2023年湖北省恩施州宣恩县中考数学一模试卷(含答案解析)

这是一份2023年湖北省恩施州宣恩县中考数学一模试卷(含答案解析)，共22页。试卷主要包含了 −14的倒数是，64×104B， 下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。

A. 4B. −4C. 14D. 16
2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 2023年春节期间，宣恩的游客络绎不绝，1月21日至1月27日，我县共接待游客46.64万人次，实现旅游综合收入36677.75万元，同比分别增长89.65%、112.18%，将数46.64万用科学法可表示为( )
A. 46.64×104B. 4.664×105C. 0.4664×106D. 4.664×106
4. 下列运算正确的是( )
A. a−2⋅a3=a−6B. (m−n)2=m2−mn+n2
C. (2a3)3=8a6D. (2m+1)(2m−1)=4m2−1
5. 在函数y=1x+3+ 4−x中，自变量x的取值范围是( )
A. x<4B. x≥4且x≠−3C. x>4D. x≤4且x≠−3
6. 将分别标有“浪”、“漫”、“宣”、“恩”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“宣恩”的概率是( )
A. 16B. 14C. 13D. 12
7. 甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程.设乙的速度为xkm/h，则下列方程中正确的是( )
A. 10x−101.2x=12B. 101.2x−10x=0.2C. 101.2x−10x=12D. 10x−101.2x=0.2
8. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为一折线).这个容器的形状可能是( )
A.
B.
C.
D.
9. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为( )
A. 7个B. 8个C. 9个D. 10个
10. 如图，点A，B都在格点上，若BC=2 133，则AC的长为( )
A. 13
B. 4 133
C. 2 13
D. 3 13
11. 如图，在菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于12CD为半径画弧，两弧分别交于点M、N，连接MN，若直线MN恰好过点A与边CD交于点E，连接BE，则下列结论错误的是( )
A. ∠BCD=120∘B. 若AB=3，则BE=4
C. CE=12BCD. S△ADE=12S△ABE
12. 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为x=12，且经过点(2,0).下列说法：
①abc<0；②−2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若(−52,y1)，(52,y2)是抛物线上的两点，则y1m(am+b)(其中m≠12).
其中说法正确的是( )
A. ①②④⑤B. ①②④C. ①④⑤D. ③④⑤
13. 因式分解：12an2−3am2=______ .
14. 如图，直线AB//CD，一块含有30∘角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分∠CEF，则∠1的度数为______∘.
15. 如图，已知正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，则所围成的阴影部分的面积为______ .
16. 一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到(0,1)，然后接着按图中箭头所示方向运动[即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…]，且每秒移动一个单位，那么第2023秒时质点所在位置的坐标是______ .
17. 先化简，再求值：(1−1m−2)÷m2−6m+9m−2，其中m=3+ 3.
18. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC，AC，BD相交于点O，∠1=∠2.求证：AB⊥AD.
19. 为深入学习贯彻党的二十大大精神，引领广大职工准确把握党的二十大报告的丰富内涵、精神实质、实践要求，县教育工会开展了学习二十大知识竞赛活动，根据竞赛活动的成绩划分了四个等级：A.合格，B.良好，C.优秀，D.非常优秀.现随机抽查部分竞赛成绩的数据进行了整理、绘制成部分统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)填空：a=______ %，b=______ %，“优秀”对应扇形的圆心角度数为______ ；
(2)请你补全条形统计图；
(3)若全县有2000名教职工参加活动，请你估计其中“优秀”和“非常优秀”的教职工共有多少人？
20. 如图1，凌云塔又名连珠塔、宝塔，位于宣恩县城珠山镇明珠山山顶，塔为七层六角楼阁式，全塔未用一砖一木，纯系青石垒砌，结构严谨，古朴雅致，别具风格，是宣恩县城的标志.如图2，县民族实验中学数学兴趣小组运用“解直角三角形”的知识来计算凌云塔的高度AB，先将无人机垂直上升至与塔底端B相对高度为40m的点P处，在点P处测得凌云塔顶端A的俯角为25∘，再将无人机沿水平方向继续飞行10m到达点Q，在点Q处测得塔底端B的俯角为45∘，求凌云塔的高度AB.(结果保留一位小数，参考数据： 2≈1.41，sin25∘≈0.42，cs25∘≈0.91，tan25∘≈0.47)
21. 如图，一次函数y=kx+2(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0,x>0)的图象交于点A(2,n)，与y轴交于点B，与x轴交于点C(−4,0).
(1)求k与m的值；
(2)P(a,0)为x轴上的一动点，当△APB的面积为72时，求a的值．
22. 我县在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元.
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？
(3)在(2)的条件下，哪种方案最省钱？最少费用是多少？
23. 如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F.连接BD并延长交AC于点M.
(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)求证：AB=AM；
(3)若ME=1，∠F=30∘，求BF的长．
24. 如图(1)，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,3)，直线l经过B、C两点．
(1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；
(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM=12MN时，求点P的横坐标；
(3)如图(2)，点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−14的倒数为：−4.
故选：B.
直接利用倒数的定义分析得出答案．
此题主要考查了倒数的定义，正确把握定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D.
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】B
【解析】解：46.64万=466400=4.664×105.
故选：B.
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵a−2⋅a3=a−2+3=a≠a−6，故选项A错误；
(m−n)2=m2−2mn+n2≠m2−mn+n2，故选项B错误；
(2a3)3=8a9≠8a6，故选项C错误；
(2m+1)(2m−1)=4m2−1，故选项D正确．
故选：D.
根据同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，逐个计算得结论．
本题考查了整式的运算，掌握整式的乘法公式、幂的运算法则是解决本题的关键．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件是解题的关键．根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列出不等式，计算即可．
【解答】
解：由题意得，x+3≠0，4−x≥0，
解得x≤4且x≠−3，
故选D.
6.【答案】A
【解析】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“宣恩”的结果有2种，
∴两次摸出的球上的汉字可以组成“宣恩”的概率为212=16.
故选：A.
画树状图得出所有等可能的结果数以及两次摸出的球上的汉字可以组成“宣恩”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：12分钟=1260h=0.2h，
设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为1.2xkm/h，
根据题意，得：10x−101.2x=0.2，
故选：D.
设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为1.2xkm/h，根据时间=路程÷速度结合甲比乙提前12分钟走完全程，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．
根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
【解答】
解：注水量一定，函数图象的走势是平缓，稍陡，陡；那么速度就相应的变化．则相应的排列顺序就为选项A.
故选：A.
9.【答案】A
【解析】解：根据题意得：
，
则搭成该几何体的小正方体最多是1+1+1+2+2=7(个).
故选：A.
根据几何体主视图，在俯视图上标上数字，即可得出搭成该几何体的小正方体最多的个数．
此题考查了由三视图判断几何体，在俯视图上表示出正确的数字是解本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由图可得，
AB= 62+42= 36+16= 52=2 13，
∵BC=2 133，
∴AC=AB−BC=2 13−2 133=4 133，
故选：B.
根据勾股定理可以得到AB的长，然后由图可知AC=AB−BC，然后代入数据计算即可．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是求出AB的长，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】B
【解析】解：由作法得MN垂直平分CD，
∴AD=AC，CM=DM，∠AED=90∘，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=AD，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60∘，
∴∠BCD=120∘，即A选项的结论正确，不符合题意；
当AB=3，则CE=DE=32，
∵∠D=60∘，
∴AE= AD2−ED2= 32−(32)2=3 32，∠DAE=30∘，∠BAD=120∘，
∴∠BAE=∠BAD−∠DAE=120∘−30∘=90∘，
在Rt△ABE中，BE= AB2+AE2= 32+(3 32)2=3 72，所以B选项的结论错误，符合题意；
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=2CE，即CE=12BC，所以C选项的结论正确，不符合题意；
∵AB//CD，AB=2DE，
∴S△ADE=12S△ABE，所以D选项的结论正确，不符合题意．
故选：B.
利用菱形的性质、解直角三角形等知识逐项判断即可．
本题考查线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、菱形的性质等知识点，灵活运用菱形的性质和垂直平分线的性质是解答本题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：①∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线对称轴为x=−b2a=12，
∴b=−a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，
所以①正确；
②∵对称轴为x=12，且经过点(2,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，
∴ca=−1×2=−2，
∴c=−2a，
∴−2b+c=2a−2a=0，
所以②正确；
③∵抛物线经过(2,0)，
∴当x=2时，y=0，
∴4a+2b+c=0，
所以③错误；
④∵点(−52,y1)离对称轴要比点(52,y2)离对称轴远，
∴y1所以④正确；
⑤∵抛物线的对称轴x=12，
∴当x=12时，y有最大值，
∴14a+12b+c>am2+bm+c(其中m≠12).
∵a=−b，
∴14b>m(am+b)(其中m≠12)，
所以⑤正确．
所以其中说法正确的是①②④⑤．
故选：A.
①根据抛物线开口向下，可得a<0，根据抛物线对称轴为x=−b2a=12，可得b=−a>0，根据抛物线与y轴的交点在x轴上方，可得c>0，进而可以判断；
②根据对称轴为x=12，且经过点(2,0)，可得抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，可得ca=−1×2=−2，即c=−2a，进而可以判断；
③根据抛物线经过(2,0)，可得当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，进而可以判断；
④根据点(−52,y1)离对称轴要比点(52,y2)离对称轴远，可得y1⑤根据抛物线的对称轴x=12，可得当x=12时，y有最大值，即14a+12b+c>am2+bm+c(其中m≠12).根据a=−b，即可进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
13.【答案】3a(2n+m)(2n−m)
【解析】解：12an2−3am2
=3a(4n2−m2)
=3a(2n+m)(2n−m)，
故答案为：3a(2n+m)(2n−m).
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
14.【答案】60
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠1=∠FEC，
∵EG平分∠CEF，∠GEF=30∘，
∴∠CEF=2∠GEF=2×30∘=60∘，
∴∠1=60∘，
故答案为60.
根据两直线平行，可以得出内错角相等，∠1=∠FEC，由EG平分∠CEF，角平分线的性质得，∠CEF=2∠GEF，故可以得出∠1的度数．
本题考查平行线的性质和角平分线，解本题要熟练掌握平行线的性质和角平分线．
15.【答案】π2a2−a2
【解析】解：S空隙=2×(S正方形−2×S半圆).
∵正方形边长为a，
∴S正方形=a2，S半圆=12×π×(a2)2=π×a28
∴S空隙=2×(a2−π×a24)=2a2−π×a22，
∴S阴影=S正方形−S空隙=a2−2a2+π×a22=π2a2−a2.
故答案为：π2a2−a2.
正方形面积减去两个半圆的面积等于两个空隙的面积，然后可求得4个空隙的面积，利用阴影部分的面积=正方形的面积-空隙部分的面积求解即可．
本题主要考查的是正方形的面积、扇形的面积，将阴影部分的面积转化为规则图形的面积进行计算是解题的关键．
16.【答案】(1,44)
【解析】解：由题意可知这点移动的速度是1个单位长度/每秒，设这点为(x,y)，
到达(1,0)时用了3秒，到达(2,0)时用了4秒，
从(2,0)到(0,2)有四个单位长度，则到达(0,2)时用了4+4=8秒，到(0,3)时用了9秒；
从(0,3)到(3,0)有六个单位长度，则到(3,0)时用9+6=15秒；
依此类推到(4,0)用16秒，到(0,4)用16+8=24秒，到(0,5)用25秒，到(6,0)用36秒，到(6,6)时用36+6=42秒…，
可得在x轴上，横坐标为偶数时，所用时间为x2秒，在y轴上时，纵坐标为奇数时，所用时间为y2秒，
∵45×45=2025，
2025→(0,45)，2026→(1,45)，2024→(0,44)，2023→(1,44)
∴第2023秒时这个点所在位置的坐标为(1,44)，
故答案为(1,44).
应先判断出走到坐标轴上的点所用的时间以及相对应的坐标，可发现走完一个正方形所用的时间分别为3，5，7，9…，此时点在坐标轴上，进而得到规律．
本题主要考查了点的坐标的变化规律，得出运动变化的规律是解决问题的关键．
17.【答案】解：(1−1m−2)÷m2−6m+9m−2
=m−2−1m−2⋅m−2(m−3)2
=m−3(m−3)2
=1m−3，
当m=3+ 3时，原式=13+ 3−3= 33.
【解析】先算减法，然后算除法即可化简题目中的式子，再将m的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．
18.【答案】证明：∵AB//CD，AD//BC，
∴∠ADO=∠1，∠DAO=∠2，四边形ABCD是平行四边形，
∵∠1=∠2，
∴∠ADO=∠DAO，OB=OC，
∴OA=OD，
∴OA+OC=OB+OD，
即AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90∘，
∴AB⊥AD.
【解析】由平行线的性质可得∠ADO=∠1，∠DAO=∠2，从而可得∠ADO=∠DAO，则有OA=OD，OB=OC，从而可判定四边形ABCD是矩形，则可得证．
本题主要考查平行线的性质，矩形的判定，解答的关键是明确对角线相等的平行四边形是矩形．
19.【答案】1236108∘
【解析】解：(1)解：总人数为4422%=200(人)a=24200×100%=12%，b=72200×100%=36%，
“优秀”对应扇形的圆心角度数为30%×360∘=108∘
故答案为：12；36；108∘；
(2)“优秀”的人数为30%×200=60(人)；
补全统计图如图所示，
(3)估计其中“优秀”和“非常优秀”的教职工共有2000×(30%+36%)=1320(人).
答：估计其中“优秀”和“非常优秀”的教职工共有1320人．
(1)根据“良好”的人数除以占比得出总人数，用“合格”的人数除以总人数得出a，根据“非常优秀”的人数除以占比得出b，根据“优秀”的占比乘以360∘得出“优秀”对应扇形的圆心角度数；
(2)根据“优秀”的占比乘以总人数得出“优秀”的人数，进而补全统计图；
(3)用2000乘以“优秀”和“非常优秀”的占比即可求解．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20.【答案】解：延长BA交PQ于点C，
由题意得：BC⊥PQ，BC=40m，PQ=10m，
在Rt△BQC中，∠CQB=45∘，
∴CQ=BCtan45∘=40(m)，
∴CP=PQ+CQ=50(m)，
在Rt△ACP中，∠CPA=25∘，
∴AC=CP⋅tan25∘≈50×0.47=23.5(m)，
∴AB=BC−AC=16.5(m)，
∴凌云塔的高度AB约为16.5m.
【解析】延长BA交PQ于点C，根据题意可得：BC⊥PQ，BC=40m，PQ=10m，然后在Rt△BQC中，利用锐角三角函数的定义求出QC的长，从而求出PC的长，再在Rt△ACP中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)把C(−4,0)代入y=kx+2，得k=12，
∴y=12x+2，
把A(2,n)代入y=12x+2，得n=3，
∴A(2,3)，
把A(2,3)代入y=mx，得m=6，
∴k=12，m=6；
(2)在y=12x+2中，当x=0时，y=2，
∴B(0,2)，
∵P(a,0)为x轴上的动点，
∴PC=|a+4|，
∴S△CBP=12⋅PC⋅OB=12×|a+4|×2=|a+4|，S△CAP=12PC⋅yA=12×|a+4|×3，
∵S△CAP=S△ABP+S△CBP，
∴32|a+4|=72+|a+4|，
∴a=3或−11.
【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．
(1)把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
(2)根据S△CAP=S△ABP+S△CBP，构建方程求解即可．
22.【答案】解：(1)设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，
依题意得8x+3y=9505x+6y=800，
解得x=100y=50.
答：购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元．
(2)设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗(100−m)棵，
依题意得：m>100−m100m+50(100−m)≤7650，
解得：50又∵m为正整数，
∴m可以为51，52，53，
∴共有3种购买方案，
方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；
方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；
方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．
(3)方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；51×100+49×50=7550元，
方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；52×100+48×50=7600元，
方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．53×100+47×50=7650元，
∴购进A种树苗51棵，B种树苗49棵最省钱．
【解析】(1)设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
(2)设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗(100−m)棵，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；
(3)比较各方案即可得答案．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：连接OD，则OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD//AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF=∠AED=90∘，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
(2)证明：∵线段AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠ADM=180∘−∠ADB=90∘，
∴∠M+∠DAM=90∘，∠ABM+∠DAB=90∘，
∵∠DAM=∠DAB，
∴∠M=∠ABM，
∴AB=AM.
(3)解：∵∠AEF=90∘，∠F=30∘，
∴∠BAM=60∘，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M=60∘，
∵∠DEM=90∘，ME=1，
∴∠EDM=30∘，
∴MD=2ME=2，
∴BD=MD=2，
∵∠BDF=∠EDM=30∘，
∴∠BDF=∠F，
∴BF=BD=2.
【解析】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30∘角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
(1)连接OD，由∠ODA=∠OAD=∠DAC证明OD//AC，得∠ODF=∠AED=90∘，即可证明直线DE是⊙O的切线；
(2)由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB=90∘，再根据等角的余角相等证明∠M=∠ABM，则AB=AM；
(3))由∠AEF=90∘，∠F=30∘证明∠BAM=60∘，则△ABM是等边三角形，所以∠M=60∘，则∠EDM=30∘，所以BD=MD=2ME=2，再证明∠BDF=∠F，得BF=BD=2.
24.【答案】解：(1)将点B(3,0)，C(0,3)代入y=−x2+bx+c，
∴−9+3b+c=0c=3，
解得b=2c=3，
∴y=−x2+2x+3，
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴顶点坐标(1,4)；
(2)设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴3k+b=0b=3，
解得k=−1b=3，
∴y=−x+3，
设P(t,−t+3)，则M(t,−t2+2t+3)，N(2−t,−t2+2t+3)，
∴PM=|t2−3t|，MN=|2−2t|，
∵PM=12MN，
∴|t2−3t|=12|2−2t|，
解得t=1+ 2或t=1− 2或t=2+ 3或t=2− 3，
∴P点横坐标为1+ 2或1− 2或2+ 3或2− 3；
(3)∵C(0,3)，D点与C点关于x轴对称，
∴D(0,−3)，
令y=0，则−x2+2x+3=0，
解得x=−1或x=3，
∴A(−1,0)，
∴AB=4，
∵AQ=3PQ，
∴Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，
∴QG//BC，
∴AQAP=AGBA，
∴34=AG4，
∴AG=3，
∴G(2,0)，
∵OB=OC，
∴∠OBC=45∘，
作A点关于GQ的对称点A′，连接A′D与AP交于点Q，
∵AQ=A′Q，
∴AQ+DQ=A′Q+DQ≥A′D，
∴3AP+4DQ=4(DQ+34AP)=4(DQ+AQ)≥4A′D，
∵∠QGA=∠CBO=45∘，AA′⊥QG，
∴∠A′AG=45∘，
∵AG=A′G，
∴∠AA′G=45∘，
∴∠AGA′=90∘，
∴A′(2,3)，
设直线DA′的解析式为y=kx+b，
∴b=−32k+b=3，
解得k=3b=−3，
∴y=3x−3，
同理可求直线QG的解析式为y=−x+2，
联立方程组y=−x+2y=3x−3，
解得x=54y=34，
∴Q(54,34)，
∴DQ=5 104.
【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)设P(t,−t+3)，则M(t,−t2+2t+3)，N(2−t,−t2+2t+3)，则PM=|t2−3t|，MN=|2−2t|，由题意可得方程|t2−3t|=12|2−2t|，求解方程即可；
(3)由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由QG//BC，求出点G(2,0)，作A点关于GQ的对称点A′，连接A′D与AP交于点Q，则3AP+4DQ=4(DQ+34AP)=4(DQ+AQ)≥4A′D，利用对称性和∠OBC=45∘，求出A′(2,3)，求出直线DA′的解析式和直线QG的解析式，联立方程组y=−x+2y=3x−3，可求点Q(54,34)，再求DQ=5 104.
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．