广东省湛江市2023届高三数学下学期二模试卷（Word版附答案）

2023年湛江市普通高考第二次模拟测试

数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．广东省第七次人口普查统计数据显示，湛江市九个管辖区常住人口数据如表所示，则这九个管辖区的数据的第70%分位数是（    ）

A．927275 B．886452 C．698474 D．487712

4．的展开式中，的系数是（     ）

A．40 B． C．80 D．

5．如图，将一个圆柱等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”．若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

6．若与轴相切的圆与直线也相切，且圆经过点，则圆的直径为（    ）

A．2 B．2或 C． D．或

7．当，时，恒成立，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．若，则的值可能为（    ）

A．2 B．3 C． D．

10．一百零八塔始建于西夏时期，是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，自上而下一共12层，第1层有1座塔，从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座塔．已知包括第1层在内的其中10层的塔数可以构成等差数列，剩下的2层的塔数分别与上一层的塔数相等，第1层与第2层的塔数不同，则（    ）

A．第3层的塔数为3  B．第6层的塔数为9

C．第4层与第5层的塔数相等 D．等差数列的公差为2

11．廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品．设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量（单位：g）服从正态分布，且，．下列说法正确的是（    ）

A．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167 g的概率为0.7

B．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167 g～168 g的概率为0.05

C．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163 g的个数的数学期望为480

D．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g～168 g的个数的方差为136.5

12．已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（    ）

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．已知奇函数则__________．

14．若抛物线的焦点到准线的距离为，且的开口朝上，则的标准方程为__________．

15．若函数在上具有单调性，且为的一个零点，则在上单调递__________（填增或减），函数的零点个数为__________．（本题第一空2分，第二空3分）

16．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为棱上任意一点（不包括端点），为棱上任意一点（不包括端点），且．已知，，当三棱锥的体积取得最大值时，与底面所成角的正切值为__________．

四、解答题：本题共6小时，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

现有，两个广西旅行社，统计了这两个旅行社的游客去漓江、乐满地主题乐园、西街、龙脊梯田四个景点旅游的各240人次的数据，并分别绘制出这两个旅行社240人次分布的柱形图，如图所示．假设去漓江、乐满地主题乐园、西街、龙脊梯田旅游每人次的平均消费分别为1200元、1000元、600元、200元．

（1）通过计算，比较这两个旅行社240人次的消费总额哪个更大；

（2）若甲和乙分别去旅行社、旅行社，并都从这四个景点中选择一个去旅游，以这240人次去漓江的频率为概率，求甲、乙至少有一人去漓江的概率．

18．（12分）

在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求；

（2）若，且，求面积的取值范围．

19．（12分）

如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得至处，且．

（1）证明：平面．

（2）求二面角的余弦值．

20．（12分）

已知两个正项数列，满足，．

（1）求，的通项公式；

（2）用表示不超过的最大整数，求数列的前项和．

21．（12分）

设椭圆方程为，，分别是椭圆的左、右顶点，直线过点，当直线经过点时，直线与椭圆相切．

（1）求椭圆的方程．

（2）若直线与椭圆交于，（异于，）两点．

（i）求直线与的斜率之积；

（ii）若直线与的斜率之和为，求直线的方程．

22．（12分）

已知函数．

（1）求曲线在处的切线方程．

（2）若存在使得，证明：

（i）；

（ii）．

2023年湛江市普通高考第二次模拟测试

数学参考答案

1．A  依题意得，则，所以在复平面内对应的点为．

2．D  由，，得．

3．A  这九个管辖区的数据按照从小到大的顺序排列为303824，333239，487093，487712，69474，886452，927275，1427664，1443099，，因为，所以这九个管辖区的数据的第70%分位数是927275；

4．C  展开式的通项为，令，得．所以的系数是．

5．A  显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，设圆柱的底面半径为，高为，则，所以圆柱的侧面积为．

6．B  因为直线的倾斜角为，

所以圆的圆心在两切线所成角的角平分线上．

设圆心，则圆的方程为，

将点的坐标代入，得解得或

故圆的直径为2或．

7．A  当，时，，

当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为．

所以，即．

8．B  设，则，，由，得，则，，设函数，，则，在上为增函数，且，所以当时，，当时，．故．

9．BD  因为，所以，整理得，则，解得或．

10．ACD  设等差数列的公差为．若，则这10层的塔数之和为，则最多有座塔，不符合题意；若，则这10层的塔数之和不少于，不符合题意．所以，这10层的塔数之和为，塔数依次是1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，依题意剩下2层的塔数为3与5．所以这12层塔的塔数分别为1，3，3，5，5，7，9，11，13，17，19，因此A，C，D正确，B错误．

11．BCD  因为，所以，所以A错误．因为，所以，所以B正确．，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163 g的个数．所以，所以C正确．，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g～168 g的个数，所以，所以D正确．

12．AC  当时，直线与另一条渐近线平行，所以．

当时，如图1，过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，由，得，则，所以，则,，所以，则，．

当时，如图2，过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，由，得，则，则，所以，则，，所以，则，．

综上，的离心率为或．

13．  当时，，，则．

14．  依题意可设的标准方程为，因为的焦点到准线的距离为，所以，所以的标准方程为．

15．增；9  因为在上具有单调性，所以，即，．又因为，所以，即，只有，符合要求，此时．

当时，，所以在上单调递增．

作出函数与的图象，由图可知，这两个函数的图像共有9个交点，所以函数的零点个数为9．

16．  如图，在上取点，使得．

由，设，，其中．

由，，平面，可得，，，．

∵，平面，∴平面．

在中，有，可得，∴可得．

的面积为．

，

可得当时，三棱锥的体积取得最大值．

当三棱锥的体积取得最大值时，为的中点，为的中点．

连接，则为与平面所成的角，，，．

17．解：（1）旅行社240人次的消费总额为元，2分

旅行社240人次的消费总额为元，4分

因为，所以旅行社240人次的消费总额更大．5分

（2）对于旅行社，这240人次去漓江的频率为，

所以甲去漓江的概率为．6分

对于旅行社，这240人次去漓江的频率为，

所以乙去漓江的概率为．7分

故甲、乙至少有一人去漓江的概率为．10分

18．解：（1）因为，

所以．1分

由余弦定理得．3分

因为，所以．4分

（2）由及正弦定理，得，5分

所以．6分

由余弦定理得，，7分

所以，8分

当且仅当时，等号成立．9分

因为，所以，则，10分

所以，因为的面积为，所以面积的取值范围是．12分

19．（1）证明：由题意可知，，，2分

因为，，3分

所以平面．4分

（2）解：取的中点，连接，，

易知，，

由，，可知，，5分

由且，可知，四边形为平行四边形，，平面，6分

设，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，．7分

设平面的法向量为，则  8分

令，得，9分

平面的一个法向量为，10分

所以，11分

由图可知二面角，为锐角．故二面角的余弦值为．12分

20．解：（1）由，得，1分

由，得，2分

两式相减得，因为是正项数列，所以，4分

所以．5分

（2）6分

则当时，，7分

所以，8分

两式相诚得  9分

，10分

即．11分

因为满足，所以．12分

21．解：（1）依题意可得．1分

当直线经过点时．的方程为，2分

代入，整理得，3分

，4分

解得，所以椭圆的方程为．5分

（2）（i）依题意可得直线的斜率不为0，可设，，．

由得，

则．6分

则

．8分

（ii）因为，9分

所以，又因为，所以，10分

则直线的方程为．与联立得．11分

所以的方程为，即．12分

22．（1）解：因为，所以，1分

又，所以曲线在处的切线方程为，

即．3分

（2）证明：（i）依题意可知有零点，即有正数解．4分

令，则．

当时，，单调递减；当时，，单调递增．5分

所以，所以．6分

（ii）不妨设．由可得，7分

因为，所以，

要证，

只要证．8分

令，即只要证，

即只要证在上单调递增，9分

即只要证在上恒成立，

即只要证在上恒成立．10分

令，则．

当时，，单调递增；当时，，单调递减．

所以．11分

由（i）知，在上恒成立，

所以在上恒成立，

故．12分