2022-2023学年湖北省孝感市高一下学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年湖北省孝感市高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知复数满足，是虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接利用复数的除法计算即可.

【详解】,

.

故选：A.

2．已知平面向量，，，若，，则为（    ）

A．5 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据向量平行、垂直求得，进而求得.

【详解】由于，，

所以，解得，

所以，

所以.

故选：A

3．如图，在中，，为CD的中点，设，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据向量的线性运算结合条件即可得答案.

【详解】由已知得

.

故选：D.

4．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由求得，从而判断出充分、必要条件.

【详解】，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

5．在中，，若边上的高等于，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】用表示，利用正弦定理求得.

【详解】过作，为垂足，如图所示，

由于，，

所以，则，

所以，

在中，由正弦定理得，

.

故选：D

6．若非零向量、满足，且，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将模的关系和垂直关系转化为数量积，建立方程组求解即可.

【详解】∵，∴，∴，

∴①，

又∵，∴，∴②，

②式代入①式，得，即，∴，∴，

设与的夹角为，且，则，

又∵，∴，即与的夹角为.

故选：A.

7．将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】已知变换过程反过来结合三角函数的平移变换、相位变换可得．

【详解】象上各点的横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），得图象的解析式为，再把图象向右平移个单位得图象解析式为，

故选：C．

8．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且外接圆半径为2，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用正弦定理求得，，将转化为角的形式，结合三角函数值域的知识求得正确答案.

【详解】依题意，，

由正弦定理得，

，

,

，

由于，

所以，

由于，所以，所以，

所以是锐角，且，

所以.

,

由于三角形是锐角三角形，所以，即，

所以，所以，

所以，

所以的取值范围是.

故选：C

【点睛】关键点点睛：利用正弦定理解三角形，主要是利用正弦定理边角互化的作用来对已知条件进行化简求值.三角形中，要求一个表达式的取值范围，可利用正弦定理将其转化为角的形式，然后利用三角函数的值域的求法来求得取值范围.

二、多选题

9．下列命题中错误的是（    ）

A．

B．若，满足，且与同向，则

C．若，则

D．若是等边三角形，则

【答案】BC

【分析】根据向量的概念、模、数量积、夹角等知识确定正确答案.

【详解】A选项，根据向量加法的几何意义可知，所以A选项正确.

B选项，向量不能比较大小（向量的模可以比较大小），所以B选项错误.

C选项，若且是零向量，则无法得到，所以C选项错误.

D选项，根据向量夹角、等边三角形的知识可知，D选项正确.

故选：BC

10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得有两个解的是（    ）

A．， ， B．，，

C．，， D．，，

【答案】AB

【分析】根据正弦定理、余弦定理的知识确定正确选项.

【详解】A选项，，，

所以有两个解，A选项正确.

B选项，为锐角，

，，

，所以有两个解，B选项正确.

C选项，由余弦定理得，

所以有唯一解.

D选项，，

，所以有唯一解.

故选：AB

11．函数（且）在一个周期内的图象如图所示，下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．在上单调递增 D．，都有

【答案】BD

【分析】根据图象求得的解析式，然后对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】由图可知，，

，，

，

由于，所以，

所以，A选项错误.

，B选项正确.

由于，

所以在上先减后增，所以C选项错误.

，所以D选项正确.

故选：BD

12．点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（    ）

A．若则为的重心

B．若，则点为的垂心

C．在中，向量与满足，且，则为等边三角形

D．若，，分别表示，的面积，则

【答案】ACD

【分析】（1）由向量关系可以判断出为中线的三等分点，可知为重心；

（2）由向量关系可以判断出为边与边垂直平分线的交点，可知不是垂心；

（3）由判断出三角形为等腰三角形，由判断出，可知为等边三角形；

（4）令，，则为的重心，由此求出面积比即可.

【详解】

对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则，

又∵由，∴，∴，

∴为的重心，故选项A正确；

对于B，如图，取边中点，边中点，连接，，

则，，

∵，∴，

∴，∴，，∴，，

∴，分别是，边上的垂直平分线，

∴，为的外心，故选项B错误；

对于C，作角的内角平分线与边交于点，

∵为方向的单位向量，为方向的单位向量，

∴（），∴（），

∴，∴，∴，为等腰三角形，

又∵，且，∴，

∴为等边三角形，故选项C正确；

对于D，设，，由得，

则由选项A可知，为的重心，设的面积，

∴，

又∵，，

∴，，，

∴，

∴，故选项D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．______.

【答案】2

【分析】利用两角和的正切公式进行化简求值.

【详解】由于，

所以，

即，

所以

故答案为：

【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，属于中档题.

14．若，，且，均为锐角，则______.

【答案】

【分析】先通过同角三角函数基本关系求出，，然后通过展开计算即可.

【详解】，均为锐角,

，又，

，

，，

.

故答案为：.

15．在中，为边上靠近点的一个三等分点，为线段上一动点，且满足，则的最小值为______.

【答案】

【分析】先求得的等量关系式，然后利用基本不等式求得正确答案.

【详解】依题意，，，

由于三点共线，所以.

所以

，

当且仅当时等号成立.

故答案为：

16．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为______.

【答案】

【分析】根据余弦定理、正弦定理以及平面向量基本定理求得，进而求得正确答案.

【详解】过作，交于，则，

由于，所以，

设，则，，

设，则,

则，

由于，所以在三角形中，

由余弦定理得，

所以，，

在三角形中，由正弦定理得：

，，

所以.

，

在三角形中，由正弦定理得：

，，

所以.

所以.

故答案为：

【点睛】平面向量的基本定理可以解决向量分解的问题，相当于向量线性运算.在求解几何图形问题的过程中，可考虑利用正弦定理或余弦定理来进行边角转化.

四、解答题

17．已知复数.

(1)若复数为纯虚数，求实数的值；

(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接根据实部为零，虚部不为零列式计算即可；

（2）直接根据实部大于零，虚部小于零列不等式计算即可；

【详解】（1），且复数为纯虚数，

，

解得；

（2）复数在复平面内对应的点在第四象限，

，

解得.

18．已知，，.

(1)求的单调递增区间；

(2)若，求的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用平面向量的坐标运算以及三角公式将变形为的形式，然后利用正弦函数的性质可得单调区间；

（2）利用正弦函数的性质可得的值域.

【详解】（1），

，

令，

解得，

即的单调递增区间为；

（2）当时，，

，

，

即的值域为.

19．如图，在平行四边形中，点、分别为线段、的中点.

(1)若，求，的值；

(2)若，，，求与夹角的余弦徝.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量线性运算求得正确答案.

（2）根据向量夹角公式求得与夹角的余弦徝.

【详解】（1）依题意，,

，

由于，所以，

解得.

（2）,

，

，

，

所以与夹角的余弦徝为.

20．已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且.

(1)求；

(2)若中线，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得；

（2）利用向量运算、三角形的面积公式以及基本不等式求得面积的最大值.

【详解】（1）依题意，，

由正弦定理得，

，

，

，由于，

所以，即，

由于，所以.

（2）依题意，

两边平方得，即，

，

当且仅当，即三角形是等边三角形时等号成立，

所以面积的最大值为.

21．如图，在中，，的角平分线交于点.

(1)求的值；

(2)若，，求的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角形的面积公式求得正确答案.

（2）先求得，然后利用余弦定理列方程来求得.

【详解】（1）依题意，的角平分线交于点，

所以.

（2）设到的距离为，

由（1）得，所以，.

依题意，

由余弦定理得，

整理得，所以.

22．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.

(1)设函数，试求的伴随向量；

(2)记向量的伴随函数为，求当且时，的值；

(3)当向量时，伴随函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）化简的解析式，从而求得伴随向量.

（2）先求得，由求得，进而求得，从而求得.

（3）先求得，然后根据三角函数的最值求得正确答案.

【详解】（1）

，

所以.

（2）依题意，

由得，

，所以，

所以.

（3）的函数解析式，

所以

区间的长度为，函数的周期为，

若的对称轴在区间内，

不妨设对称轴在内，最大值为1，

当即时，函数在区间上的最大值与最小值之差取得最小值为；

其它的对称轴在内时最大值与最小值之均大于，

若的对称轴不在区间内，则在区间内单调，在两端点处取得最大值与最小值，则最大值与最小值之差为：

，

故函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为

【点睛】方法点睛：求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法.