2023届高三数学二轮复习大题强化训练（五）含答案

这是一份2023届高三数学二轮复习大题强化训练（五）含答案，共15页。试卷主要包含了在中，内角所对的边分别为，且，已知双曲线C，已知函数等内容，欢迎下载使用。
  2023届大题强化训练(5)1.已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1），；    （2）.【解析】（1）设的公差为，的公比为，，，联立，整理可得，解得，所以，.（2）由（1）知，则，①，②①-②，得.所以.2.从有3个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记表示事件“第次摸到红球”，，2，…，6.（1）求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；（2）记表示，，同时发生的概率，表示已知与都发生时发生的概率.（ⅰ）证明：；（ⅱ）求.【答案】（1）    （2）（ⅰ）详见解析，（ⅱ）【解析】（1），所以第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；（2）（ⅰ）因为，又因为，所以，即.（ⅱ）++3.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求的大小；（2）在边上，且，求的最大值.【答案】（1）；    （2）.【解析】（1）因为，根据正弦定理可得：，可化为：，因为，所以，.所以原式可化为：，因为，所以，所以原式可化为，即.因为，所以.（2）设，，则，在中，由余弦定理有： ，即①在和中，由余弦定理有：，，又，所以.所以，整理可得②由①②可得：.所以，，所以.设，，因为，所以，当且仅当，即，即时等号成立.所以，所以，的最大值为.4.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，平面平面ABC，M是棱的中点.（1）证明：平面；（2）若四棱锥的体积为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；    （2）.【解析】（1）连接交于N，连接MN.在三棱柱中，四边形平行四边形，又，所以N是中点，在中，M是的中点，所以，又面，面，所以平面.（2）法一：取BC的中点O，连接OA，.在中，，O为BC的中点，所以，又面面ABC，面，面面，所以面ABC.在三棱柱中，四边形是平行四边形，因为M是棱的中点，故，又，所以，所以，即，而，所以.以O为坐标原点，OA，OB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，故，，，，.所以，，设平面的法向量，则，即取，得，所以是平面的一个法向量，设平面的法向量，则，即取，得，所以是平面BMC的一个法向量，所以，设二面角的大小为，由图可知，，所以二面角的余弦值为.法二：取BC的中点O，连接OA，，OM，过作，，垂足分别为G，H，连结GH.在中，，O为BC的中点，所以，又面⊥面ABC，面，面面，所以面ABC.又面ABC，所以，设，则.在等边中，O为BC的中点，所以，又，，面，所以面，因为面，所以，在三棱柱中，，四边形是平行四边形，所以四边形是矩形，，故四边形的面积为.因为面ABC，故面，又面，所以.在中，.因为面，即面，面，所以，又，，OM，面，所以面，所以四棱锥的体积为，解得，所以，，，，所以，，所以，因为面，面，所以，又，，，面，所以面，又面，所以，所以是二面角的平面角.在中，，所以所以二面角的余弦值为.5.已知双曲线C：的左焦点为F，过点F作直线l交C的左支于A，B两点．（1）若，求l的方程；（2）若点，直线AP交直线于点Q．设直线QA，QB的斜率分别，，求证：为定值．【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】（1）双曲线C的左焦点为，当直线l的斜率为0时，此时直线为，与双曲线C交点在两支，舍去；当直线l的斜率不为0时，设，联立方程组，消x得．由于过点F作直线l交C的左支于A，B两点，而双曲线渐近线为，故直线的斜率或，解得：，设，，所以，．因为，所以，即，，所以，解得：，所以l的方程为．（2）由直线，得，所以，又，所以，因为，所以，且，所以（定值）．6.已知函数（其中是自然对数底数）.（1）求的最小值；（2）若过点可作曲线的两条切线，求证：.（参考数据：）【答案】（1）1    （2）证明见解析【解析】（1）函数定义域为，所以在上单调递增，且，所以当时，单调递减；当时，单调递增，.所以.（2）设切点为，则，在处的切线为，由于切线过点，所以，而由（1），在上单调递增，不同的值对应的切线斜率不同设，所以过点可作曲线的两条切线当且仅当关于的方程有两个实根.，①当时，在上单调递减，至多有一个实根，不合题意；②当时，当时，单调递增；当时，单调递减.而时，时，，所以当且仅当时，有两个实根，即当且仅当时，过点可作曲线的两条切线.只需证时，.设，则，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，即.（*）设，只需证.1）当时，由，.设，则，当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减.而，所以，则.2）当时，，设，则，，所以在上单调递增，，所以在上单调递增，，即，所以在上单调递增，.综上得：原不等式成立.