平面解析几何-浙江省杭州市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

平面解析几何-浙江省杭州市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

一、单选题

1．（2022·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，分别是双曲线的左､右焦点，过作渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的右支交于点，且，，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

2．（2022·浙江杭州·统考二模）设椭圆的左、右焦点分别为，，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点（点M在第一象限）.若，，则椭圆C的离心率e的最大值为（　　）

A． B． C． D．

3．（2021·浙江杭州·统考二模）已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ）．

A． B． C． D．

二、多选题

4．（2023·浙江杭州·统考一模）设为抛物线：的焦点，过点的直线与抛物线交于两点，过作与轴平行的直线，和过点且与垂直的直线交于点，与轴交于点，则（    ）

A．为定值

B．当直线的斜率为时，的面积为其中为坐标原点

C．若为的准线上任意一点，则直线，，的斜率成等差数列

D．点到直线的距离为

5．（2023·浙江杭州·统考二模）若直线与圆C：相交于A，B两点，则的长度可能等于（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

6．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知椭圆的右顶点为，过右焦点的直线交椭圆于两点，设，的斜率分别记为，以下各式为定值的是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

7．（2023·浙江杭州·统考一模）已知点，直线与圆：交于两点，若为等腰直角三角形，则直线的方程为 ______ 写出一条即可

8．（2023·浙江杭州·统考一模）已知椭圆：的左右焦点分别为，，若与椭圆无公共点的直线上存在一点，使得的最大值为，则椭圆离心率的取值范围是 ______．

9．（2023·浙江杭州·统考二模）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（，为焦点）上一点，点P处的切线平分．已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则______．

10．（2022·浙江杭州·统考二模）在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点A在直线上，，以为直径的圆C与直线l的另一个交点为D.若，则圆C的半径等于______.

11．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知圆，圆,定点,动点，分别在圆和圆上，满足,则线段的取值范围_______.

12．（2021·浙江杭州·统考二模）已知为抛物线的焦点，过作斜率为的直线和抛物线交于，两点，延长，交抛物线于，两点，直线的斜率为.若，则______.

四、双空题

13．（2022·浙江杭州·统考二模）双曲线的离心率为______，渐近线方程为______.

五、解答题

14．（2023·浙江杭州·统考二模）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线、的斜率分别为、，且．

①求证：直线经过定点．

②设和的面积分别为、，求的最大值．

15．（2023·浙江杭州·统考一模）已知双曲线：的离心率为，并且经过点．

(1)求双曲线的方程．

(2)若直线经过点，与双曲线右支交于、两点其中点在第一象限，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，且直线与交于点，直线与交于点，证明：双曲线在点处的切线平分线段．

16．（2022·浙江杭州·统考二模）如图，设抛物线的焦点为F，圆与y轴的正半轴的交点为A，为等边三角形.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设抛物线C上的点处的切线与圆E交于M，N两点，问在圆E上是否存在点Q，使得直线，均为抛物线C的切线，若存在，求Q点坐标；若不存在，请说明理由.

17．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．

18．（2021·浙江杭州·统考二模）如图，已知抛物线在点处的切线与椭圆相交，过点作的垂线交抛物线于另一点，直线（为直角坐标原点）与相交于点，记、，且．

（1）求的最小值；

（2）求的取值范围．

参考答案：

1．C

【分析】利用双曲线的定义建立的关系即可解得答案.

【详解】设，其中，

则焦点到渐近线的距离

又因为，所以，又，得.

则在中，有，，.

则由余弦定理得

则渐近线方程.

故选：C

2．D

【分析】依题意作图，分析图中的几何关系，应用三角函数解方程即可.

【详解】依题意作下图：

由于 ，并且线段 互相平分，∴四边形 是矩形，

其中 ， ，

设 ，则 ，根据勾股定理： ，

，整理得 ，由于点M在第一象限，

，由题意 ， ，

即 ， ，

整理得 ， ，解得 ，

即e的最大值为 ;

故选：D.

3．D

【分析】由题意有可得坐标，进而求得的中点坐标，代入双曲线方程得到参数的齐次方程，即可求离心率.

【详解】依题意知，若双曲线焦点为，，

∴，则△的高为，即，

∴，代入双曲线方程：，整理得：，

∵，

∴，整理得，得，

∵，

∴．

故选：D．

【点睛】关键点点睛：利用双曲线、等边三角形、中点的性质求点坐标，由点在双曲线上可得双曲线参数的齐次方程.

4．ACD

【分析】A.设直线的方程为，代入抛物线方程化为，利用根与系数的关系可得，结合抛物线方程可得，进而判断出正误．B.当直线的斜率为时，直线的方程为，代入椭圆方程可得：，利用根与系数的关系及抛物线的定义可得，利用点到直线的距离公式可得点到直线的距离，可得的面积，进而判断出正误．C.设，利用斜率计算公式可得，，，计算，进而判断出正误．D.过点作，垂足为，利用相似的性质可得，，进而得出，即可判断出正误．

【详解】解：A.，设直线的方程为，

联立，化为，

，，

，，

为定值，因此A正确．

B.当直线的斜率为时，直线的方程为，

代入椭圆方程可得：，

，，

点到直线的距离，

的面积为，因此B不正确．

C.设，则，，，

，

通分后分子 ，

，，

即，则直线，，的斜率成等差数列，因此C正确．

D.如图所示，

过点作，垂足为，，，

又，，，因此D正确．

故选：ACD．

5．CD

【分析】首先找到直线所过定点，根据直线所截圆的弦长公式求出弦长的取值范围，进而求出的长度可能的取值.

【详解】已知直线恒过点，圆的圆心坐标为，半径.

当直线经过圆心时，所得弦长最大，；

当直线与所在直线垂直时，所得弦长最小，，

因此可得：，故的长度可能等于4或5.

故选：CD

6．BD

【详解】易得，设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理逐项判断.

【分析】解：如图所示：

由已知得，

设直线的方程为，与椭圆方程联立得，

消去得：，

设，

所以，

，

，

则（与有关，不是定值），故选项错误.

是定值，故选项B正确.

，

（与有关，不是定值）故选项C错误.

，

（定值）故选项D正确.

故选：BD

7．（或或）

【分析】分、和讨论即可得解.

【详解】由圆：，得圆心，半径，

，在圆上，

若，可得过圆心且，

又，，

直线的方程为，即；

若，可得过圆心且，

则,可得的直线的方程为，联立圆方程，

解得或，可得的坐标为或，

根据圆的对称性易知，

直线的方程为或，

即或；

若，由的等价性可知该情况与一致；

综上：直线方程为：或或．

故答案为：（或或）.

8．

【分析】不妨设，，，，直线倾斜角为，直线倾斜角为，由，结合基本不等式可得，由已知可得，进而可求椭圆离心率的取值范围．

【详解】不妨设，，，，

设直线倾斜角为，直线倾斜角为，

则，

，

若的最大值为，则有最小值，

又，当且仅当，即时取等号，

则，即，解得，

又椭圆与直线无公共点，则，所以，

所以椭圆离心率的取值范围是．

故答案为：．

9．2

【分析】延长交延长线于点，结合题意得点为的中点，，从而得到，再结合双曲线的定义即可求解．

【详解】如图，延长交延长线于点，

因为点是的角平分线上的一点，且，

所以点为的中点，所以，

又点为的中点，且，

所以．

故答案为：2．

10．

【分析】设出点A的坐标，写出圆C的方程，联立直线l与圆C的方程求出点D的坐标，再借助垂直关系列式计算作答.

【详解】依题意，设点，则圆心，

因此，圆C的方程为，由，解得或，

于是得，，而，

则，即，而，解得，

则有点，，

所以圆C的半径等于.

故答案为：

11．

【解析】因为，可得，根据向量和可得，即，由，分别在圆和圆上点设，，求得，由，可得，即可得到，设中点为，求得的取值范围，即可求得答案.

【详解】

，

，

，分别在圆和圆上点

设，，

则，

由，

可，

即，

整理可得：，

，

设中点为，则，

，

即，

点的轨迹是以为圆心，半径等于的圆，

的取值范围是，

的范围为，

故：的范围为

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了求同心圆上两点间距离的范围问题，解题关键是掌握向量加法原理和将两点间距离问题转化为中点轨迹问题，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

12．4

【分析】设，，设过点作斜率为的直线方程为：，与抛物线联立，由韦达定理可得，设，，则，，设，所在直线方程可得，，由此可得的值.

【详解】设过点作斜率为的直线方程为：，

联立方程，消去可得：，

设，，∴，

设，，

则，同理，

设所在的直线方程为，

联立方程，消去得：，

∴，同理可得，

则.

故答案为：4.

【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.

13．         

【分析】根据双曲线的标准方程以及几何性质即可求解.

【详解】由题意可知 ，

，

渐近线方程为 或 ，即为 ；

故答案为： .

14．(1)

(2)①证明见解析；②

【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；

（2）①分析可知直线不与轴垂直，设直线的方程为，可知，设点、.将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用求出的值，即可得出直线所过定点的坐标；

②写出关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值.

【详解】（1）解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值，

且最大值为，

由题意可得，解得，

所以，椭圆的标准方程为.

（2）解：①设点、.

若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意.

设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右焦点，则，

联立可得，

，可得，

由韦达定理可得，，则，

所以，

，解得，

即直线的方程为，故直线过定点.

②由韦达定理可得，，

所以，

，

，则，

因为函数在上单调递增，故，

所以，，当且仅当时，等号成立，

因此，的最大值为.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.

15．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由已知可求，，可求双曲线的方程．

（2）设，，与双曲线联立方程，求得，的方程求得，坐标，可求得中点的坐标，点处的切线经过线段的中点即可．

【详解】（1）依题意，离心率，，

解得，，

双曲线的方程为．

（2）证明：设，，则，，

直线为，代入双曲线方程得．

则且，

，

，

，

，

直线的方程为，

令，得，

，直线为，

令，得：，即，

设线段的中点坐标为，

则，，

过点的切线方程为：，

要证双曲线在点处的切线平分线段，

即证点处的切线经过线段的中点，

，

点处的切线过线段的中点，即点处的切线平分线段．

16．(1)

(2)存在圆上一点，满足，均为抛物线C的切线，理由见解析

【分析】（1）由等边三角形及抛物线的几何性质，得，即可求出抛物线方程；

（2）先求出点坐标及切线，记，

设，，过点M，N作抛物线C的两条切线（异于直线）交于点Q，

并设切线，，

设过点M的直线与抛物线C相切，则切线有两条，对应，

通过联立该直线与抛物线的方程，消得到方程，即可利用韦达定理得到，同理可得，

则可联立，，消y得，，

将、代入，可得，

，的值可由联立与圆方程，通过韦达定理求得，故求出定点Q，最后把Q代入圆方程验证即可

【详解】（1）由题，易知点，又为等边三角形，所以，所以，所以抛物线.

（2）

设，，过点M，N作抛物线C的两条切线（异于直线）交于点Q，并设切线，，

当，代入抛物线可得，即，

设过抛物线C上点的切线方程为，与抛物线联立消去得：，由解得，

故该切线方程为，即，记，

设过点M的直线与抛物线C相切，代入抛物线方程，得，

，即，

由韦达定理得，，

所以，故，同理可得，，

所以切线，，

联立两式消去y可得，，①

代入可得，代入得，②

联立与圆E可得，，

所以，.

分别代入①、②可得，，

，即切线，的交点Q在圆E上，

所以存在圆上一点，满足，均为抛物线C的切线.

【点睛】直线与曲线相切，通常联立方程，利用即可求解；

当切线有两条时，的方程会有两个解，此时可利用韦达定理进一步分析求解。

17．(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）

(2)证明过程见解析

【详解】分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，．再由，得，．利用直线PA，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简可得结论.

详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），

所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．

由题意可知直线l的斜率存在且不为0，

设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．

由得．

依题意，解得k<0或0<k<1．

又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．

所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

由（I）知，．

直线PA的方程为．

令x=0，得点M的纵坐标为．

同理得点N的纵坐标为．

由，得，．

所以．

所以为定值．

点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.

18．（1）；（2）．

【分析】（1）利用导数求出抛物线在点处的切线方程，将切线方程与椭圆方程联立，由求出的取值范围，求出直线的方程，并将直线的方程与抛物线的方程联立，由韦达定理得出，再利用基本不等式可求得的最小值；

（2）记点、到直线的距离分别为、，求出、，可得出，结合的取值范围可求得的取值范围.

【详解】（1）对函数求导得，所以抛物线在点处的切线方程为，即，

联立，得，

所以，解得，

所以直线的方程为，

联立，得，所以，

所以，当且仅当时取等号，

所以的最小值为；

（2）记点、到直线的距离分别为、，

所以，，

所以，

因为，所以，

所以，所以的取值范围为．

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法

（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．

（2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围．

（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围．

（4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．