2024高考数学一轮总复习（导与练）第二章 第6节　对数与对数函数

第6节　对数与对数函数

 [选题明细表]

1.(2022·山西临汾二模)若xlog34=1,则4x-4-x等于(　B　)

A.    B. 

C. D.

解析:因为xlog34=1,所以log34x=1,

所以4x=3,4-x=,

所以4x-4-x=3-=.

2.已知函数y=f(x)的图象与函数y=2x的图象关于直线y=x对称,g(x)为奇函数,且当x>0时,g(x)=f(x)-x,则g(-8)等于(　C　)

A.-5 B.-6 C.5 D.6

解析:由已知,函数y=f(x)与函数y=2x互为反函数,则f(x)=log2x.由题设,当x>0时,g(x)=log2x-x,则g(8)=log28-8=3-8=-5.因为 g(x)为奇函数,所以g(-8)=-g(8)=5.

3.函数f(x)=+lg(5-3x)的定义域是(　C　)

A.[0,) B.[0,]

C.[1,) D.[1,]

解析:函数f(x)=+lg(5-3x)的定义域是,

即{x|1≤x<}.

4.(多选题)若10a=4,10b=25,则(　AC　)

A.a+b=2     B.b-a=1

C.ab>8lg22  D.b·a<lg 6

解析:因为10a=4,10b=25,所以a=lg 4,b=lg 25,所以a+b=lg 4+lg 25=

lg 100=2,所以选项A正确;b-a=lg 25-lg 4=lg <1,选项B错误;

ab=2lg 2×2lg 5=4lg 2·lg 5>4lg 2·lg 4=8lg22,所以C正确,D

错误.

5.已知a=log32,b=log43,c=,则(　A　)

A.c<a<b B.c<b<a

C.a<c<b D.a<b<c

解析:因为a=log32=log3=log3<log3=,

所以c==log3<log3=a<,

b=log43=log23>log22=>>a,

所以c<a<b.

6.(多选题)函数f(x)=loga(x+2)(0<a<1)的图象过(　BCD　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析:作出函数f(x)=loga(x+2)(0<a<1)的大致图象如图所示,则函数f(x)的图象过第二、第三、第四象限.故选BCD.

7.(多选题)下列运算错误的是(　ABC　)

A.2lo10+lo0.25=2

B.log427×log258×log95=

C.lg 2+lg 50=10

D.lo(2-)-=-

解析:对于A,2lo10+lo0.25=lo(102×0.25)=lo52=-2,A错误;

对于B,log427×log258×log95=××==,B错误;

对于C,lg 2+lg 50=lg 100=2,C错误;

对于D,lo(2-)-=-1-()2=-,D正确.故选ABC.

8.(2022·福建漳州二模)写出一个具有性质①②③的函数f(x)=

　　　　. 

①f(x)的定义域为(0,+∞);②f(x1x2)=f(x1)+f(x2);③当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0.

解析:由①②知,对数函数形式的函数满足要求,又由③知,f(x)在定义域上是减函数,故f(x)可以为-log2x.

答案:-log2x(答案不唯一)

9.已知函数y=loga(x+3)+(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A也在函数f(x)=3x-b的图象上,则b=　　　　. 

解析:对于y=loga(x+3)+,

令x+3=1,得x=-2,则y=(a>0,且a≠1),

所以函数y=loga(x+3)+(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A(-2,),

又点A也在函数f(x)=3x-b的图象上,

则=3-2-b,解得b=-.

答案:-

10.已知函数f(x)=|log2x|,当0<m<n时,f(m)=f(n),若f(x)在[m2,n]上的最大值为2,则等于(　D　)

A.2 B.     C.3  D.4

解析:如图所示,根据函数 f(x)=|log2x|的图象,得 0<m<1<n,所以0<m2<m<1.结合函数图象,易知当x=m2时,f(x)在[m2,n]上取得最大值,所以f(m2)=|log2m2|=2,

又0<m<1,所以m=,再结合f(m)=f(n),可得n=2,所以=4.

11.(多选题)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下列论述,其中正确的是(　AC　)

A.当a=0时,f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)

B.f(x)一定有最小值

C.当a=0时,f(x)的值域为R

D.若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是

{a|a≥-4}

解析:对于A,当a=0时,解不等式x2-1>0得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故A正确;对于B,C,当a=0时,f(x)=lg(x2-1),此时x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),x2-1∈(0,+∞),此时f(x)=lg(x2-1)的值域为R,故B错误,C正确;对于D,若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,此时y=x2+ax-a-1的图象的对称轴x=-≤2,解得a≥-4.但当a=-4时,f(x)=lg(x2-4x+3)在x=2处无定义,故D错误.

12.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么(　AD　)

A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac

C.=+    D.=-

解析:由题意,设4a=6b=9c=k(k>0),

则a=log4k,b=log6k,c=log9k,

对于选项A,由ab+bc=2ac,可得+=2,因为+=+=+=

log69+log64=log636=2,故A正确,B错误;

对于选项C,+=+=2logk4+logk6=logk96,

==2logk9=logk81,故 ≠+,故C错误;

对于选项D,-=-=2logk6-logk4=logk9,==logk9,故=-,故D正确.

13.已知函数f(x)=loga(2x-a)在区间[,]上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是　　　　. 

解析:当0<a<1时,函数f(x)在区间[,]上是减函数,所以loga(-a)>

0,即0<-a<1,解得<a<,故<a<1;当a>1时,函数f(x)在区间[,]上是增函数,所以loga(1-a)>0,即1-a>1,解得a<0,此时无解.综上可知,实数a的取值范围是(,1).

答案:(,1)

14.已知函数f(x)=loga(a>0,且a≠1)是奇函数,则实数m的值为　　            　　,满足不等式f()<1的实数a的取值范围是　              . 

解析:由题意>0的解集关于原点对称,因为x=2是2-x=0的根,

所以x=-2是2+mx=0的根,

所以m=1.

当m=1时,f(x)=loga的定义域为(-2,2),且满足f(-x)=-f(x),符合题意,故m=1.

由f(x)=loga,及f()<1,

可知loga=loga<1.

当a>1时,loga<0,不等式恒成立;

当0<a<1时,由loga<1,得0<a<.

综上所述,0<a<或a>1.

答案:1　{a|0<a<或a>1}

15.已知函数f(x)=ex+x-π,g(x)=x+ln x-π,若==1(a>0,且a≠1),则x1+x2=　　　　. 

解析:==1(a>0,且a≠1), 

则f(x1)=+x1-π=0,得=π-x1;

g(x2)=x2+ln x2-π=0,得ln x2=π-x2,

所以x1,x2分别为y=ex和y=ln x与y=π-x的图象交点的横坐标,如图所示.

因为y=ex和y=ln x互为反函数,所以y=ex和y=ln x的图象关于y=x对称,所以A,B两点关于y=x对称.又A,B两点均在y=π-x的图象上,所以x1=π-x2,所以x1+x2=π.

答案:π