2022-2023学年江苏省常州市前黄高级中学高一下学期期中适应性练习数学试题含解析

2022-2023学年江苏省常州市前黄高级中学高一下学期期中适应性练习数学试题

一、单选题

1．复数，则复数的虚部是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】化简复数，即可得复数的虚部.

【详解】，则复数的虚部为，

故选：B.

2．已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案.

【详解】设扇形的半径为，圆心角为，

则，解得.

故选：B

3．在中，角的对边分别为，若，则（   ）

A． B． C． D．或

【答案】A

【分析】由已知及正弦定理可求，利用大边对大角可知，从而得出结果．

【详解】∵，

∴由正弦定理可得：，

，，.

故选：A．

4．已知，，，则下列正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用和角余弦公式、二倍角余弦及正切公式化简a、b、c，结合三角函数的性质比较大小.

【详解】由，

，

，

所以.

故选：C

5．已知向量，，且，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对化简可求出，再利用向量的夹角公式求解即可.

【详解】因为，所以，

因为，所以，所以，

设与的夹角为，则，

因为，所以.

故选：C.

6．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由三角函数平移变换可得函数解析式，根据对称性可知，由此可得，进而得到的最小值.

【详解】将函数的图象向右平移个单位得：，

图象关于轴对称，

，解得：，

当时，取得最小值.

故选：A.

7．在中，角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将面积用表示，结合余弦定理即可得解.

【详解】由三角形的面积公式，得，

即，由余弦定理得，

所以.

故选：B.

8．在中，角，，的对边分别为，，，记的面积为，小明在研究的性质时，发现结论：在斜三角形中，.若中，为最小角，、、均为正整数，则当时，（    ）

A． B． C． D．3

【答案】B

【分析】根据正切函数的性质求出，不妨设，即可得到，再画出图形，结合锐角三角函数及勾股定理计算可得.

【详解】在中，为最小角，所以，且，在上单调递增，

又、、均为正整数，所以，即，则，

所以、中必有一个角小于，又，

即，解得或（舍去），

不妨设，所以，则，

如图中过点作交于点，设，则，，

所以，所以（负值舍去），

所以.

故选：B

二、多选题

9．设平面向量，则（    ）

A． B．可以成为一组基底

C．与的夹角为锐角 D．在上的投影向量为

【答案】BD

【分析】求出，即可判断A；由共线向量的条件判断是否共线，即可判断B；求得，则，即可判断C；由投影向量的概念求解即可判断D．

【详解】对于A选项，，，，故A错误；

对于B选项，由于，所以不共线，可以成为一组基底，故B正确；

对于C选项，，所以，则，所以与的夹角为直角，故C错误；

对于D选项，向量在方向上的投影向量为，故D正确．

故选：BD.

10．已知复数，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（    ）

A．为实数 B．若，则

C． D．若，则的最小值为

【答案】ACD

【分析】设，计算可判断A；用特值法可判断B；设，计算可判断C；由，设，得出的表达式并化简，利用三角函数性质求得最小值，即可判断D.

【详解】选项A：设，，，故A正确；

选项B：设，，但是，故B错误；

选项C：设，则

，

，，

所以，故C正确；

选项D：若，设，则，

则，

所以当时，取最小值，故D正确.

故选：ACD．

11．已知函数，关于下列说法正确的是（    ）

A．为奇函数 B．为的周期

C．的值域为 D．为的一条对称轴

【答案】AC

【分析】根据函数奇偶性的定义可判断A；根据函数周期的定义可判断B；根据值的正负去掉绝对值符号，求出函数的值域可判断C；由与的关系可判断D.

【详解】对于A，由于， ，

故是奇函数，故A正确；

对于B，，

故不是的周期，故B错误；

对于C，时，，

时，，

综上的值域是，故C正确；

对于D，，则不是的对称轴，故D错误.

故选：AC.

12．在中，角，，的对边分别为，，，为边上的中线，，，以下说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则的取值范围是

【答案】ACD

【分析】对于A：可证，再根据数量积的运算律判断A，根据、平面向量数量积的运算律及余弦定理可得，即可判断B，再由数量积的运算律得到，进而得到，再由基本不等式及数量积的定义判断C，由题可得，结合条件可得，结合可判断D.

【详解】因为为边上的中线，，，

对于A：若，即，又，所以，

所以，，又，所以，

即，所以，则，

，

所以，故A正确；

对于B：当，即，

是边上的中线，， ，

即，

由余弦定理，

即，

所以，故B错误；

对于C： ，，又，，

，

，

若，即，，即，

由余弦定理，所以，

即，当且仅当时取等号，所以，

所以，又，

所以，故C正确；

对于D：在中，设角，，所对边为，，，

，即，

由上知，

，

，，

，

又，即，

，，

，故D正确．

故选：ACD

三、填空题

13．已知角，则的值为______．

【答案】

【分析】判断角所在象限，确定，从而脱掉绝对值符号，求得答案.

【详解】由题意得：，

故角是第三象限角，则，

故，

故答案为：

四、双空题

14．如图1是1992年第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图2），其中，则 __________， __________.

【答案】         

【分析】由题设结合勾股定理即可得出；求出，的正、余弦值，利用两角和的余弦公式求得，再由数量积定义可得.

【详解】由题设结合勾股定理知：，

同理，，，，，

所以；

，

，

，

.

故答案为：，.

五、填空题

15．为吸引顾客收看促销广告，某购物广场准备建造一座大型电子屏幕．已知大屏幕下端离地面米，大屏幕高米，若某位观众眼睛离地面米．为获得观看的最佳视野（最佳视野是指看到屏幕上下端夹角的最大值），这位观众距离大屏幕所在的平面距离应为____米．

【答案】

【分析】作于，设，则，由结合两角差的正切公式求得表达式，利用基本不等式求解即可.

【详解】

如图，作于，，

设，则，，

，

当且仅当，即时取等号,

当时，即这位观众距离大屏幕所在的平面距离为米时，可以获得观看的最佳视野.

故答案为：.

16．设函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，若，则______.

【答案】##－0.6

【分析】利用余弦函数的性质解出的值，然后得到，，代入，利用正切的两角差公式求出的值，然后再利用二倍角公式以及“1”的代换，结合“弦化切”的方法，求解即可.

【详解】因为，

则有或，，解得或，，

所以，，，，，，，，…，

又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，

故，，

所以，即，则，解得，

故.

故答案为：.

六、解答题

17．已知复数，，为虚数单位.

(1)若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围；

(2)若复数，求的模.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用复数代数形式的运算法则化简复数，求出对应点的坐标，利用点在第四象限得到不等式组，即可求实数的取值范围；

（2）利用复数代数形式的除法运算化简复数，从而求出的模．

【详解】（1）∵，，

∴复数，

∴复数在复平面内所对应的点为，    

由题意可得，解得，即实数的取值范围是．

（2），

∴.

18．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，点，点．

(1)若，求；

(2)若，当取得最大值时，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由向量垂直的坐标运算得出，再由模长公式计算即可；

（2）由向量共线的坐标运算得出，进而由正弦函数的性质求解.

【详解】（1）∵，∴，

若，则，∴，解得，               

∴，                             

∴．

（2）由题意，，

∵向量与共线，∴，即，             

∴，   

∵，

∴当时，取得最大值，此时．

19．已知函数，若图象相邻两条对称轴之间的距离为，且图象与轴的交点为.

(1)求的值和图象的对称中心；

(2)当时，求的最值，并指出取得最值时相对应的值.

【答案】(1)，，

(2)时，；时，

【分析】（1）化简，由图象相邻两条对称轴的距离为，知，可求得，由图象与轴的交点为求得，从而，令，即可求出图象的对称中心；

（2）当时，，结合三角函数的性质可得出答案.

【详解】（1），

∵图象相邻两条对称轴的距离为，∴，∴，

又图象与轴的交点为，∴，∴，

∴，

令，解得，

∴图象的对称中心为.

（2）当时，，∴，

当，即时，；

当，即时，.

20．已知的内角的对边分别为，且．

(1)求的值；

(2)已知，为边上一点，且，求线段的长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理边化角后利用三角恒等变换化简得，再根据内角和关系可得结果；

（2）由正弦定理先得出，再利用平面向量可得的模，即结果.

【详解】（1）∵，由正弦定理得   ，

∵，∴，

∴，即，

又，∴，∴，∴        

∵，∴，                  

∴，∴，         

∴

（2）由正弦定理得  ，∴，   

∵，∴，∴，            

∴

∴．

21．某城市有一直角梯形绿地，其中，km，km．现过边界上的点处铺设一条直的灌溉水管，将绿地分成面积相等的两部分．

（1）如图①，若为的中点，在边界上，求灌溉水管的长度；

（2）如图②，若在边界上，求灌溉水管的最短长度．

【答案】（1）（2）

【详解】试题分析：（1）由面积相等建立等量关系：先确定直角梯形高，求得直角梯形面积，再表示四边形的面积：分割成一个小直角梯形及一个直角三角形,其中为中点，根据四边形的面积为直角梯形面积一半，可解得，进而求得（2）易得，进而可得，其中，，根据的面积为直角梯形面积一半，可解得，再由余弦定理可得，利用基本不等式求最值

试题解析：（1）因为，，，

所以，……………………………………2分

取中点，

则四边形的面积为，

即，

解得，…………………………………………6分

所以(km)．

故灌溉水管的长度为km．……………………8分

（2）

设，，在中，，

所以在中，，

所以，

所以的面积为，

又，所以，即．……………………12分

在中，由余弦定理，得，

当且仅当时，取“”．

故灌溉水管的最短长度为km．……………………………………16分

【解析】余弦定理，基本不等式求最值

22．已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且.

(1)求角的大小；

(2)若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得，再根据的范围进而即得的大小；

（2）设,利用正弦定理,三角形面积公式及三角恒等变换可得，然后利用三角函数的性质即得.

【详解】（1）根据正弦定理有

即

展开化简得,

，，，

，,

,

，.

（2）由题意可知,设,

,又，

在中,由正弦定理可得:.

即:，

，

,

，

所以三角形面积的取值范围为.