2023届河南省新乡市高三第三次模拟考试数学（理）试题含解析

2023届河南省新乡市高三第三次模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意求集合，进而求.

【详解】因为，，

所以.

故选：C.

2．已知复数z满足，则（    ）

A．2 B． C．3 D．5

【答案】B

【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式计算即可.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：B

3．已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，是数列的前项和，则（    ）

A．45 B．42 C．84 D．135

【答案】A

【分析】根据等差数列的通项及等比数列的性质求得，，进而由等差数列的前项和公式求.

【详解】设公差为，因为，，成等比数列，

所以，解得（舍去）或，

所以，.

故选：A.

4．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数奇偶性结合函数值的符合分析判断.

【详解】由题意可得：的定义域为，

因为，

所以为奇函数，排除B，D.

当时，则，可得，

所以，排除A.

故选：C.

5．一度跌入低谷的中国电影市场终于在兔年春节迎来了大爆发.2023年春节档（除夕至大年初六），在《满江红》《流浪地球2》《熊出没·伴我“熊芯”》《无名》《深海》《交换人生》等电影的带动下，全国票房累计67.59亿，超越2022年同期票房成绩，仅次于2021年成为史上第二强春节档.以下是历年的观影数据，下列选项正确的是（    ）

历年春节档观影人数（万）        历年春节档场次（万）

历年春节档上映新片数量           历年春节档票房（亿元）

A．2022年春节档平均每场观影人数比2023年春节档平均每场观影人数多

B．这4年中，每年春节档上映新片数量的众数为10

C．这4年中，每年春节档票房的极差为29.38亿元

D．这4年春节档中，平均每部影片的观影人数最多的是2023年

【答案】D

【分析】计算2022年，2023年春节档平均每场观影人数可判断A；求得这4年中，每年春节档上映新片的数量的众数可判断B；求出这4年中，每年春节档票房的极差可判断C；求出这4年平均每部影片的观影人数可判断D.

【详解】对于A，2022年春节档平均每场观影人数为，

2023年春节档平均每场观影人数为，故A错误；

对于B，这4年中，每年春节档上映新片的数量从小到大排列为7，8，8，10，所以众数为8，故B错误；

对于C，这4年中，每年春节档票房的极差为亿元，故C错误；

对于D，这4年平均每部影片的观影人数依次为万，万，万，万，故D正确.

故选：D.

6．设x，y满足约束条件则的最大值为（    ）

A．7 B．6 C．2 D．

【答案】B

【分析】根据约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．

【详解】根据约束条件画出可行域（如图），

把变形为，得到斜率为，在轴上的截距为，随变化的一族平行直线．

由图可知，当直线过点时，截距最大，

解方程组，得点A坐标为，

所以的最大值为．

故选：B.

7．已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据点为抛物线上一点，代入抛物线方程，再由，利用抛物线的定义求解.

【详解】解：依题意得 ，

因为，所以.

又，解得，

所以抛物线的方程为.

故选：D

8．已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，下列说法错误的是（    ）

A． B．直线是图象的一条对称轴

C．在上单调递减 D．是奇函数

【答案】B

【分析】由可得，由对称中心可求得，从而知函数的解析式，再根据余弦函数的图象与性质，逐一分析选项即可.

【详解】因为点在的图象上， 所以.又，所以.

因为图象的一个对称中心是，所以，，

则，.又，所以，则，A正确.

，则直线不是图象的一条对称轴，B不正确.

当时，，单调递减，C正确.

，是奇函数，D正确.

故选：B.

9．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则这两部分中大的体积与小的体积的比值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设平面与平面交于， 由面面平行的性质可得，结合题意可知F是BC的中点，利用台体的体积公式可得，进而得出答案.

【详解】连接，设平面与平面交于，

因为平面平面，平面与平面交于，

则，又，

则，又是棱的中点，则F是BC的中点.

，,

，

，故.

故选：A.

10．设双曲线的左、右焦点分别为，，直线与双曲线C交于M，N两点，若为正三角形，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由双曲线的定义得，，在中利用余弦定理求得结果.

【详解】显然，直线经过，

设直线与双曲线C的左支交于点M，右支交于点N，

由双曲线的定义，得，，所以，

在中，，，，，

由余弦定理得，

整理得 ，所以.

故选：D.

11．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题设条件画出函数的图象，由图象分析得出的取值范围.

【详解】因为当时，；，

所以，即若在上的点的横坐标增加2，则对应值变为原来的；若减少2，则对应值变为原来的2倍.

当时，，，

故当时，对任意，不成立，

当时，，

同理当时，，

以此类推，当时，必有.

函数和函数的图象如图所示：

因为当时，，

令，解得，（舍去），

因为当时，成立，所以.

故选：A.

【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.

12．已知，，，则下列关系正确的为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，，，利用导数研究函数，结合函数的单调性等性质即可得答案.

【详解】令，，，

，当时，单调递减；当时，单调递增，

即 （当时，等号成立），

所以，即.

，故在上单调递增，

因为，，所以，则，即；

， 令，则，故在定义域上单调递增，

当时，，故在上单调递增，

则，即，.

综上，，即.

故选：B.

【点睛】方法点睛：利用导数比较大小，通常根据题目特征及导数运算公式结构特征，构造出需要的函数，然后对所构造的函数进行讨论，利用函数的单调性等性质得出结论．

二、填空题

13．已知向量，，且，则__________．

【答案】16

【分析】由向量的坐标运算得，根据向量垂直的坐标表示列式计算即可.

【详解】因为，，

所以，解得 .

故答案为：16．

14．已知数列满足，，则的最小值为__________．

【答案】6

【分析】由累加法求出数列的通项公式，再根据基本不等式求解即可．

【详解】由得，

当时，，，…，，

将这个式子累加得，

则，时也适合，

所以，当且仅当时，等号成立.

故答案为：6.

15．为了参加学校组织的米接力赛，某班挑选甲、乙、丙、丁4名员进行训练，现要求甲、乙必须安排交接棒，但甲、丙不能安排交接棒，则不同的交接棒顺序有__________种.

【答案】8

【分析】应用分类计数原理结合排列数计算求解即可.

【详解】若甲第一棒，则乙必须第二棒，此时有种交接棒顺序；

若甲第二棒，则乙必须第一棒或者第三棒，此时丙只能在第四棒，所以有2种交接棒顺序；

若甲第三棒，则乙必须第二棒或者第四棒，此时丙只能在第一棒，所以有2种交接棒顺序；

 若甲第四棒， 则乙必须第三棒，此时有种交接棒顺序.

故共有8种不同的交接棒顺序.

故答案为：8.

16．已知球O的体积为，三棱锥的顶点均在球的表面上，，，，，E为AC的中点，当时，三棱锥的体积为__________．

【答案】/

【分析】根据题意分析可得E就是球O的球心，平面BCD，球的半径，结合锥体的体积公式分析运算.

【详解】连接，

因为，，

所以，E为AC的中点，且，

即，则E就是球O的球心，

因为，，，

所以平面ABD，

平面ABD，所以，

又因为，，平面BCD，

设球O的半径为，

因为球O的体积为，则，解得，

则，，，

所以三棱锥的体积.

故答案为：.

【点睛】方法定睛：多面体与球切、接问题的求解方法

1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．

2.若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解．

正方体的内切球的直径为正方体的棱长．

3.球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．

4.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．

三、解答题

17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求角A；

(2)若，且的周长为，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用诱导公式化简，由正弦定理边角转化，结合二倍角公式求得，由此可得结果；

（2）利用三角形周长得到，利用余弦定理构造出关于的方程，解出的值，代入三角形面积公式可求得结果.

【详解】（1）因为，则，

所以， 则，

因为，所以，.

因为，所以，

因为，所以，即.

（2）因为的周长为，，所以，

由余弦定理得，即，解得，

所以.

18．现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．

(1)求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率．

(2)已知甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为X，X的数学期望为．证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据超几何分布，即可求解；

（2）当时，X的取值可能是2，3，4；当时，X的取值可能是0，1，2，利用超几何分布分布求出对应的概率，结合数学期望的公式分布计算即可求解.

【详解】（1）由题可知，

甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率．

（2）当时，X的取值可能是2，3，4，

且，，，

则．

当时，X的取值可能是0，1，2，

且，，，

则．

故．

19．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，是等边三角形，，，M是AD的中点.

(1)证明：平面ECD.

(2)当二面角为时，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由题意可得四边形DEFM是平行四边形，从而，利用线面平行的判定定理可得结论；

（2）取AB的中点O，连接FO，过点O作AD的平行线ON交CD于N，以O为原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立空间直角坐标系. 由题意得是二面角的平面角，，求出平面CBF，平面ABF的法向量，利用向量夹角公式可求得结果.

【详解】（1）因为，，M是AD的中点，

所以，且，

所以四边形DEFM是平行四边形，从而，

因为平面ECD，平面ECD，所以平面ECD.

（2）取AB的中点O，连接FO，过点O作AD的平行线ON交CD于N，以O为原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为是等边三角形，所以.

因为，所以，且，

所以就是二面角的平面角，，

则，，，，

，，.

设是平面CBF的法向量，

则即 取，得 .

设是平面ABF的法向量，

则即 取，得，

所以，

易知二面角为锐角，所以它的余弦值为.

20．已知椭圆 的左、右焦点分别为，，为C上一动点，的最大值为，且长轴长和短轴长之比为2 .

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若，过P作圆 的两条切线，，设，与x轴分别交于M，N两点，求面积的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由，求解；

（2）当过P的切线斜率存在，设其方程为，即，令，得切线与轴的交点坐标为，再根据切线和圆O相切，得到，即，设切线，的斜率分别为，，从而得到，，由结合韦达定理求解.

【详解】（1）解：由题意得，，

所以，

所以，

解得，，

则椭圆的标准方程为.

（2）如图所示：

当过P的切线斜率存在，即，时，

设其方程为，即，

令，得切线与轴的交点坐标为.

因为切线和圆O相切，所以

化简得，

 则有，.

设切线，的斜率分别为，，则，，

所以

因为P在椭圆C上，所以有，代入上式化简可得.

令 ，得，，

则.

令，则，

当时，，单调递增，，即.

当过P的切线斜率不存在时，此时或.

若P点的坐标为，由对称性可得，

因为，所以面积的最小值为.

21．已知，函数 .

(1)过原点作曲线的切线，求切线的方程；

(2)证明：当或时，.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设切点为，利用导数的几何意义求得，得，切线斜率，即可得切线的方程；

（2）（方法一）①当时，即证，利用不等式及基本不等式可得证；②当时，即要证，构造函数，利用函数的单调性证明.（方法二）当时，同上；当时，即证，构造函数，由的单调性可知，只需证明，由，只要证明，构造函数，由的单调性可得证.

【详解】（1）因为，所以.

因为原点O不在的图象上，设切点为，

所以切线的斜率，解得，

所以，，所以切线的方程为，即.

（2）（方法一）①当时，要证成立，

即证，也即.

令，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

故，则．

所以，又，

所以，即.

②当时，，即，即要证.

令，则，

当时，，所以在上单调递增，

从而，即当时，.

由①知，所以.

综上，当或时，.

（方法二）当时，同上；

当时，要证，

即证，亦即.

令，则，所以在上单调递减，

所以只需证明.

由①知，下面只要证明.

令，所以，单调递增，

从而.

综上，当或时，.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将问题逐步转化，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数，再通过导数研究函数的性质进行证明．

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)P为直线l上一点，过P作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，若，求点P的横坐标的取值范围.

【答案】(1)曲线为，直线为

(2)

【分析】（1）消参可得曲线的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式化简可得直线直角坐标方程；

（2）由圆的几何性质可转化为P点与圆心距离满足，解不等式得解.

【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），

可得，即曲线的普通方程为.

由，得，

直线l的直角坐标方程为.

（2）设，若，则，

所以，即，

所以，化简得，

解得，即点P的横坐标的取值范围为.

23．已知函数.

(1)若，求不等式的解集；

(2)若，的最小值为8，且正数m，n满足，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）分类讨论去绝对值符号，解不等式即可；

（2）由绝对值三角不等式可得，则，解得，所以，然后利用基本不等式可证得结论.

【详解】（1）若，则.

当时，，解得，所以；

当时，成立，所以 ；

当时，，解得，所以.

综上，原不等式的解集为.

（2），当且仅当时，等号成立，

由，解得，所以.

因为，所以，

所以，当且仅当时，等号成立.