中图版 (2019)必修2 信息系统与社会2.1.1 系统练习题

基本要求                        1.了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件。

2.掌握系统稳定性代数判据的必要条件和充要条件，学会应用代数判

据判定系统是否稳定。3.掌握Nyquist判据。  4.掌握Bode判据。

5.理解系统相对稳定性概念，能够在Nyquist图和Bode图上加以应用。

本章重点                          1.代数判剧、Nyquist判剧和Bode判剧的应用。

2. 系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度在Nyquist图和Bode图上的表示法。

本 章 难 点 Nyquist判剧及其应用。

5.1          系统稳定的定义和条件

1.几个例子

d     f c

b c

M

a

单摆 倒立摆 小球的稳定性2.系统稳定的定义

若系统零输入响应随时间的推移，逐渐衰减并趋向于零(回到平衡 位置),则称该系统是稳定的；反之，若系统的零输入响应发散，则系统是不稳定的。

3.稳定性条件

对于线性微分方程

(an p

   an 1

pn1  a

p  a0

)xo

(t) 

xi (t)

闭环传递函数为:

G  (s)    G(s)   

B 1  G(s)H (s)

est

特征方程为:

1  G(s)H (s)  0

其自由响应，即线性齐次方程的通解为: xo

n

si t t

i

i1 0

稳定的条件：

lim x (t)  0

t 

系统稳定的充要条件：若系统的全部特征根（传递函数的全部极点） 全部具有负实部（位于[s]左半平面），则系统稳定。

5.2                   稳定性的代数判据

5.2.1        胡尔维茨(Hurwitz)稳定判据

1、系统的特征方程:1 G(s)H (s)  ans

   an-1

sn-1 a s  a  0

2、系统稳定的充要条件：

⊿1 ⊿2 ⊿3

(1)特征方程的各项系数均为正。

a n 1

a n  3

a n  5

... 0

ai ＞0 (i=0,1,2,…n)      (2)各项系数组成的胡尔维茨n阶行列

式中各阶子行列式都大于零。

n n  2 a n  4

n 1 n  3

0 a a

... 0

... 0

... 0

⊿i >0 (i=0,1,2,…n)

n

n 0 0

n  2

0

3、特例：

    0

n  2: a2

  0,a1

  0,a0

  0;

a 0 0

2  a a 0

... a 0

... a

n  3: a

  0,a

  0,a

  0,a

  0,a a

-a a

0; 脚 脚 0

3 2 1 0

2  1 3   0 标 标

n  4: a

 0,a  0,a  0,a  0,a

  0,a a a  -a a 2 -a 2a   0; 递 递

4 3 2 1 0

3   2  1 4  1 3 0 增 减

5.2.2        劳斯(Routh)稳定判据

1、系统的特征方程: 1 G(s)H (s)  a

sn  a

sn-1 a s  a  0

2、劳斯表：

sn

sn-1

n

 b1 



n-1

an1an2 anan3

an1

1

c1 

0

b1an3 an1b2 b1

sn-2

 b2

 an1an4 anan5

a

c  b1an5 an1b3

2 b

sn-3 c c

 a a

n1 1

1 2

  

b3 

n1

n6 anan7

an1

c  b1an7 an1b4

b1

s d1 

s e1

3、系统稳定的必要条件：

各项系数均为正，ai>0 (i=0,1,2,…n)。

4、劳斯稳定判据的充要条件是：

特征方程系数所组成的劳斯阵列第一列元素符号一致，则系统 稳定。否则系统不稳定。

第一列元素符号改变次数就是特征方程中所包含的右根数目。

例 设单位反馈控制系统的开环传递函数为试判断系统稳定时K的范围。

G(s) 

K

s(s 1)(s  2)

解：其单位反馈系统的闭环传递函数为:

Xo (s) 

G(s)  K

特征方程式为: 劳斯阵列为:

s3  3s2

s3 1

s2 3

   2s  K

2

K

Xi (s)

1 G(s)

s3  3s2  2s  K

s1 6  K

3

s0 K

K  0

由劳斯稳定条件得:



 6  K  0

0  K  6

 3

5.3                   稳定性的几何判据

5.3.1        Nyquist稳定判据

1.特征方程与开环、闭环传递函数的零点和极点的关系

开环传递函数

GK (s)  G(s)H (s)

   G(s)  

Xi ( s)

 ( s)

Xo ( s)

闭环传递函数

GB (s) 

1 G(s)H (s)

特征方程为 F (s)  1 G(s)H (s)  0

特征函数 F(s)的极点  开环 Gk(s)的极点。特征函数F(s)的零点              闭环 GB(s)的极点。

系统稳定的充要条件：GB (s)全部极点均须具有负实部，等价于F(s) 函数的全部零点均须具有负实部。

2.幅角原理

当ω从－∞→＋∞变化时，特征函数F(jω)的轨迹将绕原点O转N=P-Z圈。因GK(jω)=F(jω)-1，故GK(jω)的Nyquist曲线围绕(-1， j0)点的圈数为 N= P–Z。

(1)P:开环右极点数。(2)Z:闭环右极点数。(3)N>0:逆时针包围。N<0:顺时针包围。

N=0:逆时针和顺时针包围圈数相等、或表示不包围(-1，j0)点、或表

示通过(-1，j0)点。

F ( j)与 GK ( j)的关系

3. Nyquist稳定判据

当ω从0到＋∞变化时，GK(jω)的Nyquist轨迹逆时针包围(-1， j0)点的圈数N等于GK(jω)的右极点数的一半（P/2）时,则闭环系统 稳定，否则闭环系统不稳定。

N=P/2

(1)       P:开环右极点数；N>0:逆时针包围；N<0:顺时针包围；N=0:逆时针和顺时针包围圈数相等、或表示不包围(-1，j0)点、或表示通过(-1，j0)点。N=1/2: Nyquist图曲线始于(-1，j0)点左侧的实轴上，N=-1/2: Nyquist图曲线止于(-1，j0)点左侧的实轴上。

(2）当开环传递函数含有积分环节时（即有位于原点的极点） 当趋向0时奈氏曲线沿某一坐标轴趋向∞开环曲线不封闭，

可以通过作辅助曲线（圆）后再进行判别，辅助曲线是一半径为

∞的圆弧，从奈氏曲线的起始端开始逆时针方向绕过 ×90º和实轴相交后即可。(              系统的型次）

例 已知系统开环传递函数为：G(s)H (s) 

1

s(2s 1)(3s 1) Im

试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。

解：根据开环传递函数可绘制出其频率特性的奈奎斯特图如图所示。曲线包围了点(-1， j0)一圈N=-1（注意图中虚线）。由G(s)H(s) 表达式知， P=0，开环稳定，根据奈氏判据，N≠p/2,该系统闭环不稳定。

(1.2, j0)

(1, j0)

  0

 

  0

Re

(3）对于比较复杂的系统，不容易直接看出包围的圈数时，可采用“穿越”的概念，所谓“穿越”是指奈氏开环曲线穿过(-1，j0) 点左侧的实轴。穿越次数即为包围点(-1，j0) 的圈数，正穿越时包围圈数为正，负穿越则包围圈数为负。

正穿越:由上向下穿越为正穿越(相角增加)。

负穿越:由下向上穿越为负穿越(相角减少)。若曲线始于(-1，j0)点左侧的实轴上，穿越次数为1/2。若曲线止于(-1，j0)点左侧的实轴上，穿越次数为-1/2。

a点、b点:正穿越， c点:负穿越，

N=2-1=1=p/2，

闭环系统稳定。

5.3.2        Bode图稳定判据

1. Nyquist图与Bode图的关系

开环Bode图与开环极坐标图有如下对应关系:

(1)极坐标图上的单位圆相当于Bode图上的0分贝线，即对数幅频特性

图的横轴。

GK ( jc )

 1,20 lg GK ( jc )

 0dB

(2)极坐标图上的负实轴相当于Bode图上的-180o线，即对数相频特性

图的横轴。

GK ( j g )  180

-90

-18

正穿越：相频特性由下而上穿过－180o 线，图中b点(相角增加)。

负穿越∶相频特性由上而下穿过－1800 线，图中a点(相角减少)。

正半次穿越:对数相频特性曲线始于－180o 向上。

负半次穿越:对数相频特性曲线始于－180o 向下。

0

 ( )

0

 

-900

-1800

-2700





GH

正半次穿越



负半次穿越

5.4          系统的相对稳定性

相对稳定性：开环频率特性G(jω)H(jω)在GH平面上与（-1，j0）点  的靠近程度来表征闭环系统的稳定程度，用幅值裕量和相位裕量来进行定量计算。

1.相位裕量

幅值交界频率c

：开环频率特性的幅值

等于1时的频率，即 G( j )H ( j )  1

。也称为

幅值穿越频率、开环剪切频率。

相位裕量 ：在系统的幅值交界频率  c

处，使闭环系统达到临界稳定状态所需附

加的相移（超前或迟后）量。

   ( )  (180 )  ( )  180

-180

2. 幅值裕量Kg

相位交界频

o

g ：开环频率特性的相位

等于-180 时的频率，即∠G(jω)H(jω)=

-180o ,也称为相位穿越频率。

幅值裕量Kg：在相位交界频率g 处开环频率特性幅值的倒数。

kg 

或 kg

(dB) 

20 lg 1

0dB

 20 lg G(

j )H (

j )

-1800

3. 相位裕量和幅值裕量在奈氏图、Bode图中的表示

1

   0 

0dB

-180

   0

0dB

c

Kg (dB)

 

g

 0 

-1800

 0

4.相位裕度和幅值裕度的特点

（1）对于最小相位系统，必须同时具有正幅值裕度和正相位裕度，闭  环系统稳定。

（2）工程控制实践中，为使系统有满意的稳定性储备，一般希望

  300 ~ 600

Kg (dB)  6dB