2022-2023学年江西省鹰潭市第一中学高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年江西省鹰潭市第一中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】因为，

故选：D.

2．与终边相同的最小正角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将表示为，即可得答案.

【详解】因为,,

故与终边相同的最小正角是，

故选：C

3．已知点在第二象限，则为（    ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】C

【分析】点在第二象限，根据坐标特征得的符号，即可得所在象限.

【详解】因为点在第二象限，所以，，即为第三象限角．

故选：C

4．的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据积化和差及诱导公式即得.

【详解】

.

故选：A.

5．在中，若，则的形状为（    ）

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】A

【分析】根据向量的减法法则可得，由三边相等关系即可得出结果.

【详解】因为，，

所以，

所以为等边三角形．

故选：A

6．函数的图象可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先利用函数的奇偶行排除选项，再利用特殊值即可求解.

【详解】因为函数，

定义域为，且，

所以函数为奇函数，图像关于原点对称，故排除选项；

当时，，，所以，故排除选项.

故选：.

7．折扇在我国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则､d和所满足的恒等关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先用表示出d和，进而求得的值.

【详解】过点O作于D，则，

则，

则

故选：A

8．已知函数 若存在实数，，，，满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分段函数的性质，画出图象，即可图象以及函数的对称性即可求解临界位置， 即可求解.

【详解】画出的图象如下图：

由题意可知，，由图象可知关于直线对称，所以，因此，

当时，，此时，

当时，，此时，

当存在，，，使得时，此时，

故选：C

二、多选题

9．下列选项中，与的值相等的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】求得的值，利用诱导公式，两角和差公式及二倍角公式对选项逐一化简求值，即可得出答案.

【详解】，

A选项，，符合题意；

B选项，，不符合题意；

C选项，，符合题意；

D选项，，不符合题意.

故选：AC.

10．下列说法错误的为（    ）

A．共线的两个单位向量相等

B．若，，则

C．若，则一定有直线

D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上

【答案】ABC

【分析】根据共线向量、单位向量的相关概念与性质判断各项的正误.

【详解】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误；

选项B：，不一定有，故B错误；

选项C：直线与可能重合，故C错误；

选项D：若向量，共线，则与可能平行，此时A，B，C，D四点不共线，故D正确.

故选：ABC.

11．若函数在区间上单调递增，则的取值范围可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据正弦函数的单调增区间可知：，解之，赋值即可求解.

【详解】因为，则，由函数在区间上单调递增得，，，解得：，

由可得，

因为，，

所以令，因为，所以，故选项正确；

令，则，故选项正确；

故选：.

12．已知函数，则（    ）

A．函数关于轴对称

B．函数的最小正周期为

C．函数的值域为

D．方程在上至多有8个实数根

【答案】ACD

【分析】根据函数奇偶性定义判断哪A，根据周期定义判断B，根据函数图象判断C，D.

【详解】因为，所以函数为偶函数，故A正确；

因为，所以不是函数周期，故B错误；

对，当时，，，作出函数图象，

由图象知，最大值为2，当时，可取最小值，故函数值域为，故C正确；

由图象知，与在上最多有4个交点，由函数图象的对称性知在上最多有4个交点，故方程在上至多有8个实数根，正确.

故选：ACD

三、填空题

13．300°化成弧度是______.

【答案】##

【分析】根据给定条件，利用角度制、弧度制的互化关系求解作答.

【详解】因为，所以.

故答案为：

14．已知，则__．

【答案】

【分析】及角的范围即可求解.

【详解】因为，所以，所以，

又，所以.

故答案为:.

15．在平行四边形中，已知，，，且，，，则______.

【答案】

【分析】根据得到是矩形，，计算得到答案.

【详解】，，，故，则平行四边形是矩形，

，，，

，则.

故答案为：.

16．已知函数，关于的不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围为________．

【答案】

【分析】根据的奇偶性以及单调性，将问题转化成对任意的，恒成立，结合二倍角公式以及三角函数的值域即可最值进行求解.

【详解】由于，所以为奇函数，且由， 单调递增，故 在定义域内单调递增，故，

因此，由于，所以 ，因此 ，故对任意的，恒成立，由余弦的二倍角公式可得，所以 恒成立即可，故，

故答案为：

四、解答题

17．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）先利用三角函数定义求得的值，进而求得的值；

（2）先求得的值，再利用三角函数诱导公式即可求得该式的值.

【详解】（1）角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，

它的终边过点，则，

则；

（2）由（1）得，则，

则

18．已知，且，计算：

（1）；  

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）将两端平方，得到，代入中计算，注意开方时的正负号的判断；

（2）由（1）得到，，代入中计算即可.

【详解】（1）将两端平方，得，所以，

，又，，

所以.

（2）由（1），知，

，所以.

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，涉及到与的求值问题，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.

19．已知，，.

（1）求的值；

（2）求的大小.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据和可求出；

（2）先算出，然后算出，然后结合的范围可得出答案.

【详解】（1）由得，代入得

∵，，∴

∴

（2）由，，

∴ ，∴

∴ =.

又 ∴

【点睛】本题考查的是三角函数的同角基本关系和和差公式，属于基础题.

20．已知函数．

(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；

(2)求函数在上的值域．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用两角和差的正弦公式以及二倍角公式化简，可得，即可根据三角函数周期公式以及正弦函数的单调性求得答案.

（2）根据，确定，结合正弦函数性质，即可求得答案.

【详解】（1）由题意得

，

 故函数的最小正周期为，

由，解得，

可得的单调递减区间为 .

（2），

故，故，

所以函数在上的值域为.

21．已知函数的部分图像如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)将图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），然后将图像向右平移个单位，得到的图像．若方程在上的解为，，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由函数图像对应的最大值求A，由周期计算，代点计算，可求函数的解析式；

（2）根据函数图像的变换，求的解析式，由建立方程，由对称性得的关系，结合诱导公式求的值.

【详解】（1）由函数图像，可得，

，所以，

因为，可得，所以，

又因为图像过点，可得，

所以，，解得，，

又由，所以，

所以的解析式为．

（2）将图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）

变为，

然后将图像向右平移个单位变为，

∵，∴，

令，，

由题意，，，

∴，∴，

∴．

22．已知中，函数的最小值为．

(1)求A的大小；

(2)若，方程在内有一个解，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)或或且

【分析】（1）根据三角恒等变换化简可得，再根据三角函数的最值求解即可；

（2）方法一：先求得，再令，分析在上的值域，结合零点存在性定理与二次函数的性质，分类讨论的范围判断即可；

方法二：参变分离得时在只有一个解，再根据对勾函数的图象性质数形结合分析即可

【详解】（1）

所以，故

因为，所以

（2）方法一：因为，

所以，当时，，因为在上单调递增，值域为；在上单调递减，值域为.令，，则由的图象知，考虑在上的解，

若，则或4，当时，方程的解为，舍去

当时，方程的解为，此时仅有一解，故方程在内有一个解，符合

若，则或，

此时在R上有两个不同的实数根，，令，则，由韦达定理，.

当时，则，，要使得方程在内有一个解，则，.当时，此时解得或，不符合题意，舍去．所以要使符合题意，只需，解得

当时，则，，要使得方程在内有一个解，则，，当时，此时解得或，不符合题意，舍去.所以要使符合题意，只需，解得

综上，m的取值范围是或或且

方法二：因为，所以，

令，，由的图象知，

考虑在上的解，

因为不是的解，

所以时在只有一个解，设

由对号函数图象可知函数在上单调递增，单调递减，在上单调递减，且，，，

∴或或且．