数列-浙江省杭州市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

数列-浙江省杭州市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

一、单选题

1．（2023·浙江杭州·统考二模）在数列中，“数列是等比数列”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知数列的前项和为，首项，且满足，则的值为（    ）

A．4093 B．4094 C．4095 D．4096

3．（2022·浙江杭州·统考二模）设等差数列的前n项和为，若，则（　　）

A．12 B．15 C．18 D．21

4．（2021·浙江杭州·统考二模）已知数列满足，设数列的前项和为，若，，则(    )

A．1008 B．1009 C．2016 D．2018

二、填空题

5．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知公差为且各项均为正数的等差数列的前项和为，且，则的最小值为__________.

三、解答题

6．（2023·浙江杭州·统考二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．

现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．

假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．

当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：

(1)请直接写出与的数值．

(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．

(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．

7．（2023·浙江杭州·统考一模）已知数列的前项和为，且．

(1)求及数列的通项公式；

(2)在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和．

8．（2023·浙江杭州·统考二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，，求数列的前n项和．

9．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知数列满足，记，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的正项等比数列，若数列中的第项是数列中的第项.

(1)求数列及的通项公式.

(2)求数列的前项和.

10．（2022·浙江杭州·统考二模）已知数列满足，.

(1)若且.

（ⅰ）当成等差数列时，求k的值；

（ⅱ）当且，时，求及的通项公式.

(2)若，，，.设是的前n项之和，求的最大值.

11．（2021·浙江杭州·统考二模）已知数列，，满足，，，，成等差数列．

（1）证明：是等比数列；

（2）数列满足，记数列的前项和为，求．

参考答案：

1．A

【分析】利用等比数列的性质及充分不必要条件的定义即可判断，

【详解】数列是等比数列，得，

若数列中，则数列不一定是等比数列，如数列，

所以反之不成立，则“数列是等比数列”是“”的充分不必要条件．

故选：A.

2．A

【详解】由递推公式确定通项公式，再求即可.

【解答】，故，又，

所以是首项为，公比为的等比数列，所以，

则

故选：A

3．C

【分析】利用等差中项的性质以及通项公式计算即可.

【详解】由等差中项的性质得 ， ，即 ，

，

故选：C.

4．B

【分析】根据已知递推式得出以，，则，由此根据已知条件求出，由此即可求解．

【详解】∵，，

∴，则，∴，，

则，可知，，，

∴，

∵，∴，

∴，

∵，则，

∴，

∵，

∴，，

∵，∴，

故选：B．

5．9

【分析】先根据得到，再借助基本不等式求的最小值.

【详解】因为，则，化简得，

因为数列的各项均为正数，则，

则

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为9.

故答案为：9.

6．(1)，

(2)证明见解析；

(3)时，，当时，，统计含义见解析

【分析】（1）明确和的含义，即可得答案；

（2）由全概率公式可得，整理为，即可证明结论；

（3）由（2）结论可得，即可求得，时，的数值，结合概率的变化趋势，即可得统计含义.

【详解】（1）当时，赌徒已经输光了，因此.

当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率.

（2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元上一场赢的事件,

,

即，

所以，

所以是一个等差数列，

设，则，

累加得，故，得，

（3），由得,即,

当时，，

当时，，

当时，，因此可知久赌无赢家，

即便是一个这样看似公平的游戏，

只要赌徒一直玩下去就会的概率输光．

【点睛】关键点睛：此题很新颖，题目的背景设置的虽然较为陌生复杂，但解答并不困难，该题将概率和数列知识综合到了一起，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清楚题意，明确，即可求解,

7．(1)，，

(2)

【分析】（1）先将代入题干表达式计算出，再将代入题干表达式即可计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可发现数列是以为首项，为公比的等比数列，从而计算出数列的通项公式；

（2）先根据第题的结果写出与的表达式，再根据题意可得，通过计算出的表达式即可计算出数列的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出前项和．

【详解】（1）解：由题意，当时，，解得，

当时，，

即，解得，

当时，由，

可得，

两式相减，可得，

整理，得，

数列是以为首项，为公比的等比数列，

，．

（2）由（1）可得，，，

在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，

则有，

，

，

，

，

两式相减，

可得

，

．

8．(1)，

(2)

【分析】（1）根据等差数列性质设出公差和首项，代入题中式子求解即可；

（2）列出通项公式，根据通项求出的前n项和，再根据通项求出的前2n项和，两式相减解得的通项公式，最后分组求和求出数列的前n项和.

【详解】（1），设公差为d，首项为

，因为公差不为0，所以解得，

，数列的通项公式为，.

（2）

    ①

    ②

得，解得

9．(1)，

(2)

【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义即可得到数列的通项公式，从而得到数列的通项公式；

（2）由（1）中的结论表示出，再结合错位相减法计算即可得到结果.

【详解】（1）因为，所以，因为，

所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列，

所以.所以.由题意知.所以，即，

又，则.

所以.又，则，则.

（2）

，①

，②

①-②得，

.

所以.

10．(1)（ⅰ），（ⅰⅰ），；

(2).

【分析】（1）根据等差数列的定义以及等差中项的性质即可求的值；由题可得是首项为，公比为2的等比数列，进而可得数列的通项，再利用累乘法即可求的通项公式；

（2）利用分组求和可得，结合，，求出利用基本不等式求最大值，即可求出的最大值.

（1）

（ⅰ）因为成等差数列，

所以，

所以，又

所以；

（ⅱ）因为，

所以，，

所以，所以，

因为，又由，

所以是首项为，公比为2的等比数列，

所以，

所以，

∴所以；

（2）

由可得，

所以，

因为，所以，即，

因为，，，

所以即，

，

因为，，

所以，因为，所以，

所以，可得，

所以，

令，设，

，对称轴为，是开口向上的抛物线，在单调递增，

所以时取得最大值，

故最大值为，

所以最大值为.

【点睛】方法点睛：数列求和的方法

（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法

（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；

（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；

（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；

（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.

11．（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）由已知得，根据等差中项的性质有，由等比数列的定义即可证是等比数列；

（2）由（1）得，写出通项，根据裂项相消法求.

【详解】（1）证明：由数列，，满足，，

∴，由，，成等差数列，则有，整理得（常数），

∴数列：以为首项，公比为2的等比数列．

（2）由（1）知：，

∴，

∴．