2022-2023学年江西省宜春市第三中学高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年江西省宜春市第三中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设在处可导，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】变形结合导数的定义，计算出结果.

【详解】因为在处可导,

所以，由导数的定义可得：.

故选：C.

2．小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是，小智连续两盘都获胜的概率是，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】记事件小智第一盘获胜，事件小智第二盘获胜，根据题意可得出、，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】记事件小智第一盘获胜，事件小智第二盘获胜，则，，

因此，小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是.

故选：B.

3．设等比数列的前项和为，若，且成等差数列，则（    ）

A．63 B．31 C．-63 D．-31

【答案】A

【分析】设出公比，根据成等差数列列出方程，求出公比，利用等比求和公式求出答案.

【详解】设公比为，

因为成等差数列，所以，

则，解得：或0（舍去）.

因为，所以，故.

故选：A.

4．已知数列的通项为，则其前8项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】运用裂项相消法进行求解即可.

【详解】，

所以前8项和为，

故选：D

5．某课外兴趣小组通过随机调查，利用2×2列联表和统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关.计算得，经查阅临界值表知，则下列判断正确的是（    ）

A．每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生

B．若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010

C．有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别无关”

D．在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”

【答案】D

【分析】计算的观测值，对照阅临界值表知，即可得出统计结论．

【详解】∵，∴有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”，即在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”.所以ABC错误，

故选：D

6．“二十四节气”是上古农耕文明的产物，它是上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系.我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度，二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始，已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中立春到夏至的日晷长的和为（    ）

A．58.5尺 B．59.5尺 C．60尺 D．60.5尺

【答案】C

【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.

【详解】设冬至日晷长为，小寒日晷长为，以此类推芒种日晷长为，

因此，，设从冬至日到夏至日过程中，晷长的变化量为，

所以有，立春日晷长为，

夏至的日晷长为，

所以一年中立春到夏至的日晷长的和为，

故选：C

7．在等差数列中，若是方程的两根，则的前12项的和为（    ）

A．12 B．18 C． D．

【答案】D

【分析】利用韦达定理得出，利用等差数列的求和公式以及等差数列下标和的性质可求得结果.

【详解】因为，是方程的两根，

由韦达定理可得，

所以等差数列的前项的和.

故选：D.

8．已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，有，且，则使得成立的的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据当时，有，令，，得到在上递增，再根据在上的偶函数，得到在上是奇函数，则在上递增，然后由，得到求解.

【详解】因为当时，有，

令，

所以，

所以在上递增，

又因为在上的偶函数

所以，

所以在上是奇函数

所以在上递增，

又因为，

所以，

当，时，，此时，，

当 ， 时，，此时，，

所以成立的的取值范围是.

故选：A

【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及利用单调性解不等式，还考查了转化化归的思想和推理求解的能力，属于中档题.

二、多选题

9．若为等差数列，，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．是数列中的项

C．数列单调递减

D．数列前7项和最大

【答案】ACD

【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可.

【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确，

由，得，故B错误，

因为，所以数列单调递减，故C正确，

由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确.

故选：ACD

10．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据导数运算法则依次讨论求解即可；

【详解】解：对于A选项，，故正确；

对于B选项，，故正确；

对于C选项，，故错误；

对于D选项，，故错误；

故选：AB

11．如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（    ）

A．在上是增函数

B．在上是减函数

C．当时，取得极小值

D．当时，取得极大值

【答案】BC

【分析】根据导数与原函数关系解决.

【详解】从导函数图像可以看出函数在上为单调减函数；

在上为增函数，故A错B对，C对D错.

故选：BC

12．已知函数，下列说法正确的有（    ）

A．的极大值为

B．的单调递减区间为

C．曲线在处的切线方程为

D．方程有两个不同的解

【答案】BC

【分析】利用导数，求的单调区间和极值，验证选项AB，由导数的几何意义求曲线在处的切线方程，判断选项C，数形结合求方程解的个数，判断选项D.

【详解】函数，定义域为，，

，解得，，解得，

在上单调递减，在上单调递增，B选项正确；

有极小值，无极大值，A选项错误；

由，，曲线在处的切点为，切线斜率为1，切线方程为，C选项正确；

，即，函数与的图像在上只有一个交点，所以方程有一个解，D选项错误.

故选：BC

三、填空题

13．已知，则__________.

【答案】-63

【分析】通过赋值法可得结果.

【详解】令，则，即

令，则，.

故答案为：-63

14．在等比数列中，是函数的极值点，则＝__________．

【答案】

【分析】由题，利用导数及韦达定理可得，后利用等比中项性质可得答案.

【详解】，

由题是方程的两个不等实根，

则由韦达定理，所以

又是的等比中项且与同号，则.

故答案为：.

15．若函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围为______．

【答案】

【分析】由题意得到在上恒成立，参变分离，只需，求出，从而得到答案.

【详解】，

由题意得在上恒成立，

因为，所以在上恒成立，

即在上恒成立，只需，

其中，所以.

故答案为：

16．已知函数，对一切，恒成立，则的取值范围是________.

【答案】

【分析】根据题意，通过分离参数法得出在上恒成立，再构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，求出，进而求得的取值范围.

【详解】解：由题可知，，即，

得在上恒成立，

设，

则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增.

∴，

∴，

即的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．已知数列满足：.

(1)求证：数列是等比数列；

(2)求数列的通项公式及其前项和的表达式.

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

【分析】（1）由等比数列的定义证明即可；

（2）由（1）得出数列的通项公式，再由等差和等比的求和公式计算.

【详解】（1）由题意可知，

所以数列是以为首项，公比为的等比数列.

（2）由（1）可知，，即

前项和.

18．已知函数，．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论的单调性．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；

（2）求导后，分别在、和的情况下，根据正负得到函数单调性.

【详解】（1）当时，，则，，又，

在点处的切线方程为：，即.

（2）由题意得：定义域为，；

当时，，在上单调递增；

当时，若，则；若，则；

在上单调递增，在上单调递减；

当时，若，则；若，则；

在上单调递增，在上单调递减；

综上所述：当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

19．如图，在三棱柱中，侧面和侧面均为正方形，为棱的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)若直线与平面所成角为30°，求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可得平面，即平面，进而，再次利用线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明；

（2）建立如图空间直角坐标系，利用向量法求出平面的法向量，结合面面角的向量求法即得.

【详解】（1）因为侧面、侧面均为正方形，

所以，，又，平面，

所以平面，又，所以平面，

又平面，所以．

由，为棱的中点，所以，

又，平面，

因此平面，又平面，

故平面平面；

（2）由（1）得是与侧面所成角，即，

令，所以，又，

所以，，，

则，．

以A为原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，．所以，．

设是平面的一个法向量，

则即取．

易知是平面的一个法向量，

则．

而平面与平面的夹角为锐角，

所以平面与平面的夹角的余弦值为．

20．已知数列的前n项和为，，且．，．

(1)求数列和的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据对数运算得，利用等比数列定义求通项公式，利用等差中项判断数列为等差数列，建立方程求出公差，从而可得的通项；

（2）利用错位相减法计算即可.

【详解】（1）∵，∴，则，所以为等比数列，

又，得，所以，

由知是等差数列，且，，

∴，得，．∴.

（2）因为，，所以，

所以

则

上面两式作差得

，

∴

21．已知.

(1)若在处有极大值，求的值；

(2)若，求在区间上的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)求出，令，解得，再分别讨论，利用函数在处有极大值，从而得出答案；

(2)确定函数的单调性，即可求在区间上的最小值.

【详解】（1）由题知，，

由题意，，得或，

当时，在上，在上，

此时，在处有极小值，不符题意；

当时，在上，在上，

此时，在处有极大值，符合题意.

综上，.

（2）令，得或，

由，则在上，在上，

即在上单调递增，在上单调递减.

由题意，，

当时，在区间上单调递减，则，

当时，在区间上单调递减，在上单调递增，则，

当时，在区间上单调递增，则，

综上，.

22．已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．

(1)求函数的解析式；

(2)若函数有三个零点，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，列出方程组求得，求导，利用导数判断的单调性与极值；

（2）由题意得到原题意等价于与有三个交点，结合（1）中的单调性与极值，列式求解.

【详解】（1）∵，

由题意得，解得，

所以，，

令，解得或；令，解得；

则在上单调递增，在上单调递减，

∴在处取到极大值，在处取到极小值，

故符合题意，.

（2）令，则，

原题意等价于与有三个交点，

由（1）可得：在上单调递增，在上单调递减，

∴在处取到极大值，在处取到极小值，

故，解得，

所以的取值范围为．