数列-广东省深圳市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

数列-广东省深圳市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

一、单选题

1．（2023·广东深圳·统考二模）设等差数列的前n项和为，若，，则（    ）

A．0 B． C． D．

2．（2023·广东深圳·统考一模）将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·广东深圳·统考二模）在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长为的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有个正三角形），其中最小的正三角形面积为（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·广东深圳·统考一模）在数列中，，，若，则（    ）

A．10 B．9 C．8 D．7

二、填空题

5．（2022·广东深圳·统考一模）已知等差数列的前n项和为，且，，则数列的公差_________．

三、解答题

6．（2023·广东深圳·统考二模）已知数列满足，，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)证明:数列中的任意三项均不能构成等差数列.

7．（2023·广东深圳·统考一模）记，为数列的前n项和，已知，．

(1)求，并证明是等差数列；

(2)求．

8．（2022·广东深圳·统考二模）已知数列的前n项和．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求满足条件的最大整数n．

9．（2022·广东深圳·统考一模）已知数列的首项，且满足．

(1)证明：是等比数列；

(2)求数列的前n项和．

10．（2021·广东深圳·统考二模）在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并作出解答．

问题：已知数列的前项和，等比数列的前项和为，，且 ，判断是否存在唯一的，使得，且．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

11．（2021·广东深圳·统考一模）设数列的前n项和，满足，且.

（1）证明：数列为等差数列；

（2）求的通项公式.

参考答案：

1．C

【分析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出．

【详解】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，

，

，解得．

故选：C.

2．A

【分析】根据题意可知，每一次操作之后面积是上一次面积的，按照等比数列即可求得结果.

【详解】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的，

所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的，

由此可得，第次操作之后所得图形的面积是，

即经过4次操作之后所得图形的面积是.

故选：A

3．A

【分析】记第个正三角形的边长为，第个正三角形的边长为，根据与的关系判断出为等比数列，由此求解出最小的正三角形的边长，从而面积可求.

【详解】设第个正三角形的边长为，则个正三角形的边长为，

由条件可知：，

又由图形可知：，所以，

所以，所以是首项为，公比为的等比数列，

所以，所以，所以，

所以最小的正三角形的面积为：，

故选：A.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将已知问题转化为等比数列问题，通过每一次的迭代分析正三角形的边长之间的关系，从而分析得到正三角形的边长成等比数列，据此可进行相关计算.

4．B

【分析】令，由可得，可得是等差数列，利用等差数列求和公式即可求解.

【详解】令，由可得，

所以，

所以是首项为，公差为的等差数列，

，

所以，

整理可得：，

解得：或（舍）

故选：B.

5．2

【分析】根据题意可得，直接利用等差数列前n项和公式计算即可.

【详解】由题意知，，

，

解得.

故答案为：

6．(1)

(2)证明见解析

【分析】(1) 由 得,分奇偶项分别求通项，最后写出通项公式；

(2) 假设数列中存在三项数列 (其中）成等差数列，应用反证法得出矛盾证明即可.

【详解】（1）由 ，得

以上两式相比，得,

由，得,

所以，数列是首项为3，公比4为的等比数列，,

数列是首项为6，公比为4的等比数列，,

综上，数列的通项公式为 .

（2）假设数列中存在三项数列 (其中）成等差数列，则 .

由（1）得，即,两边同时除以，得(*)

(*）式左边为奇数，右边为偶数

(*）等式不成立，假设不成立.

所以，数列中得任意三项均不能构成等差数列．

7．(1)，证明见解析

(2)

【分析】（1）利用与前n项和的关系，由可得的值，即可求得的值；根据相减法求得为常数，证明其为等差数列；

（2）由（1）中数列为等差数列，对进行奇偶讨论，即可求得.

【详解】（1）解：已知，

当时，，；当时，，，所以．

因为①，所以②．

②－①得，，整理得，，

所以（常数），，

所以是首项为6，公差为4的等差数列．

（2）解：由（1）知，，，．

当n为偶数时，；

当n为奇数时，．

综上所述，.

8．(1)

(2)5

【分析】（1）由与关系化简，再由等比数列通项公式求解

（2）由等比数列前项和公式求和后解不等式

（1）

①时，，得，

①时，，得，

故是首项为3，公比为2的等比数列，

（2）

由（1）得，故

整理得，即，而，

故的最大值为

9．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）将已知条件转化为，由此证得数列是等比数列.

（2）利用分组求和法求得.

（1）

由，得，

又，故，

故，

所以，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列．

（2）

由（1）可知，所以，      

所以．

10．①；不存在，理由见解析；（②；存在，，理由见解析；或③；不存在，理由见解析；均可）

【分析】选择三个条件中的一个，由求得，配合条件求得等比数列的通项公式，根据单调性判断是否满足题设条件即可.

【详解】若选择条件①，由题知，，

当时，，满足条件，则，

，故，，

则数列是以16为首项，为公比的等比数列，，

易知单增，，故不存在唯一的，使得，且．

若选择条件②，由题知，，

当时，，满足条件，则，

，数列是以16为首项，为公比的等比数列，，

易知单减，，，故存在唯一的，使得，且．

若选择条件③，由题知，，

当时，，满足条件，则，，

设等比数列的公比为q，则，

，解得，，

当时，，

又，

则存在或3，使得，且，即不存在唯一的，使得，且．

【点睛】关键点点睛：求得数列的通项，根据选择的条件求得数列的通项，从而利用单调性判断数列是否满足题设条件.

11．（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）将两边同时取倒数在整理，根据等差数列的定义即可证明；

（2）由（1）求出，进而可得，当时，，再检验是否满足，进而可得的通项公式.

【详解】（1）由可得，

即，

所以是以为首项，以为公差的等差数列，

（2）由（1）可得，即，

当时，，

当时，所以不满足，

所以，

【点睛】方法点睛：

由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，注意检验是否满足，不满足则需要分段.