2022-2023学年浙江省杭州师范大学附属中学国际部高一上学期期中数学试题含解析

2022-2023学年浙江省杭州师范大学附属中学国际部高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用交集定义直接求解．

【详解】因为集合，，

，，，

所以．

故选：C．

2．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用集合、元素的概念、关系进行判断.

【详解】因为集合，

对于A，，故A错误；

对于B，因为是无理数，所以，故B错误；

对于C，因为是无理数，所以，故C正确；

对于D，因为是无理数，所以不是的子集，故D错误.

故选：C.

3．已知全集为，集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据图形可得，阴影部分表示的集合为，求出即可.

【详解】根据图形可得，阴影部分表示的集合为，

，

.

故选：B.

4．下列各组函数表示相同函数的是（        ）

A．和 B．和

C．和 D．和

【答案】C

【分析】根据函数的定义域及对应法则判断是否为同一函数即可.

【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；

对于B中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；

对于C中，函数与的定义域和对应法则都相同，所以表示相同的函数；

对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数.

故选：C

5．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定的函数，直接列出不等式组求解作答.

【详解】函数有意义，则有，解得且，

所以函数的定义域为.

故选：B

6．不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分式不等式转化为一元二次不等式，并注意分母不等于0.

【详解】不等式等价于即所以，所以原不等式的解集为.

故选:A.

7．已知函数，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据分段函数的定义域分别代入求值.

【详解】由题意可得：

∴

故选：B.

8．已知是一次函数，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.

【详解】依题意，设，则有，解得，

所以.

故选：D

9．已知，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用配凑法直接得出函数的解析式.

【详解】因为，

所以．

故选：A

10．函数的单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定的函数，借助二次函数分段讨论其单调性作答.

【详解】当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，

当时，，则函数在上单调递增，

所以函数的单调递减区间是.

故选：A

11．函数的单调递减区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性，结合幂函数与二次函数的单调性即可得解.

【详解】由题意，得，解得或，

所以函数的定义域为，

令，则开口向上，对称轴为，

所以在上单调递减，在上单调递增，

而在上单调递增，

所以函数的单调递减区间为.

故选：D.

12．若，则有（    ）

A．最小值3 B．最大值3 C．最小值9 D．最大值9

【答案】D

【分析】根据二次函数的性质进行求解即可.

【详解】令，对称轴为，开口向下，

因为，所以当时，有最大值9，没有最小值，

故选：D

13．若函数的值域是，则函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由可推导得到的范围，即为所求值域.

【详解】的值域为，，，

即的值域为.

故选：A.

14．的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求得的范围，再由单调性求值域．

【详解】解：因为，所以，，即函数的定义域为，

又在时单调递增，

所以当时，函数取得最大值为，所以值域是，

故选：D.

15．已知函数 ，若值域为，则实数的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由函数的解析式确定区间端点处函数值，结合函数图象，数形结合，确定参数的范围，即得答案.

【详解】当时，，

值域为当时，由，得，此时，由，得，得或，此时，

综上，即实数的取值范围是，

故选：

二、多选题

16．设集合，且，则实数a可以是（    ）

A．  B．1 C．  D．0

【答案】ACD

【分析】由，可得，对集合N分类讨论可得结果.

【详解】，因为，所以，

因为，所以当时，，满足，

当时，，满足，

当时，，满足，

故选：ACD.

17．下列命题，其中正确的命题是（    ）

A．函数在上是增函数

B．函数在上是减函数

C．函数的单调递减区间是

D．已知在上是增函数，若，则有

【答案】AD

【分析】根据函数的定义域及单调性分别判断各选项.

【详解】A选项：对称轴为，函数的单调递增区间为，又，所以函数在上是增函数，A选项正确；

B选项：函数在和上单调递减，B选项错误；

C选项：定义域为，且函数的对称轴为，所以函数的单调递减区间为，C选项错误；

D选项：在上是增函数，若，则，，所以，，则，D选项正确；

故选：AD.

18．设函数，存在最小值时，实数的值可能是（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】ABC

【分析】根据函数解析式，分、、三种情况讨论，当时根据二次函数的性质只需函数在断点处左侧的函数值不小于右侧的函数值即可；

【详解】解：因为，

若，当时在上单调递增，当时，此时函数不存在最小值；

若，则，此时，符合题意；

若，当时在上单调递减，

当时，

二次函数对称轴为，开口向上，此时在上单调递增，

要使函数存在最小值，只需，解得，

综上可得.

故选：ABC

三、填空题

19．已知集合，若，则实数的值为___________.

【答案】/

【分析】依题意可得或，求出的值，再代入检验即可.

【详解】解：因为且，

所以或，

解得或，

当时，此时不满足集合元素的互异性，故舍去；

当时，符合题意；

故答案为：

20．函数的定义域为____________________．

【答案】

【分析】只需解不等式组即可.

【详解】，

，解得，且.

所以函数的定义域为.

故答案为：.

四、双空题

21．已知函数，则的单调增区间为______；若则最小值为______．

【答案】         

【分析】先通过奇函数的定义判断函数为奇函数，再利用奇函数及二次函数的单调性求解单调区间，利用函数的单调性求最值即可.

【详解】函数的定义域为R，且，

所以函数为奇函数，

当时，，

由二次函数性质得函数在区间单调递增，在[1,2]上单调递减.

由奇函数在对称区间的单调性一致得，函数在上单调递增，且，

所以的单调增区间为，

同样根据奇函数的对称性可得函数在上单调递减，

所以在[-2,1]上的最小值为.

故答案为：；.

五、填空题

22．对于任意实数，不等式无解，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】这是含参的不等式问题，通过对二次项系数进行讨论以及利用一元二次函数、进行求解处理.

【详解】当时，即，则，无解，所以；

当时，即，要使不等式无解，

则，解得；

综上，.

故答案为：.

六、解答题

23．已知集合，．

(1)当时，求出；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）先求出,再求出得解；

（2）对集合分两种情况讨论，解不等式即得解.

【详解】（1）（1）当时， ,所以=或，

所以= 或.

（2）（2）由.

①当为空集时，成立.

②当不是空集时，，，

综上①②，.

24．已知函数．

(1)若的解集为，求a，b的值.

(2)若，求解不等式.

【答案】(1)

(2)当时，的解集为；

当时，的解集为；

当时，的解集为.

【分析】（1）由已知得方程的两个实根分别为，2，且，直接将根代入即可得出答案；

（2）分类讨论结合判别式即可求解.

【详解】（1）的解集为，

方程的两个实根分别为，2，且，

则，解得：.

（2）中，

当时，则，

化为，

若时，即，解得，

若时，即，无解，

若时，即，解得；

综上，当时，的解集为；

当时，的解集为；

当时，的解集为.

25．已知二次函数，且满足，．

(1)求函数的解析式；

(2)当时，求函数的最小值（用表示）．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件可建立关于a，b，c的方程，解出a，b，c即可求得函数解析式；

（2）结合已知区间与对称轴的位置关系进行分类讨论即可求解．

【详解】（1）由，得

由，得，即

所以，解得

因此．

（2）因为的图象是以直线为对称轴，且开口向上的抛物线，

当时，在上单调递增，则；

当，即时，在上单调递减，则；

当，即时，，

综上