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2023届高考数学二轮复习专题五解析几何_第3讲解析几何中的综合问题作业含答案
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这是一份2023届高考数学二轮复习专题五解析几何_第3讲解析几何中的综合问题作业含答案，共10页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（共7小题）
1. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的两个交焦点分别为 F1，F2，短轴的一个顶点为 P，若 ∠F1PF2 为钝角，则椭圆离心率的取值范围为 ．
2. 已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 相交于 A，B 两点，若以 AB 为直径的圆经过原点，则实数 a= ．
3. 已知点 P 在抛物线 x2=4y 上运动，F 为抛物线的焦点，点 A 的坐标为 2,3，则 PA+PF 取得最小值时点 P 的坐标为 ．
4. 若椭圆 x210+y2m=1 与双曲线 x2-y2b=1 有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点 P103,y，则 m+b= ．
5. 若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交于 A，B 两点，M 为 AB 的中点，直线 OM（O 为坐标原点）的斜率为 22，且 OA⊥OB，则椭圆的方程为 ．
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x2a2-y2=1 与抛物线 y2=-12x 有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为 ．
7. 设 △ABC 是等腰三角形，∠ABC=120∘，则以 A，B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为 ．
二、解答题（共10小题）
8. 如图，已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 12，其左焦点到点 P2,1 的距离为 10．不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且线段 AB 被直线 OP 平分．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）求 △ABP 面积取最大值时直线 l 的方程．
9. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 和直线 l：x=mm∈R，且四点 3,1，3,-1，-22,0，3,3 中有三个点在椭圆 C 上，剩余一个点在直线 l 上．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若动点 P 在直线 l 上，过点 P 作直线交椭圆 C 于 M，N 两点，使得 PM=PN，再过点 P 作直线 lʹ⊥MN，求证：直线 lʹ 恒过定点，并求出该定点的坐标．
10. 如图，已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点 F1,0，离心率为 22，过点 F 作两条互相垂直的弦 AB，CD，设 AB，CD 的中点分别为 M，N．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线 MN 必过定点，并求出此定点的坐标；
（3）若弦 AB，CD 的斜率均存在，求 △FMN 面积的最大值．
11. 设 Ax1,y1，Bx2,y2 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上的两点，已知向量 m=x1b,y1a，n=x2b,y2a．若 m⋅n=0 且椭圆的离心率 e=32，短轴长为 2，O 为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）试判断命题“△AOB 的面积为定值”是否为真命题，并说明理由．
12. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 过点 P1,32，离心率为 12．
（1）求椭圆 C 的方程．
（2）设直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点．
①若直线 l 过椭圆 C 的右焦点，记 △ABP 三条边所在直线的斜率的乘积为 t．求 t 的最大值；
②若直线 l 的斜率为 32，试探究 OA2+OB2 是否为定值?若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．
13. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2+y2=4，椭圆 C：x24+y2=1，A 为椭圆右顶点．过原点 O 且异于坐标轴的直线与椭圆 C 交于 B，C 两点，直线 AB 与圆 O 的另一交点为 P，直线 PD 与圆 O 的另一交点为 Q，其中 D-65,0．设直线 AB，AC 的斜率分别为 k1，k2．
（1）求 k1k2 的值．
（2）记直线 PQ，BC 的斜率分别为 kPQ，kBC，是否存在常数 λ，使得 kPQ=λkBC?若存在，求出 λ 的值；若不存在，请说明理由．
14. 如图，已知焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 -2,0，且离心率为 32，Q 为椭圆 C 的右顶点．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）已知过点 N65,0 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求证：以 AB 为直径的圆必过定点 Q．
15. 如图，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点为 F1,0，右顶点为 A，且 AF=1．
（1）求椭圆 C 的标准方程．
（2）若动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个交点 P，且与直线 x=4 交于点 Q，问：是否存在一个定点 Mt,0，使得 MP⋅MQ=0?若存在，求出定点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
16. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，离心率为 22 的椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 的左顶点为 A，过原点 O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆 C 交于 P，Q 两点，直线 PA，QA 分别与 y 轴交于 M，N 两点，若直线 PQ 的斜率为 22 时，PQ=23．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）试问：以 MN 为直径的圆是否经过定点（与直线 PQ 的斜率无关）?请证明你的结论．
17. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率 e=12，左顶点为 A-4,0，过点 A 作斜率为 kk≠0 的直线 l 交椭圆 C 于点 D，交 y 轴于点 E．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）已知点 P 为 AD 的中点，是否存在定点 Q，对于任意的 kk≠0 都有 OP⊥EQ?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若过点 O 作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点 M，求 AD+AEOM 的最小值．
答案
1. 22,1
2. ±1
3. 2,1
4. 9
5. 22-2x2+4-22y2=1
6. y=±24x
7. 1+32
8. （1） x24+y23=1．
（2） 3x+2y+27-2=0．
9. （1） x212+y24=1．
（2） 直线 lʹ 恒过定点 -423,0，证明略．
10. （1） x22+y2=1．
（2） 直线 MN 过定点 23,0，理由略．
（3） 19．
11. （1） y24+x2=1．
（2） 是真命题，理由略．
12. （1） 由题意知 1a2+94b2=1，a2-b2a=12，解得 a2=4，b2=3，
所以椭圆 C 的方程为 x24+y23=1．
（2） ①设直线 l 的方程为 x=my+1，直线 l 与椭圆 C 的交点为 Ax1,y1，Bx2,y2，
联立 x=my+1,x24+y23=1, 化简得 3m2+4y2+6my-9=0，易知 Δ>0，
所以 y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，
所以 y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，
所以
kAP⋅kBP=y1-32x1-1⋅y2-32x2-1=y1-32my1⋅y2-32my2=1m2⋅y1y2-32y1+y2+94y1y2=-1m-34,
所以
t=kAB⋅kAP⋅kBP=-1m2-34m=-1m+382+964,
所以当 m=-83 时，t 有最大值 924．
②设直线 l 的方程为 y=32x+n，直线 l 与椭圆 C 的交点为 Ax1,y1，Bx2,y2，
联立 y=32x+n,x24+y23=1,
得 3x2+23nx+2n2-6=0，
Δ=23n2-4×3×2n2-6>0，
解得 -6且 x1+x2=-23n3，x1x2=2n2-63，
所以
OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+32x1+n2+32x2+n2=74x12+x22+3nx1+x2+2n2=74x1+x22-72x1x2+3nx1+x2+2n2=74-233n2-722n2-63+3n-233n+2n2=7.
13. （1） -14．
（2） 存在常数 λ=52，使得 kPQ=52kBC，理由略．
14. （1） x24+y2=1．
（2） 略．
15. （1） x24+y23=1．
（2） 存在点 M1,0 符合题意，理由略．
16. （1） x24+y22=1；
（2） 以 MN 为直径的圆过定点 ±2,0，理由略．
17. （1） 因为左顶点为 A-4,0，
所以 a=4，又 e=12，所以 c=2．
又因为 b2=a2-c2=12，
所以椭圆 C 的标准方程为 x216+y212=1．
（2） 直线 l 的方程为 y=kx+4，
由 x216+y212=1,y=kx+4, 消元得 x216+kx+4212=1．
化简得
x+44k2+3x+16k2-12=0,
所以 x1=-4，x2=-16k2+124k2+3，
当 x=-16k2+124k2+3 时，y=k-16k2+124k2+3+4=24k4k2+3，
所以 D-16k2+124k2+3,24k4k2+3．
因为点 P 为 AD 的中点，所以 P 的坐标为 -16k24k2+3,12k4k2+3，
则 kOP=-34kk≠0．
直线 l 的方程为 y=kx+4，令 x=0，得 E 点坐标为 0,4k，
假设存在定点 Qm,nm≠0，使得 OP⊥EQ，
则 kOPkEQ=-1，即 -34k⋅n-4km=-1 恒成立，
所以 4m+12k-3n=0 恒成立，
所以 4m+12=0,-3n=0, 即 m=-3,n=0,
因此定点 Q 的坐标为 -3,0．
（3） 因为 OM∥l，所以 OM 的方程可设为 y=kx，
由 x216+y212=1,y=kx, 得 M 点的横坐标为 x=±434k2+3，
由 OM∥l，得
AD+AEOM=xD-xA+xE-xAxM=xD-2xAxM=-16k2+124k2+3+8434k2+3=13⋅4k2+94k2+3=134k2+3+64k2+3≥22,
当且仅当 4k2+3=64k2+3 即 k=±32 时取等号，
所以当 k=±32 时，AD+AEOM 的最小值为 22．
一、填空题（共7小题）
1. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的两个交焦点分别为 F1，F2，短轴的一个顶点为 P，若 ∠F1PF2 为钝角，则椭圆离心率的取值范围为 ．
2. 已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 相交于 A，B 两点，若以 AB 为直径的圆经过原点，则实数 a= ．
3. 已知点 P 在抛物线 x2=4y 上运动，F 为抛物线的焦点，点 A 的坐标为 2,3，则 PA+PF 取得最小值时点 P 的坐标为 ．
4. 若椭圆 x210+y2m=1 与双曲线 x2-y2b=1 有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点 P103,y，则 m+b= ．
5. 若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交于 A，B 两点，M 为 AB 的中点，直线 OM（O 为坐标原点）的斜率为 22，且 OA⊥OB，则椭圆的方程为 ．
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x2a2-y2=1 与抛物线 y2=-12x 有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为 ．
7. 设 △ABC 是等腰三角形，∠ABC=120∘，则以 A，B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为 ．
二、解答题（共10小题）
8. 如图，已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 12，其左焦点到点 P2,1 的距离为 10．不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且线段 AB 被直线 OP 平分．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）求 △ABP 面积取最大值时直线 l 的方程．
9. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 和直线 l：x=mm∈R，且四点 3,1，3,-1，-22,0，3,3 中有三个点在椭圆 C 上，剩余一个点在直线 l 上．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若动点 P 在直线 l 上，过点 P 作直线交椭圆 C 于 M，N 两点，使得 PM=PN，再过点 P 作直线 lʹ⊥MN，求证：直线 lʹ 恒过定点，并求出该定点的坐标．
10. 如图，已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点 F1,0，离心率为 22，过点 F 作两条互相垂直的弦 AB，CD，设 AB，CD 的中点分别为 M，N．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线 MN 必过定点，并求出此定点的坐标；
（3）若弦 AB，CD 的斜率均存在，求 △FMN 面积的最大值．
11. 设 Ax1,y1，Bx2,y2 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上的两点，已知向量 m=x1b,y1a，n=x2b,y2a．若 m⋅n=0 且椭圆的离心率 e=32，短轴长为 2，O 为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）试判断命题“△AOB 的面积为定值”是否为真命题，并说明理由．
12. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 过点 P1,32，离心率为 12．
（1）求椭圆 C 的方程．
（2）设直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点．
①若直线 l 过椭圆 C 的右焦点，记 △ABP 三条边所在直线的斜率的乘积为 t．求 t 的最大值；
②若直线 l 的斜率为 32，试探究 OA2+OB2 是否为定值?若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．
13. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2+y2=4，椭圆 C：x24+y2=1，A 为椭圆右顶点．过原点 O 且异于坐标轴的直线与椭圆 C 交于 B，C 两点，直线 AB 与圆 O 的另一交点为 P，直线 PD 与圆 O 的另一交点为 Q，其中 D-65,0．设直线 AB，AC 的斜率分别为 k1，k2．
（1）求 k1k2 的值．
（2）记直线 PQ，BC 的斜率分别为 kPQ，kBC，是否存在常数 λ，使得 kPQ=λkBC?若存在，求出 λ 的值；若不存在，请说明理由．
14. 如图，已知焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 -2,0，且离心率为 32，Q 为椭圆 C 的右顶点．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）已知过点 N65,0 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求证：以 AB 为直径的圆必过定点 Q．
15. 如图，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点为 F1,0，右顶点为 A，且 AF=1．
（1）求椭圆 C 的标准方程．
（2）若动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个交点 P，且与直线 x=4 交于点 Q，问：是否存在一个定点 Mt,0，使得 MP⋅MQ=0?若存在，求出定点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
16. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，离心率为 22 的椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 的左顶点为 A，过原点 O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆 C 交于 P，Q 两点，直线 PA，QA 分别与 y 轴交于 M，N 两点，若直线 PQ 的斜率为 22 时，PQ=23．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）试问：以 MN 为直径的圆是否经过定点（与直线 PQ 的斜率无关）?请证明你的结论．
17. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率 e=12，左顶点为 A-4,0，过点 A 作斜率为 kk≠0 的直线 l 交椭圆 C 于点 D，交 y 轴于点 E．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）已知点 P 为 AD 的中点，是否存在定点 Q，对于任意的 kk≠0 都有 OP⊥EQ?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若过点 O 作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点 M，求 AD+AEOM 的最小值．
答案
1. 22,1
2. ±1
3. 2,1
4. 9
5. 22-2x2+4-22y2=1
6. y=±24x
7. 1+32
8. （1） x24+y23=1．
（2） 3x+2y+27-2=0．
9. （1） x212+y24=1．
（2） 直线 lʹ 恒过定点 -423,0，证明略．
10. （1） x22+y2=1．
（2） 直线 MN 过定点 23,0，理由略．
（3） 19．
11. （1） y24+x2=1．
（2） 是真命题，理由略．
12. （1） 由题意知 1a2+94b2=1，a2-b2a=12，解得 a2=4，b2=3，
所以椭圆 C 的方程为 x24+y23=1．
（2） ①设直线 l 的方程为 x=my+1，直线 l 与椭圆 C 的交点为 Ax1,y1，Bx2,y2，
联立 x=my+1,x24+y23=1, 化简得 3m2+4y2+6my-9=0，易知 Δ>0，
所以 y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，
所以 y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，
所以
kAP⋅kBP=y1-32x1-1⋅y2-32x2-1=y1-32my1⋅y2-32my2=1m2⋅y1y2-32y1+y2+94y1y2=-1m-34,
所以
t=kAB⋅kAP⋅kBP=-1m2-34m=-1m+382+964,
所以当 m=-83 时，t 有最大值 924．
②设直线 l 的方程为 y=32x+n，直线 l 与椭圆 C 的交点为 Ax1,y1，Bx2,y2，
联立 y=32x+n,x24+y23=1,
得 3x2+23nx+2n2-6=0，
Δ=23n2-4×3×2n2-6>0，
解得 -6
所以
OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+32x1+n2+32x2+n2=74x12+x22+3nx1+x2+2n2=74x1+x22-72x1x2+3nx1+x2+2n2=74-233n2-722n2-63+3n-233n+2n2=7.
13. （1） -14．
（2） 存在常数 λ=52，使得 kPQ=52kBC，理由略．
14. （1） x24+y2=1．
（2） 略．
15. （1） x24+y23=1．
（2） 存在点 M1,0 符合题意，理由略．
16. （1） x24+y22=1；
（2） 以 MN 为直径的圆过定点 ±2,0，理由略．
17. （1） 因为左顶点为 A-4,0，
所以 a=4，又 e=12，所以 c=2．
又因为 b2=a2-c2=12，
所以椭圆 C 的标准方程为 x216+y212=1．
（2） 直线 l 的方程为 y=kx+4，
由 x216+y212=1,y=kx+4, 消元得 x216+kx+4212=1．
化简得
x+44k2+3x+16k2-12=0,
所以 x1=-4，x2=-16k2+124k2+3，
当 x=-16k2+124k2+3 时，y=k-16k2+124k2+3+4=24k4k2+3，
所以 D-16k2+124k2+3,24k4k2+3．
因为点 P 为 AD 的中点，所以 P 的坐标为 -16k24k2+3,12k4k2+3，
则 kOP=-34kk≠0．
直线 l 的方程为 y=kx+4，令 x=0，得 E 点坐标为 0,4k，
假设存在定点 Qm,nm≠0，使得 OP⊥EQ，
则 kOPkEQ=-1，即 -34k⋅n-4km=-1 恒成立，
所以 4m+12k-3n=0 恒成立，
所以 4m+12=0,-3n=0, 即 m=-3,n=0,
因此定点 Q 的坐标为 -3,0．
（3） 因为 OM∥l，所以 OM 的方程可设为 y=kx，
由 x216+y212=1,y=kx, 得 M 点的横坐标为 x=±434k2+3，
由 OM∥l，得
AD+AEOM=xD-xA+xE-xAxM=xD-2xAxM=-16k2+124k2+3+8434k2+3=13⋅4k2+94k2+3=134k2+3+64k2+3≥22,
当且仅当 4k2+3=64k2+3 即 k=±32 时取等号，
所以当 k=±32 时，AD+AEOM 的最小值为 22．
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