2023届高三数学二轮复习大题强化训练（四）含答案

这是一份2023届高三数学二轮复习大题强化训练（四）含答案，共13页。试卷主要包含了已知正项数列满足，，在中，的平分线与边交于点，且，已知函数．等内容，欢迎下载使用。
  2023届大题强化训练(4)1.已知正项数列满足，.（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求.【答案】（1）证明见解析，    （2）【解析】（1）将等式右边分解得，因为已知，所以，所以，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，即.所以数列的通项公式为（2）结合（1）知，所以当为偶数时，.当奇数时，.所以数列的前项和2.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍末出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.（1）求乙只赢1局且甲赢得比赛的概率；（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和期望.【答案】（1）    （2）分布列见解析，【解析】（1）记事件表示“乙只赢局且甲赢得比赛”，表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”，则，.则，事件与事件互斥，各局比赛结果相互独立.由概率加法公式和乘法公式，有．（2）的可能取值为，，，．故的分布列为2345所以3.在中，的平分线与边交于点，且.（1）若，求的面积；（2）求的最小值.【答案】（1）    （2）【解析】（1）在中，，，所以，又是的平分线，所以，，故，在中，，，故，，所以的面积.（2）设，则，，，所以，，解得，在中，根据正弦定理得，得，所以，当且只当，即时，等号成立.所以的最小值为.4.某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段EF折起，连接就得到了一个“刍甍”   (如图2)。（1）若O是四边形对角线的交点，求证：平面；（2）若二面角的大小为求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；    （2）.【解析】（1）取线段CF中点H，连接OH、GH，由图1可知，四边形EBCF是矩形，且，∴O是线段BF与CE的中点，∴且，在图1中且，且．所以在图2中，且，∴且，∴四边形AOHG平行四边形，则，  由于平面GCF，平面GCF，∴平面GCF．（2）由图1，，，折起后在图2中仍有，，∴即为二面角的平面角．∴，以E为坐标原点，，分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系如图，设，则、、，∴，，易知平面ABE的一个法向量，设平面OAB的一个法向量，由，得，取，则，，于是平面的一个法向量，∴，∴平面ABE与平面OAB夹角的余弦值为．5.已知椭圆，斜率为的直线与椭圆只有一个公共点（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，点在直线上，且轴，求直线在轴上的截距.【答案】（1）    （2）【解析】（1）依题意，直线的方程为，即，由，消去得.由于直线与椭圆只有一个公共点，故，即，因为在椭圆上，所以，即，整理得，解得，故椭圆的标准方程：.（2）方法一：依题意直线斜率不为0，可设直线为，则，联立椭圆方程，可得，由韦达定理得，进而，有由直线的方程为，得直线AC在轴上的截距为故直线在轴的上截距为.方法二：设，则，则直线的方程为，则直线在轴的截距为，若垂直于轴，则，所以直线与轴交点为，截距为.若不垂直于轴，设直线的方程为.与椭圆方程联立，得，由韦达定理有.直线在轴的截距为又因为所以所以，所以所以故直线在轴上的截距为.方法三：右焦点为，直线与轴相交于点为的中点为若垂直于轴，则，所以直线与轴交点为，截距为.若不垂直于轴，设直线的方程为与椭圆方程联立，得，由韦达定理有又，得，故直线的斜率分别为所以.因为所以，即，故三点共线.因为对于任意直线点都是唯一确定的，所以，直线与轴交点为，即直线在轴上的截距为6.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若且，证明：，．【答案】（1）单调递增区间为和；单调递减区间为；（2）证明见解析.【解析】（1）函数的定义域为，∵，∴∴由得或由得；∴的单调递增区间为和；单调递减区间为．（2）欲证，，即证，，令，，则，令，则，因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以，所以欲证，，只需证，①因为，所以，即，②令，则，当时，所以在上单调递增，所以，即，所以，故②式可等价变形：所以，欲证①式成立，只需证成立所以仅需证，令，（），则，∴在上单调递增，故，即，∴结论得证．