2021届广东省湛江市高三下学期数学二模试卷及答案

高三下学期数学二模试卷

一、单项选择题

1.复数 ，那么复数 的虚部为〔    〕           

A. 2                                         B. -2                                         C.                                          D. 

2. ，那么〔    〕           

A.                              B.                              C.                              D. 

3.，那么 〔    〕           

A. 49                                         B. 56                                         C. 59                                         D. 64

4.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，那么积不容异〞.“幂〞是截面积，“势〞是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，那么这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为 的正六棱台与一个不规那么几何体满足“幂势既同〞，那么该不规那么几何体的体积为〔    〕 

A. 16                                     B.                                      C.                                      D. 21

5.函数 的局部图象大致为〔    〕           

A.                                             B. 
C.                                            D. 

6.在 的等腰直角 中， 为 的中点， 为 的中点， ，那么 〔    〕           

A.                                      B.                                      C.                                      D. -1

7. 是椭圆 的右焦点，过椭圆 的下顶点且斜率为 的直线与以点 为圆心、半焦距为半径的圆相切，那么椭圆 的离心率为〔    〕           

A.                                        B.                                        C.                                        D. 

8.函数 有三个零点，那么实数 的取值范围是〔    〕           

A.                                  B.                                  C.                                  D. 

二、多项选择题

9.某学校组织学生参加劳动实践，学生需要手工制作一种模具，劳动实践结束后，学校任选了一个班级，统计了该班每人制作的合格品个数，其结果用茎叶图记录如下： 

由以上统计结果，以下判断正确的选项是〔    〕

A. 男生制作合格品个数的方差更大                         B. 女生制作合格品个数的分布更接近正态分布.
C. 男生制作合格品个数的分布更接近正态分布        D. 该班女生制作合格模具的平均能力要低于男生

10.集合 ， ，那么以下命题中正确的选项是〔    〕           

A. 假设 ，那么                                        B. 假设 ，那么
C. 假设 ，那么 或                        D. 假设 时，那么 或

11.函数 ，那么〔    〕           

A.                                               B. 的最大值为
C. 是奇函数                                                    D. 的最小值为

12. 是数列 的前 项和，且 ， ，那么〔    〕           

A. 数列 是等比数列             B. 恒成立             C. 恒成立             D. 恒成立

三、填空题

13. ， 分别是双曲线 的左、右焦点，点 是双曲线 上一点，且 ， 的面积为 ，那么双曲线 的渐近线方程为________.   

14.现有5个参加演讲比赛的名额，要分配给甲、乙、丙三个班级，要求每班至少要分配一个名额，那么甲班恰好分配到两个名额的概率为________.   

15.在三棱锥 中， 是以 为直角的等腰直角三角形， 是边长为2的等边三角形，二面角 的余弦值为 ，那么三棱锥 的外接球的外表积为________.   

16.写出一个以 为对称中心的偶函数________，该函数的最小正周期是________.   

四、解答题

17.如图，在平面四边形 中， ， ， ， .

〔1〕求 的值；   

〔2〕求BC 的值.   

18.：数列 中， ， ， ， .   

〔1〕证明数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；   

〔2〕假设 ，求数列 的前 项和 .   

19.如图，三棱柱 中， ， ， ， 分别是 和 的中点，点 在棱 上，且 . 

〔1〕证明： 平面 ；   

〔2〕假设 底面 ， ，求二面角 的余弦值.   

20.某高三学生小明准备利用暑假的7月和8月勤工俭学，现有“送外卖员〞和“销售员〞两份工作可供其选择.“销售员〞工作每日底薪为50元，每日销售的前5件每件奖励20元，超过5件的局部每件奖励30元.小明通过调查，统计了100名销售员1天的销售记录，其柱状图如图1；“送外卖员〞没有底薪，收入与送的单数相关，在一日内：1至20单〔含20单〕每送一单3元，超过20单且不超过40单的局部每送一单4元，超过40单的局部，每送一单4.5元.小明通过随机调查，统计了100名送外卖员的日送单数，并绘制成如下直方图〔如图2〕. 

〔1〕分别求出“销售员〞的日薪 〔单位：元〕与销售件数 的函数关系式、“送外卖员〞的日薪 〔单位：元〕与所送单数 的函数关系式；   

〔2〕假设将频率视为概率，根据统计图，试分别估计“销售员〞的日薪 和“送外卖员〞的日薪 〔同一组中的数据用该组区间的中点值代表〕的数学期望，分析选择哪种工作比较适宜，并说明你的理由.   

21.设抛物线 的焦点为 ，过点 的动直线 与抛物线 交于 ， 两点，当 在 上时，直线 的斜率为-2.   

〔1〕求抛物线的方程；   

〔2〕在线段 上取点 ，满足 ， ，证明：点 总在定直线上.   

22.函数 ， 为 的导函数.   

〔1〕讨论 在区间 内极值点的个数；   

〔2〕假设 时， 恒成立，求实数 的取值范围.   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】因为 ，

所以复数 的虚部为-2，

故答案为：B

 
【分析】由复数代数形式的运算性质整理再由复数的定义即可得出答案。

2.【解析】【解答】对于A、B中，例如： 时，可得A，B错误；

对于D中，例如： 时， ，所以D错误；

对于C中，因为指数函数 是 上的增函数，由 ，可得 ，所以C正确.

故答案为：C.

 
【分析】由特殊值法以及指数、对数函数的单调性对选项逐一判断即可得出答案。

3.【解析】【解答】令 ， .

故答案为：C.

 
【分析】根据题意由特殊值代入法计算出结果即可。

4.【解析】【解答】由祖暅原理，该不规那么几何体体积与正六棱台体积相等，

故 .

故答案为：D

 
【分析】根据题意即可得出该不规那么几何体体积与正六棱台体积相等，由棱台的体积公式代入数值计算出结果即可。

5.【解析】【解答】 ，故A错误；

，故B，C错误．

故答案为：D

 
【分析】由奇函数的定义即可得出选项A错误，在特数值法即可判断出选项B、C由此得出答案。

6.【解析】【解答】以 为原点建立直角坐标系，

设 ， ，那么 ， ，

那么 ， ，

所以 ，所以 .

故答案为：A

 
【分析】 根据题意以A为原点，建立平面直角坐标系，设C出点的坐标然后结合向量的坐标表示及平面向量根本定理可求.

7.【解析】【解答】过椭圆 的下顶点 且斜率为 的直线方程为 ，

，由点到直线距离公式，得 ，

即 ， ，那么 .

又 ，即 ，

解得 .

故答案为：A

 
【分析】 利用点到直线的距离以及椭圆几何量之间的关系，求解离心率即可.

8.【解析】【解答】由 ，

设 ， ，

当 时， ，

当 时， ，

当 时， ，

所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，

故 ， ，

因为函数 有三个零点，故 ．

故答案为：B

 
【分析】 由条件结合零点的定义 构造函数对其求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，再由函数的单调性即可得出， 从而求出a的取值范围。
 

二、多项选择题

9.【解析】【解答】解：对于A，由茎叶图中数据知，男生组的数据较为分散，波动性大，所以方差大，女生组的数据比较集中，波动性小，方差小，所以选项A正确；

对于B，女生组的数据比较集中，但对称性不高，不接近于正态分布，所以选项B错误；

对于C，男生组的数据较为分散，但对称性好，更接近于正态分布，所以选项C正确；

对于D，男生组的数据分布在20左右，女生组的数据集中在10～20，所以女生组数据的平均值小于男生组，选项D正确．

故答案为：ACD．

 
【分析】根据题意由茎叶图中的数据结合方差以及正态分布的性质对选项逐一判断即可得出答案。

10.【解析】【解答】 ，假设 ，那么 ，且 ，故A正确.

时， ，故D不正确.

假设 ，那么 且 ，解得 ，故B正确.

当 时， ，解得 或 ，故C正确.

故答案为：ABC．

 
【分析】 根据题意由求出集合A再对应各个选项逐个求出满足选项的集合B的a的范围即可.

11.【解析】【解答】由题意，函数 ，

可得 ，所以A正确；

由 ，

当且仅当 时等号成立，故B正确；

由 ，所以 ，所以C不正确；

由 ，所以D不正确.

故答案为：AB

 
【分析】 根据题意直接利用三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，不等式的性质对选项逐一判断即可得出答案。

12.【解析】【解答】 ，故 ，

又 ，故 ，

故 ， ，所以A错误，B正确；

， ，所以C正确，D错误.

故答案为：BC.

 
【分析】首先由的数列的递推公式整理得到从而判断出数列为等比数列，再由条件即可求出数列的通项公式，结合数列前n项和公式整理即可。

三、填空题

13.【解析】【解答】 ， ，

那么 ，所以， ，

因为 ，所以， ，可得 .

因此，双曲线 的渐近线方程为 ，即x±y=0.

故答案为：x±y=0.

 
【分析】 利用双曲线的定义，结合勾股定理，三角形的面积求解a、b关系，然后求解双曲线的渐近线方程即可.

14.【解析】【解答】3个班分5个名额，每班至少一个有2种情况：一个班分3个，其余各分1个；2个班各分2个，另一个班分一个，那么分配的总数为 ，
甲班恰好分配到两个名额，那么余下的3个名额要分配给乙、丙两班，有2种分配方法，

所以甲班恰好分配到两个名额的概率为

故答案为：

 
【分析】根据题意首先求出总的事件个数再由题意求出根本领件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即可。

15.【解析】【解答】如图，

设 的中点为 ，过点 作平面 的法线 ，

过 的重心 作平面 的法线 ，

与 交于点 ，那么 为三棱锥 的外接球的球心.

又 ， ，所以 .

又 ，所以 ，

故外接球的半径为 ，所以球的外表积为8π.

故答案为：8π.

 
【分析】根据题意作出图形，判断几何体的外接球的球心的位置，求解外接球的半径，然后求解球的外表积.

16.【解析】【解答】只要写出符合条件的函数即可，如 ，

该函数的最小正周期是4.

故答案为： ；4．〔答不唯一〕．

 
【分析】根据题意由偶函数的性质以及得出该函数为余弦函数，再由余弦函数的性质即可得出函数的周期值。

四、解答题

17.【解析】【分析】(1)根据题意由正弦定理整理求出再由诱导公式以及两角和的余弦公式整理计算出答案即可。
(2) 由〔1〕 的结论再由余弦定理代入数值计算出结果即可。

18.【解析】【分析】(1)首先由的数列的递推公式整理即可得到由此即可得出数列是等比数列，结合等比数列的通项公式代入数值计算出答案即可。
(2)由(1)的结论整理即可得到数列的通项公式，再由错位相减法计算出结果即可。

19.【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线结合中点的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2) 根据题意建立适宜的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

20.【解析】【分析】(1)根据题意把实际问题转化为数学问题，结合条件即可得出函数的解析式。
(2)由条件即可得出X2的分布列，结合分布列中的数据结合期望公式计算出答案即可。

21.【解析】【分析】(1)根据题意由直线的斜率公式以及抛物线的定义整理即可得出答案。
(2)根据题意设出点的坐标再由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，结合斜率的公式以及抛物线的定义即可得证出结论。

22.【解析】【分析】 (1)首先求出函数的导数，通过讨论a的范围，判定导函数的符号，再求出函数的极值点的个数即可；

(2)根据得到通过证明时， 在 恒成立即可确定a的取值范围.