2022-2023学年江西省南昌市江西科技学院附属中学高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年江西省南昌市江西科技学院附属中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】A

【分析】用定义法，分充分性和必要性分别讨论即可.

【详解】因为当时，都有，所以充分性满足；

反之，若，取，则或，都不在内，故必要性不满足.

所以“”是“”的充分非必要条件.

故选：A

2．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：

高三一班：36.1，36.2，，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），

高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，，37.1（单位：℃）

若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则为（    ）

A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3

【答案】C

【分析】根据题意结合百分位数的概念分析运算.

【详解】由，可得第25百分位数分别为和，则；

由，可得第90百分位数分别为和，

则，解得；

故.

故选：C.

3．如图是下列四个函数中的某个函数的部分图象，则该函数是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性及特殊值的函数值，结合已知函数图象，即可选择.

【详解】由题图可知该函数为偶函数，时的函数值接近于1，

对于A，，，函数为奇函数，故排除A；

对于B，时，，故排除B；

对于C，时，接近于1，故C符合；

对于D，时，，故排除D；

故选：C.

4．（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式和两角和的余弦公式即可求解.

【详解】由诱导公式可得：，

所以

，

故选：A.

5．已知函数的最小正周期为，，且的图像关于点中心对称，若将的图像向右平移个单位长度后图像关于轴对称，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据周期范围得出范围，根据对称中心得出的值，并结合范围得出的值，即可得出的解析式，根据函数图像平移后的解析式变化得出，即可根据图像关于轴对称，得出，再根据的范围得出实数的最小值.

【详解】，，且，

，即，

的图像关于点中心对称，

，且，即，解得，

，

取，，

，

将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，

的图像关于轴对称，

，解得，

，

的最小值，令，得，

故选：B.

6．如图，平面内有三个向量，，，与的夹角为120°，，的夹角为150°，且，，若，则（    ）

A． B． C． D．9

【答案】B

【分析】作的相反向量，再以射线，为邻边，以为对角线作，根据向量加法求解即可.

【详解】作的相反向量，再以射线，为邻边，以为对角线作，

因为与的夹角为120°，，的夹角为150°，且，，所以，

所以，，

所以，

所以，即

即．

故选：B

7．在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（    ）

A．3 B． C．1 D．

【答案】A

【分析】由向量加减的几何意义可得，结合已知有，根据三点共线知，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件.

【详解】由题设，如下图示：，又，，

∴，由三点共线，有，

∴，当且仅当时等号成立.

故选：A

【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到、、的线性关系，根据三点共线有，再结合基本不等式求最值.

8．2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm，横约95cm，其挂在墙壁上的最低点离地面194cm.小南身高160cm（头顶距眼睛的距离为10cm），为使观赏视角最大，小南离墙距离应为（    ）

A． B．76cm C．94cm D．

【答案】D

【分析】由题意只需最大，设小南眼睛所在的位置点为点，过点做直线的垂线，垂足为，求出，，设，则，求出，，代入，利用基本不等式求解即可.

【详解】由题意可得为锐角，故要使最大，只需最大，

设小南眼睛所在的位置点为点，过点做直线的垂线，垂足为，如图，

则依题意可得（cm），（cm），，

设，则，且，

，

故

，当且仅当即时等号成立，

故使观赏视角最大，小南离墙距离应为cm.

故选：D.

二、多选题

9．如图，在中，若点，，分别是，，的中点，设，，交于一点，则下列结论中成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】利用向量的加减法则进行判断.

【详解】根据向量减法可得，故A正确；

因为是的中点，所以，故B正确；

由题意知是的重心，

则，故C错误；

，故D错误.

故选：AB.

10．下列命题正确的有（    ）．

A．

B．若，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为

C．在中，若点满足，则点是的重心

D．在中，若，则点的轨迹经过的内心

【答案】ACD

【分析】选项A利用向量的加减法运算判定；选项B利用向量的坐标表示判定；选项C利用三角形重心的向量表示判定；选项D根据条件得点在的角平分线上，从而有点的轨迹经过的内心.

【详解】选项A：因为，所以选项A正确；

选项B：若，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标依然是，故选项B错误；

选项C：由三角形的重心的向量表示可知，若点满足，则点是的重心，故选项C正确；

选项D：在中，若，则点在的角平分线上，所以点的轨迹经过的内心，故选项D正确；

故选：ACD.

11．下列命题正确的是（    ）

A．在与角终边相同的角中，最小的正角为

B．若角的终边过点，则

C．已知是第二象限角，则

D．若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为

【答案】ABC

【分析】依据终边相同角定义去判断选项A；依据三角函数定义去判断选项B；依据三角函数值符号判定去判断选项C；依据扇形面积计算公式去判断选项D即可.

【详解】选项A：由且，可得，

故所求的最小正角.正确；

选项B：由三角函数的定义可得.正确；

选项C：∵是第二象限角，∴，，∴，，∴.正确；

选项D：弧长为2，圆心角为，则扇形的半径为，所以扇形面积为.错误．

故选：ABC

12．已知函数（）在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（    ）

A．在区间上有且仅有个不同的零点

B．的最小正周期可能是

C．的取值范围是

D．在区间上单调递增

【答案】BC

【分析】根据三角函数对称轴情况可得的取值范围，进而判断各选项.

【详解】解：由函数（），

令，，则，，

函数在区间上有且仅有条对称轴，即有个整数符合，

由，得，即，

则，，，，

即，

，C正确；

对于A，，，

，

当时，在区间上有且仅有个不同的零点；

当时，在区间上有且仅有个不同的零点；故A错误；

对于B，周期，由，则，

，

又，所以的最小正周期可能是，故B正确；

对于D，，，

又，

又，所以在区间上不一定单调递增，故D错误；

故选：BC．

三、填空题

13．已知角终边上一点，则________．

【答案】

【分析】根据三角函数定义及诱导公式化简即可得解.

【详解】由诱导公式知，

，

因为角终边上一点，

所以，

所以原式.

故答案为：

14．已知，，则__________.

【答案】

【分析】根据已知条件求出，进而缩小角的范围，然后求出，解方程组，求得，然后再用半角公式即可求出结果.

【详解】因为，两边同时平方得，

又因为，所以，

所以，故，

所以，解得，

而，所以，又，

故答案为：

15．已知正实数，称为的算术平均数，为的几何平均数，为的希罗平均数．为的边上异于的动点，点满足且，则正数的希罗平均数的最大值是______________．

【答案】

【分析】设，以为基底可表示出，从而用表示出；根据算数平均数、几何平均数和希罗平均数的定义，结合二次函数最值的求法可求得结果.

【详解】设，

，

，解得：，，，，

，，.

故答案为：.

16．已知是角终边与单位圆的两个不同交点，且，则的最大值为__________.

【答案】

【分析】根据三角函数的定义，得到，由，求得，化简，即可求解.

【详解】令，且，且，

所以，

因为，可得，可得，

又因为，所以，即

所以

，

所以的最大值为.

故答案为：.

四、解答题

17．（1）求值；

（2）求值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据两角和的正切公式的逆运用化简即可得出答案；

（2）根据结合两角和的正余弦公式计算，再结合两角差的正切公式即可得解.

【详解】（1）原式

.

（2）原式=

18．已知α为钝角，β为锐角，，.

(1)求；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据α为钝角，，求出，的值，进而求出的值；

（2）根据β为锐角，，求出的范围，求出的值，即可求得结果.

【详解】（1），

，，

.

（2），

.

19．已知函数满足下列条件：①周期；②图像向左平移个单位长度后关于轴对称；③.

(1)求函数的解析式；

(2)设，，，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据的周期求出的值，根据的图像平移以及的图像关于轴对称，求出的值,再由求出值,解得的表达式;

（2）由与的值求出,,再根据的范围求出，,从而求出的值.

【详解】（1）∵的周期为，∴，

又函数的图像向左平移个单位长度，

变为，

由题意，的图像关于轴对称，

∴，，

又，∴，

∴函数，

又，∴，解得，

∴函数.

（2）由，，

得，，

∴，又，∴，，

∴.

20．如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．

（1）用和表示；

（2）求；

（3）设，求的取值范围．

【答案】(1)；(2)3；(3).

【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；

(2)选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示出而得解；

(3)由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解.

【详解】(1)依题意，，

，

；

(2)因交于D，

由(1)知，

由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，，；

(3)由已知，

因P是线段BC上动点，则令，

，

又不共线，则有，

，

在上递增，

所以，

故的取值范围是.

【点睛】由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

21．如图有一块半径为1，圆心角为的扇形铁皮AOB，P是圆弧AB上一点（不包括A，B），点M，N分别半径OA，OB上．

(1)若四边形为矩形，求其面积最大值；

(2)若和均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围．

【答案】(1)矩形面积最大值为.

(2)

【分析】（1）连接OP，令，用表示出矩形的面积，再借助三角函数计算作答.

（2）利用（1）中信息，用表示出和的面积和，再换元变形结合二次函数性质计算作答.

【详解】（1）连接OP，如图，令，

因四边形为矩形，则，

于是得矩形的面积，

而，

则当，即时，取最大值1，

所以的最大值为，

所以矩形面积最大值为.

（2）由(1)知，，

则，，

和的面积和：

，

令，即，

而，则，

，

则，

显然在上单调递减，

当，即时，，

而，因此，，

所以和的面积和的取值范围是.

22．已知函数，图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，______；

（1）①的一条对称轴且；

②的一个对称中心，且在上单调递减；

③向左平移个单位得到的图象关于轴对称且

从以上三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；

（2）在（1）的情况下，令，，若存在使得成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）选①②③，；（2）.

【解析】（1）根据题意可得出函数的最小正周期，可求得的值，根据所选的条件得出关于的表达式，然后结合所选条件进行检验，求出的值，综合可得出函数的解析式；

（2）求得，由可计算得出，进而可得出，由参变量分离法得出，利用基本不等式求得的最小值，由此可得出实数的取值范围.

【详解】（1）由题意可知，函数的最小正周期为，.

选①，因为函数的一条对称轴，则，

解得，

，所以，的可能取值为、.

若，则，则，不合乎题意；

若，则，则，合乎题意.

所以，；

选②，因为函数的一个对称中心，则，

解得，

，所以，的可能取值为、.

若，则，当时，，

此时，函数在区间上单调递增，不合乎题意；

若，则，当时，，

此时，函数在区间上单调递减，合乎题意；

所以，；

选③，将函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称，

所得函数为，

由于函数的图象关于轴对称，可得，

解得，

，所以，的可能取值为、.

若，则，，不合乎题意；

若，则，，合乎题意.

所以，；

（2）由（1）可知，

所以，，

当时，，，所以，，

所以，，

，

，，则，

由可得，

所以，，

由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，所以，.

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.