广东省佛山市南海区九江中学2023-2024学年高一数学上学期第一次测试试题（Word版附解析）

2023-2024九江中学高一上第一次大测数学

一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分）

1. 已知集合，，则 （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】解一元二次不等式可求出，再根据交集定义求解.

详解】由解得，所以，

所以，

故选:A.

2. 集合，集合，则=（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由一元二不等式得到M的集合，应用集合的补运算求即可.

【详解】，又，

∴，

故选：A

3. 设，则的最小值是（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】D

【解析】

【分析】根据基本不等式计算即可.

【详解】由基本不等式可知，当且仅当时取得最小值.

故选：D

4. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】直接根据特称命题的否定形式判定即可.

【详解】根据特称命题的否定形式可知：命题“，”的否定是“，”.

故选：C

5. 设，则“”是“”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

详解】若，则，故不充分；若，则，而，故不必要，故选D.

考点：本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.

6. 一元二次不等式的解集为的充要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据一元二次不等式解集，结合对应二次函数的性质列不等式组，即可得答案.

【详解】由的解集为空，结合对应二次函数性质有.

故选：B

7. 集合的子集个数为（    ）

A. 4 B. 6 C. 7 D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】先求出集合A，再根据集合A的元素个数即可求出集合A的子集个数.

【详解】解：∵，

∴集合A的子集个数为个，

故选：D.

【点睛】本题考查集合的子集的个数，属于基础题.

8. 已知，，且满足，则的最小值为（　　　　）

A. 7 B. 9 C. 4 D.

【答案】B

【解析】

【分析】，利用基本不等式可求得最值，注意等号成立的条件．

【详解】解：因为，，且满足，

所以≥9，

当且仅当时，等号成立．

故选B．

点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．

二、多项选择题（每题有两个或两个以上正确答案，共20分）

9. 若集合，集合，则A，B的关系不成立的是（    ）

A.  B.

C.   D. 

【答案】ABC

【解析】

【分析】将集合A、B描述化为同一形式，判断它们的包含关系，即可得答案.

【详解】由，而，

所以，故不成立的有A、B、C.

故选：ABC

10. 已知集合，，下列结论不成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据集合的基本关系与运算一一判定即可.

【详解】因为，所以A错误；

由题意可知：，所以B错误；

易知，故C错误，D正确.

故选：ABC

11. 下列关系不正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据集合定义，元素与集合关系，相等集合定义判断各项正误即可.

【详解】A：，错；

B：，集合中点的坐标不同，错；

C：（有理数集），错；

D：由恒成立，对.

故选：ABC

12. 若，，则错误的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】由已知得且，应用作差法判断大小关系，即得答案.

【详解】由题设，，且，

由，而大小不确定，，A、D错；

由，且，，故，B对，C错；

故选：ACD

三、填空题（共4题，每题5分，共40分）

13. 已知命题“”，则________________．

【答案】

【解析】

【分析】由特称命题否定为全称命题可得解.

【详解】由特称命题的否定为全称命题可知：

命题“”，则.

【点睛】本题主要考查了含有量词的命题的否定，除了需要将结论进行否定外，还需将量词进行否定，全称量词换成特称量词，特称量词换成全称量词，属于基础题.

14. “”是“”的________条件．

【答案】充要

【解析】

【分析】由充分、必要性定义，结合集合之间推出关系判断题设条件间关系.

【详解】由，则有，充分性成立；

由，则有，必要性成立；

所以“”是“”的充要条件.

故答案为：充要

15. 若关于x的一元二次不等式对于一切实数x恒成立，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意可知，函数的图象在轴上方，所以，由此即可求出结果.

【详解】由于关于x的一元二次不等式对于一切实数x恒成立，

根据函数的图象在轴上方，所以，

所以.

故答案为：.

16. 若是关于x的不等式的解，求a的取值范围为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，得到是满足不等式，代入即可求解.

【详解】由是关于x的不等式的解，

即是满足不等式，

可得，解得，

所以实数的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题（17题10分，其余12分，共70分）

17. 已知集合，，且．

（1）求的值；

（2）若，求，的值．

【答案】（1）;（2），．

【解析】

【分析】（1）根据可得，从而可得关于的方程，解方程后可得的值.

（2）根据和可得，利用韦达定理可求的值.

【详解】（1）因为，故，所以，故.

（2）因为，，故，

但为方程的解的集合，该集合中最多有两个元素，故，

所以方程的解为，

所以，故，此时，

综上，，．

【点睛】根据集合的交集的结果去确定参数的取值或取值范围，应先确定公共元素的归属，再结合各个集合的属性条件得到参数满足的方程（方程组），注意求出参数的值后要检验元素的互异性或属性条件是否满足.

18. 设集合，.

（1）若，试判断集合与的关系；

（2）若，求实数的取值集合.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接代值计算判断即可；

（2）得到，依次计算即可.

【小问1详解】

当时，，

因为，

所以.

【小问2详解】

因为集合至多有一个元素，由，所以

当时，；

当时，所以；

当时，所以.

所以.

19. 已知不等式的解集为，不等式的解集为.

（1）求；

（2）若不等式的解集为，求不等式的解集．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，分别求得集合，结合集合交集的运算，即可求解；

（2）根据题意，得到即和时方程的两根，列出方程组求得的值，结合一元二次不等式的解法，即可求解.

【小问1详解】

解：由不等式，即，解得，即，

又由，解得，即，

根据集合交集的运算，可得.

【小问2详解】

解：由题意得，不等式的解集为，

即和时方程的两个实数根，

可得，解得，

所以不等式，即为，即，

因为，所以不等式的解集为，

即不等式的解集为.

20. 如图，某小区要建一个面积为的矩形绿地，四周有小路，绿地长边外小路宽，短边外小路宽，怎样设计绿地的长与宽，使绿地和小路所占的总面积最小，并求出最小值．

【答案】设计绿地的长为，绿地和小路所占总面积最小，最小值为

【解析】

【分析】先设绿地的长为米，则宽为，则绿地与小路所占的总面积，再根据均值不等式可得出绿地和小路所占的总面积最小值.

【详解】设绿地的长为米，则宽为，则

绿地与小路所占的总面积

当且仅当即时，上式取等号，

所以，设计绿地的长为，绿地和小路所占总面积最小，最小值为.

故得解.

【点睛】本题考查运用均值不等式求解生活实际问题中的最值问题，解题的关键是设合适的未知量，将所求的量表示成该未知量的函数，再运用均值不等式求解最值，属于中档题.

21. 已知集合，，且．求实数m的取值范围并用集合表示．

【答案】

【解析】

【分析】分类讨论集合B是否为空集，结合集合的关系计算即可.

【详解】当，即时，，满足；

若，且满足，

如图所示，则，即,所以．

综上所述，m的取值范围为或，即所求集合为．

22. 建造一个容积为，深为的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价是多少元？

【答案】解：设水池池底的一边长为x m,则另一边长为 m,总造价为：

当且仅当即以时，取最小值1760

所以水池的最低总造价是1760元

【解析】

【详解】本试题主要是考查了函数模型在实际生活中的运用．根据已知条件抽象出变量表示总造价，结合均值不等式得到最值．