【详解】
解：要使函数y＝+（x﹣4）0有意义，
则x﹣3＞0且x﹣4≠0，
解得x＞3且x≠4，
故答案为：x＞3且x≠4．
【点拨】
本题主要考查了函数自变量的取值范围，对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
6. ④

【分析】
根据上学，可得离学校的距离越来越小，根据开始步行，可得距离变化慢，后来坐车，可得距离变化快．
【详解】
①距离越来越大，选项错误；
②距离越来越小，但前后变化快慢一样，选项错误；
③距离越来越大，选项错误；
④距离越来越小，且距离先变化慢，后变化快，选项正确；
故答案为：④．
【点拨】
本题考查了函数图象，观察距离随时间的变化是解题关键．
7. A
【分析】
根据题意，兔子的路程随时间的变化分为3个阶段，由此即可求出答案．
【详解】
解：根据题意：s1一直增加；
s2有三个阶段，第一阶段：s2增加；
第二阶段，由于睡了一觉，所以s2不变；
第三阶段，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，s2增加；
∵乌龟先到达终点，即s1在s2的上方．
故选：A．
【点拨】
本题考查变量之间的关系．能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．
8.【答案】(1)t，s；(2)2，6；(3)小明距起点的距离为300米．
【分析】(1)观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变
(2)根据速度=路程÷时间,即可分别算出朱老师以及小明的速度;
(3)设t秒时，小明第一次追上朱老师,列出关系式即可解答
【详解】解：(1)在上述变化过程中，自变量是t，因变量是s；
(2)朱老师的速度＝2(米/秒)，小明的速度为＝6(米/秒)；故答案为t，s；2，6；
(3)设t秒时，小明第一次追上朱老师根据题意得6t＝200+2t，解得t＝50(s)，则50×6＝300(米)，
所以当小明第一次追上朱老师时，小明距起点的距离为300米．
【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键在于看懂图中数据。