期末考试卷（二）-2022-2023学年九年级数学上册课后培优分级练（人教版）

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期末考试卷（二）课后培优练
（时间120分钟，满分120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．将二次函数y＝2x 2－8x－1化成y＝a（x－h）2＋k的形式，结果为（   ）
A．y＝2（x－2）2－1 B．y＝2（x－4）2＋32
C．y＝2（x－2）2－9 D．y＝2（x－4）2－33
【答案】C
【详解】解：y＝2x 2－8x－1
＝2（x 2－4x＋4）－8－1
＝2（x－2）2－9，
即y＝2（x－2）2－9．
故选C．
2．如图，AB为半圆的直径，其中，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到点的位置，则图中阴影部分的面积为（     ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：半圆AB绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，
，．
，
．
故选B．
3．如图，点A，B，C，D，E为的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段劣弧线段的路线做匀速运动，设运动的时间为t，的度数为y，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（     ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：根据题意，分3个阶段；
①在之间，逐渐减小，到点时，为，
②在之间，保持，大小不变，
③在之间，逐渐增大，到点时，为；
又由点作匀速运动，故①③都是线段；
分析可得：符合3个阶段的描述；
故选：．
4．已知△ABC,AC=3,CB=4，以点C为圆心r为半径作圆，如果点A、点B只有一个点在圆内，那么半径r的取值范围是（     ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：当点A在圆内时点A到点C的距离小于圆的半径，即：；
点B在圆上或圆外时点B到圆心的距离应该不小于圆的半径，即：r≤4；
即．
故选：．
5．某超市将进货单价为l8元的商品按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每件提价1元，日销售就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？（　　 ）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
【答案】B
【详解】设利润为y，售价定为每件x元，
由题意得，y=（x-18）×[100-10（x-20）]，
整理得：y=-10x2+480x-5400=-10（x-24）2+360，
∵-10＜0，
∴开口向下，
故当x=24时，y有最大值．
故选B．
6．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（　 　）

A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界 D．无法确定
【答案】C
【详解】分析：（1）将点A(0,2)代入求出a的值；分别求出x=9和x=18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．
详解：根据题意,将点A(0,2)代入
得：36a+2.6=2，
解得：  
∴y与x的关系式为
当x=9时,  
∴球能过球网，
当x=18时,  
∴球会出界.
故选C.
7．如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（    ）

A．(,) B．(2,2) C．(,2) D．(2,)
【答案】C
【详解】∵Rt△OAB的顶点A（−2，4）在抛物线y=ax2上，
∴4＝4a，解得a＝1，
∴抛物线为y=x2，
∵点A（−2，4），
∴B（−2，0），
∴OB＝2，
∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，
∴D点在y轴上，且OD＝OB＝2，
∴D（0，2），
∵DC⊥OD，
∴DC∥x轴，
∴P点的纵坐标为2，
令y=2，得2=x2，
解得：x=±
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为：（，2）
故答案为：C．
8．已知分别是△ABC的边长，则一元二次方程的根的情况是（     ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
【答案】A
【详解】解：△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2=4（c+a+b）（c-a-b）．
∵a，b，c分别是三角形的三边，
∴a+b＞c．
∴c+a+b＞0，c-a-b＜0，
∴△＜0，
∴方程没有实数根．
故选：A．
9．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C.  ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．
故选C．
10．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字．随机摸出一个小球（不放回），将其数字记为，再随机摸出另一个小球，将其数字记为，则关于的方程有实数根的概率是（     ）
A． B． C． D．
【详解】画树状图得：

∵有实数根，
∴△=b−4ac=p−4q⩾0，
∵共有6种等可能的结果,满足关于x的方程x+px+q=0有实数根的有(1,−1),(2,−1),(2,1)共3种情况，
∴满足关于x的方程x+px+q=0有实数根的概率是：.
故选A.
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．若抛物线y＝a x 2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝3，且与x轴的一个交点坐标为（5，0），则一元二次方程a x 2＋bx＋c ＝0（a≠0）的根为___________．
【答案】xl＝5，x2＝1
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝3，且与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
又∵抛物线y＝a x 2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标为方程a x 2＋bx＋c＝0的根，
∴方程a x 2＋bx＋c＝0的根为xl＝5，x2＝1．
故答案为：xl＝5，x2＝1．
12．如图，在⊙O中，点是的中点，，则等于________．

【答案】
【详解】解：∵，
∴
∴，
∵点是的中点，即，
∴，
故答案为：．
13．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF =________．

【答案】米
【详解】解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯”，
把y=8代入得：
x=±4，
∴由两点间距离公式得：EF=8（米），
故答案为：8米．
14．小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是_____．

【答案】
【详解】如图，根据矩形的性质易证矩形的对角线把矩形分成的四个三角形均为同底等高的三角形，故其面积相等，根据平行线的性质易证S1=S2，故阴影部分的面积占一份，

故针头扎在阴影区域的概率为．
15．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为________．

【答案】2.5
【详解】解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF=MF，
设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，
∴BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x，
∵EB=AB-AE=3-1=2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得，
，
解得：．
故答案为：．
16．如图，射线OP与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OP上一点，过点A作x轴的垂线与x轴交于点E．△AOE绕着点O逆时针旋转90°后能与△BOC重合，△BOC沿着y轴翻折能与△DOC重合，若点D恰好在抛物线y＝x2（x＞0）上，则点A的坐标是_____．

【答案】（3，）
【详解】设AE＝t，
在Rt△AOE中，∵∠AOE＝30°，
∴OE＝AE＝t，
∴A（t，t），
∵△AOE绕着点O逆时针旋转90°后能与△BOC重合，
∴BC＝AE＝t，OC＝OE＝t，
∴B（﹣t，t），
∵△BOC沿着y轴翻折能与△DOC重合
∴D（t，t），
把D（t，t）代入y＝x2得t2＝t，解得t1＝0（舍去），t2＝，
∴点A的坐标为（3，）．
故答案是：（3，）．
17．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＞0；④若（﹣4，y1），（2.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是_________（填序号）．

【答案】①②③
【详解】①抛物线开口向上，a＞0，物线与y轴交于负半轴，c＜0，-=-1，b＞0，∴abc＜0，①正确；
②-=-1，2a-b=0，②正确；
③x=2时，y＞0，4a+2b+c＞0，③正确；
④∵对称轴是直线x=-1，所以x=-4和x=2时，y值相等，
∴若（-4，y1），（2.5，y2）是抛物线上两点，y1＜y2，④不正确，
∴①②③正确，
故答案为①②③
18．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC∥AD；②∠BAE＝3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC＝2CD.其中判断正确的是_________(填序号)．

【答案】①②③
【详解】解：①在正五边形ABCDE中，


，

故本选项正确；
②
∴∠BAE=3∠CAD，故本选项正确；
③在△BAC和△EAD中,
，
，故本选项正确；
④∵AB+BC>AC，，
∴2CD>AC，故本选项错误；
故答案为①②③．
19．设a，b，c，d是四个不同的实数，如果a，b是方程的两根，c，d是方程的两根，那么的值为______．
【答案】
【详解】解：由根与系数的关系得，，两式相加得．    
因为是方程的根，所以，又，
所以①            
同理可得②            
①-②得．
因为，所以，所以．
20．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，3），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为______．

【答案】（0，）##（0，）
【详解】如下图所示，连接AB，作AD⊥x轴，AC⊥y轴，

∵PB与⊙A相切于点B
∴AB⊥PB，
∵∠APB＝30°，AB⊥PB，
∴PA=2AB=．
∵
∴四边形ACOD是矩形，
∵点A的坐标为（5，3），
∴AC=OD=5，CO=AD=3，
∴∵在中，．
∴，
∴点P的坐标为（0，）．
三、解答题（每小题10分，共60分）
21．如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A、B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字.游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为0时，甲获胜；数字之和为1时，乙获胜.如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止.
（1）用画树状图或列表法求乙获胜的概率；
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由.

【答案】（1）；（2）公平．理由见解析.
【详解】（1）列表得：

由列表法可知：会产生12种结果，它们出现的机会相等，其中和为1的有3种结果．
∴P（乙获胜）=；
（2）公平．
∵P（乙获胜）=，P（甲获胜）=．∴P（乙获胜）= P（甲获胜），∴游戏公平．
22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为ts，四边形APQC的面积为ymm2．

（1）y与t之间的函数关系式；
（2）求自变量t的取值范围；
（3）四边形APQC的面积能否等于172mm2．若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
【答案】（1）y＝4t2﹣24t+144；（2）0＜t＜6；（3）四边形APQC的面积不能等于172mm2，见解析.
【详解】解：（1）∵出发时间为t，点P的速度为2mm/s，点Q的速度为4mm/s，
∴PB＝12﹣2t，BQ＝4t，
∴y＝×12×24﹣×（12﹣2t）×4t
＝4t2﹣24t+144．
（2）∵t＞0，12﹣2t＞0，
∴0＜t＜6．
（3）不能，
4t2﹣24t+144＝172，
解得：t1＝7，t2＝﹣1（不合题意，舍去）
因为0＜t＜6．所以t＝7不在范围内，
所以四边形APQC的面积不能等于172mm2．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．

（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）证明：连接，

，
，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥OD．
∴DF⊥AC．
（2）连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°．
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠BAC=45°．
∵OA=OE，
∴∠AOE=90°．
∴⊙O的半径为4，
，，
．
24．已知关于x的一元二次方程x2－（4m＋1）x＋3m 2＋m＝0．
（1）求证无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围；
（3）抛物线y＝x2－（4m＋1）x＋3m 2＋m与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，当m取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线沿y轴向上平移n个单位长度，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求n的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）＜m＜7 ；（3）＜n＜
【详解】（1）证明：△＝[－（4m＋1）]2－4（3m2＋m）＝4m2＋4m＋1＝（2m＋1）2，
∵（2m＋1）2≥0，
∴△≥0
∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根．
（2）∵x2－（4m＋1）x＋3m2＋m＝0
∴
解得： x1＝3m＋1，x2＝m，
∴由题意得①或②，
解不等式组① 得，
解不等式组② 得：无解
∴＜m＜7 ．
（3）由题意可得m＝1，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线顶点坐标为
∵抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，
∴A点坐标为（1，0），B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，4），
设直线BC的解析式为，
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y＝－x＋4，
当x＝时，y＝－x＋4＝，
∴此抛物线向上平移得到的抛物线顶点落在边AB，平移个单位长度，得到的抛物线顶点落在边BC上，
所以符合题意的n的取值范围是 ＜n＜．
25．如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点.

（1）求抛物线的表达式；
（2）写出点的坐标并求直线的表达式；
（3）设动点，分别在抛物线和对称轴l上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求，两点的坐标.
【答案】（1）；（2），；（3）点、的坐标分别为（6，1）、（4，-3）或（2，1）、（4，5）或（2，1）、（4，1）．
【详解】解：（1）设函数表达式为：，
将点坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）、，则点，
设直线的表达式为：，
将点坐标代入上式得：，解得：，
故直线的表达式为：；
（3）设点、点，
①当是平行四边形的一条边时，
当点Q在A的下方时，
点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M，
同样点P（m，-m2+4m-5）向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q（4，s），
即：m-2=4，-m2+4m-5-4=s，
解得：m=6，s=-3，
故点当点Q在点A上方时，AQ=MP=2，
同理可得点Q的坐标为（4，5），
②当AM是平行四边形的对角线时，
由中点定理得：4+2=m+4，3-1=-m2+4m-5+s，
解得：m=2，s=1，
故点P、Q的坐标分别为（2，1）、（4，1）；
综上，P、Q的坐标分别为（6，1）、（4，-3）或（2，1）、（4，5）或（2，1）、（4，1）．
26．阅读下面材料：
张明同学遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且，，，求的度数．
张明同学是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．

(1)请你计算图1中的度数；
(2)参考张明同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，在正方形内有一点，且，，，求的度数．
【答案】(1);(2)
【详解】（1）如图2，把绕点A逆时针旋转60°得到，
由旋转的性质，，，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，∴，
∴；
∴；
（2）如图3，把绕点逆时针旋转90°得到，

由旋转的性质，，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．