2023届四川省成都市石室中学高三下学期三诊模拟考试理科数学试题word版含答案

成都市石室中学2023届高三下学期三诊模拟考试

理科数学

（全卷满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效 。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡上并交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A. B. C. D.

2.已知是虚数单位，复数，则复数的共轭复数为（    ）

A.2  B.-2 C. D.

3.空气质量指数是评估空气质量状况的一组数据，空气质量指数划分为，，，，和六档，分别对应“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重度污染”和“严重污染”六个等级.如图是某市3月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下列说法中正确的是（    ）

A.这14 天中有5天空气质量为“中度污染”

B.从2日到5日空气质量越来越好

C.这14天中空气质量指数的中位数是214

D.连续三天中空气质量指数方差最小的是5日到7日

4.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ）

A.，，， B.，，

C.，  D.，

5.设是等差数列的前项和，已知，，则（    ）

A.16 B.18 C.20 D.22

6.英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型.如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过物体的温度将满足，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有的物体，若放在的空气中冷却，经过物体的温度为，则若使物体的温度为，需要冷却（    ）

A. B. C. D.

7.已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点O及点，则双曲线C的方程为（    ）

A. B. C. D.

8.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为（    ）

A. B. C. D. 1

9.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0相邻的概率为（    ）

A. B. C. D.

10.如图，在直三棱柱中，，，，点在棱上，且点靠近点，当时，三棱雉的外接球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

11.已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（    ）

A. 2021 B. 2023 C. 4043 D. 4045

12.已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点（点C和点A在点B的两侧），则下列命题中正确的有

①若BF为的中线，则；②若BF为的平分线，则；

③存在直线l，使得；④对于任意直线l，都有.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题， 每小题5分，共20分

13.已知，，若，则__________．

14.在二项式的展开式中，项的二项式系数为__________．

15.如图，已知在扇形OAB中，半径，，圆内切于扇形OAB（圆和，，弧AB均相切），作圆与圆，，相切，再作圆与圆，，相切，以此类推.设圆，圆…的面积依次为，…，那么__________．

16.已知函数，.当时，，则实数的取值范围为__________．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.“城市公交”泛指城市范围内定线运营的公共汽车及轨道交通等交通方式，也是人们日常出行的主要方式.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：

（I）根据以上数据作出折线图，易知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；

（II）建立y关于x的回归直线方程，并预测车辆发车间隔时间为20分钟时乘客的等候人数.

附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；相关系数； .

18.在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.

（I）求角的大小；

（II）若，，求c的值.

19.如图，在四棱雉中，四边形ABCD为菱形，AC与BD相交于点O，，，，，M为线段PD的中点.

（I）求证：平面平面PAC；

（II）若直线OM与平面ABCD所成角为，求平面PAD与平面PBC所成的二面角的正弦值.

20.已知椭圆的右焦点为，点M是椭圆C上异于左、右顶点，的任意一点，且直线与直线的斜率之积为.

（I）求椭圆的标准方程；

（II）若直线与直线相交于点，且，求证：.

21.已知函数.

（I）若函数在处的切线斜率为，求实数的值；

（II）若函数有且仅有三个不同的零点，分别设为，，.

i）求实数的取值范围；

ii）求证：.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（I）若曲线与有且仅有一个公共点，求的值；

（II）若曲线与相交于A，B两点，且，求直线AB的极坐标方程.

23.[选修4-5：不等式选讲]

已知函数.

（I）解不等式；

（II）是否存在正实数，使得对任意的实数，都有成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.