2023年高考考前押题密卷-数学（全国甲卷文科）（参考答案）

2023年高考考前押题密卷（全国甲卷）

数学（文科） 参考答案

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．【答案】   14．【答案】   15．【答案】(答案不唯一)  16．【答案】

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分．

17．【详解】（1）∵，

则，  （3分）

∴.  （4分）

（2）由（1）可得，由正弦定理可得，  （5分）

若选条件①：由余弦定理，即，  （7分）

注意到，解得，则，由三角形的性质可知此时存在且唯一确定，  （9分）

∵，则，可得，  （11分）

∴的面积.  （12分）

若选条件②：∵，可得，则有：    

若为锐角，则，由余弦定理，即，

整理得：，且，解得，则；（7分）

若为钝角，则，由余弦定理，即，

整理得：，且，解得，则；（10分）

综上所述：此时存在但不唯一确定，不合题意.（12分）

若条件③：由题意可得：，即，解得，则，（6分）

由三角形的性质可知此时存在且唯一确定，（7分）

由余弦定理可得，（9分）

则，可得，（11分）

∴的面积.（12分）

18．【详解】（1）解：令，则关于的线性回归方程为，  （1分）

由题意可得，，  （3分）

则，所以，关于的回归方程为.  （5分）

（2）解：由可得，  （7分）

年利润，  （9分）

当时，年利润取得最大值，此时，  （11分）

所以，当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值.   （12分）

19．【详解】（1）证明：如图，作中点，连接，

因为是平行四边形，所以，  （2分）

在中，为中位线，故，所以，故四点共面．  （5分）

（2）设到平面的距离为，点到平面的距离为，  （7分）

在中，．故的面积．  （9分）

同理，由三棱锥的体积，  （10分）

所以，得．故到平面的距离为．  （12分）

20．【详解】（1）由已知得：，，，

设，因为M在椭圆上，所以①（2分）

因为，

将①式代入，得，得，（4分）

所以椭圆．（5分）

（2）①证明：设，则，，同理可得，，（6分）

联立方程，得，，则．  （7分）

同理联立方程，可得，，则.   （8分）

又椭圆的右焦点为，所以，，（9分）

因为，说明C，D，三点共线， 即直线CD恒过点．（10分）

②周长为定值．因为直线CD恒过点，根据椭圆的定义，所以的周长为．（12分）

21．【详解】（1）∵，

∴，，记，（1分）

①当，即时，恒成立，

所以在上恒成立，所以在上单调递增.（2分）

②当，即时，

方程有两个不等实根，且，，

∴，，，单调递增，

，，，单调递减，

，，，单调递增，（4分）

综上所述：①当时，在上单调递增，②当时，在和上单调递增，在上单调递减.（5分）

（2）∵，∴，（6分）

由（1）可知时，在上单调递增，故不妨设，

要证：，即证：，（7分）

又∵当时，在上单调递增，∴只需证，

又∵，∴只需证：，（8分）

即证：，（），记，，

，

∴当时，恒成立，单调递增，（11分）

∴，∴原命题得证.即.（12分）

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．【详解】（1）设A、B两点的极坐标分别为、，（2分）

则，

，因此，；（5分）

（2）根据对称性，不妨设、，

．（8分）

∵，则，

所以当时，即，时，．（10分）

[选修4-5：不等式选讲]

23．【详解】（1）当时，，

解，即，解得；    

当时，，

解，即，解得，无解；

当时，，

解，即，解得.（4分）

综上所述，不等式的解集为.  （5分）

（2）由（1）可知，.

当时，；当时，；

当时，，（7分）

所以函数的最小值为2，所以，所以.（8分）

由柯西不等式可得，，（9分）

当且仅当时，等号成立.所以，所以。（10分）