2023年安徽省合肥四十五中本部中考数学一模试卷(含答案解析)

2023年安徽省合肥四十五中本部中考数学一模试卷

1.  的相反数是(    )

A. 2023 B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  2022年3月5日，第十三届全国人大五次会议在北京召开，李克强总理代表国务院作《政府工作报告》，报告中指出，2021年我国经济结构和区域布局继续优化，粮食产量13700亿斤，创历史新高，把数据13700亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示的手提水果篮，其俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为度.(    )

A. 56
B. 66
C. 98
D. 104

6.  在一次演讲比赛中，七位评委为某位选手打出的分数如下：87，95，89，99，87，93，单位：分若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是(    )

A. 平均分 B. 众数 C. 中位数 D. 方差

7.  已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则m的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在平行四边形ABCD中，，，的平分线交CD的延长线于点E，交AD于点F，则BE：FE等于(    )

A. 7：4
B. 7：3
C. 4：3
D. 4：7

9.  已知a，b，c为实数，且，，则a，b，c之间的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知抛物线的图象如图所示，其对称轴为直线，那么一次函数的图象大致为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  分解因式：__________.

12.  如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，过点C作的切线交AB的延长线于点P，若，则______

13.  如图，已知直角三角形ABO中，，，将绕O点旋转至的位置，且为OA中点，在反比例函数上，则k的值______ .

14.  如图，已知矩形ABCD中，，，点M，N分别在边AB，CD上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点B，C分别落在，处，且点在线段AD上不与两端点重合
若为线段AD的中点，则______ ；
折痕MN的长度的取值范围为______ .

15.  解不等式组：

16.  如图，的顶点坐标分别为，，将绕原点O逆时针旋转的图形得到
画出的图形，并写出的坐标.
若点在边OC上，直接写出点P旋转后对应点的坐标.

17.  甲工程队新建公路，每名工人每天工作8小时，则甲工程队每天可完成800米新建公路.乙工程队比甲工程队少15名工人，每名工人每天工作12小时，则乙工程队每天可完成600米新建公路，假定甲、乙两工程队的每名工人每小时完成的工作量相同，求乙工程队的工人有多少名？

18.  观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：
按照此规律下去，第4个等式是：______ ；
写出你猜想的第n个等式用含n的式子表示，并证明.

19.  周末爬大蜀山，是合肥市民周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一，如图，某个周末小张同学从大蜀山西坡沿坡角为的山坡爬了280米，到达点E处，紧接着沿坡角为的山坡又爬了160米，到达山顶A处；请你计算大蜀山的高度结果精确到个位，参考数据：，，，，

20.  学校即将开展红色经典诵读活动，李老师给学生推荐了3种不同的名著A，B，甲，乙两位同学分别从中任意选一种阅读，假设选任意一种都是等可能的.
甲同学选中名著B的概率是______ .
请你利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学选中的名著不相同的概率.

21.  如图1，已知是的内接三角形，AB是的直径，CD是的弦，连接BD，交AC于点
求证：；
如图2，连接OE、AD，若，且，，求BC的长.

22.  已知：如图1，在中，，CD是的平分线，连接DA、DB，且于点
求证：；
如图2，点E、F分别是边CD、AC上的点，且于点E，求的值.
 

23.  如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为
求抛物线的表达式；
当时，抛物线有最小值5，求a的值；
若点P是第四象限内抛物线上一动点，连接PB、PC，求的面积S的最大值.

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：的相反数是
故选：
利用相反数的定义判断．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
 

2.【答案】C 

【解析】

【分析】
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】
解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意，
故选：  

3.【答案】D 

【解析】解：13700亿
故选：
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．
 

4.【答案】A 

【解析】解：从上面看，是一个圆，圆的中间有一条横向的线段．
故选：
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的正面看得到的视图，注意主视图的方向，俯视图与主视图的方向有关．
 

5.【答案】A 

【解析】解：如图，在处作，

，
，
，
，
，
，
，
，
故选：
如图，在处作，根据平行线的性质可得，，由对顶角相等可得，根据计算求解即可．
本题考查了对顶角相等，平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
 

6.【答案】C 

【解析】解：将分数从小到大依次排序为：87，87，89，93，95，97，99；
平均分为：，
众数为：87，
中位数为：93，
方差为：，
去掉一个最高分和一个最低分后从小到大依次排序为：87，89，93，95，97；
平均分为：，
众数不存在，
中位数为：93，
方差为：，
去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是中位数，
故选：
先将分数从小到大依次排序，然后分别求解各量，最后比较即可．
本题考查了平均数、众数、中位数、方差．解题的关键在于正确的运算．
 

7.【答案】B 

【解析】解：把代入得，，
因为直线经过第一、二、三象限，
所以，，即，
所以k的范围为，
因为，
所以m的范围为
故选：
先利用一次函数图象上点的坐标特征得到，再利用一次函数与系数的关系得到，，则k的范围为，接着用k表示m，然后根据一次函数的性质求m的范围．
本题考查了一次函数与系数的关系，解决本题的关键是用k表示出m的值．
 

8.【答案】B 

【解析】解：平行四边形ABCD，
，
，
的平分线交AD于点F，
，
，
，
，
平行四边形ABCD，
，
∽，

故选：
平行四边形的对边相等且平行，利用平行四边形的性质以及平行线的基本性质G求得，再根据等腰三角形的性质得然后证∽，得，即可求解．
本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
 

9.【答案】A 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故选：
根据得，根据得，则，即可得，综上，即可得．
本题考查了实数比较大小，解题的关键是掌握完全平方公式，配方法．
 

10.【答案】D 

【解析】解：抛物线对称轴为直线，
，
，
根据二次函数：，，
，，
一次函数的图象过第一、三、四象限，
当时，，
，
一次函数与y轴交点在与0之间，
当时，，
，
一次函数与x轴交点是1，
故选：
先根据二次函数性质得出，进而得出，，判断出一次函数的图象过第一、三、四象限，再判断一次函数与y轴交点在与0之间，一次函数与x轴交点是1，即可得出答案．
本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的性质，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：
根据提公因式法，完全平方公式，可得答案．
本题考查了因式分解，利用提公因式法与完全平方公式是解题关键．
 

12.【答案】40 

【解析】解：如图，连接OC，
是的切线，
，
，
是的直径，
点O在AB上，
四边形ABCD内接于，且，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
连接OC，根据切线的性质求出，然后说明圆心O在AB上，再由圆内接四边形对角互补求出的度数，再由等腰三角形的性质求出的度数，再由直角三角形的两个锐角互余求出的度数．
此题考查圆的切线的性质、圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是连接过切点的半径构造直角三角形．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，作轴于点E，

由题意可得：，是OA的中点，
，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
在反比例函数上，
，
故答案为：
连接，作轴于点E，先证明是等边三角形，求出，，再得出，进而得出，求出，即可得出答案．
本题考查求反比例函数的解析式，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，正确得出是解本题的关键．
 

14.【答案】  

【解析】解：矩形ABCD中，，，沿着MN折叠矩形ABCD，为线段AD的中点，
；
设，则，，
，
，
解得，
故答案为：
根据垂线段最短，可得当时，MN取得最小值，
矩形ABCD中，，，，
四边形BCNM是矩形，
；
当与点A重合时，MN取得最大值，

矩形ABCD中，，，沿着MN折叠矩形ABCD，
，，，；
设，则，，
，
，
解得
矩形ABCD中，沿着MN折叠矩形ABCD，
，，
，，
，
；
；
过点N作于点E，
则四边形AEND是矩形，
；
，
，
故折痕MN的长度的取值范围为
故答案为：
设，则，，运用勾股定理计算即可．
根据垂线段最短，可得当时，MN取得最小值，当与点A重合时，MN取得最大值，运用折叠性质，勾股定理计算即可．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，垂线段最短，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
 

15.【答案】解：，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得，，
原不等式组的解集为 

【解析】分别解两个不等式，然后按照“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定答案即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤是解题关键．
 

16.【答案】解：如图所示，即为所求；

的坐标为；
由可得点绕原点O逆时针旋转得到点，
绕原点O逆时针旋转得到点，
将点绕原点O逆时针旋转后对应点的坐标为
设OC解析式为，把代入求得，
，
把代入，
得，
，
 

【解析】分别作出点，绕原点O逆时针旋转的对应点，，顺次连接O、、即可，根据图可直接得出的坐标；
按照中点的旋转规律，即可写出点P旋转后对应点的坐标为然后设OC解析式为，把代入求得，则，把代入，得，即，即可求解．
此题考查了旋转作图和坐标系中绕原点旋转的坐标规律，待定系数法求一次函数解析式，根据题意准确作图和求出m值是解题的关键．
 

17.【答案】解：设乙工程队的工人有x名，则甲工程队的工人有名，
由题意得，，
化简得，，
两边同时乘得，
，
移项合并得，，
经检验，是原分式方程的解且符合题意，
答：乙工程队的工人有15名． 

【解析】设乙工程队的工人有x名，则甲工程队的工人有名，根据甲、乙两工程队的每名工人每小时完成的工作量相同列分式方程，计算求解即可．
本题考查了分式方程的应用．解题的关键在于找到等量关系．
 

18.【答案】 

【解析】解：第4个等式是：，
故答案为：；
第n个等式：，
证明：，
即
通过题干中的式子，进行推理求解即可；
通过题干中的式子进行猜想，并计算证明．
本题考查了数字的变化规律，完全平方公式，根据题干的式子找出规律是解题的关键．
 

19.【答案】解：过点A作于D，过点E作于F，于G，则四边形EGDF为矩形，
，
在中，，
则米，
在中，，
则米，
米，
答：大蜀山的高度约为281米． 

【解析】过点A作于D，过点E作于F，于G，根据正弦的定义可以分别求出AF和EG的长，然后结合矩形的对边相等即可得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用中的坡度坡角问题，将坡度坡角与三角函数的定义结合并熟练掌握锐角三角函数的计算是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】共有3种不同的名著A，B，C，
其名著B的概率是：；
根据题意画图

共有9种等可能的情况数，其中甲、乙两位同学选中的名著不相同的有9种，
则甲、乙两位同学选中的名著不相同的概率为：
根据概率公式求解即可．
画树状图，共有9种等可能的结果，再由概率公式求解即可．
本题考查了用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】证明：，都是弧BC所对的圆周角，
，
，
；
解：，点O为AB的中点，
为的中位线，
，
为直径，
，，
，
，
设，，
在和中，
有，
即，
整理得：，
，
解得：，
，
，
解得：或舍去，
的长为 

【解析】根据圆周角定理可得，再利用三角形外角的性质等量代换即可得证；
由和点O为AB的中点，可得OE是的中位线，求得，根据圆周角定理得，，由勾股定理求得AD，AE，设，，在和中，根据勾股定理建立关于x、y的方程，解方程即可．
本题是圆与三角形的综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，中位线的判定与性质，熟练掌握知识点，运用方程思想建立直角三角形三边之间的数量关系是解题的关键．
 

22.【答案】证明：在中，
，CD是的平分线，
，
，
，
点A，C，B，D四点共圆，
，
；
解：，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
点F，C，B，E四点共圆，
，
是等腰直角三角形，
，
，
点A，C，B，D四点共圆，
，
∽，
 

【解析】证明点A，C，B，D四点共圆，即可解决问题；
结合可得是等腰直角三角形，再证明点F，C，B，E四点共圆，可得，然后证明∽，即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定与性质，四点共圆，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是得到∽
 

23.【答案】解：设抛物线的表达式为：，
即；

，即抛物线的最小值是，
即和不可能在抛物线对称轴两侧；
当时，即，
则时，抛物线取得最小值，
即，
解得：舍去或，
即；
当时，即，
则时，抛物线取得最小值，
即，
解得：，
综上，或；

过点P作轴交BC于点H，

由抛物线的表达式知，点，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：，
设点，则点，
则
即的面积S的最大值为 

【解析】用待定系数法即可求解；
当时，即，则时，抛物线取得最小值；当时，即，则时，抛物线取得最小值，进而求解；
由，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．