三角函数与解三角形-浙江省杭州市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

三角函数与解三角形-浙江省杭州市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

一、单选题

1．（2023·浙江杭州·统考一模）国际数学家大会已经有了一百多年历史，每届大会都是吸引当时世界上研究各类数学和相关问题的世界顶级科学家参与世纪的第一次国际数学家大会在我国北京举行，有来自多个国家的多位数学家参加了本次大会这次大会的“风车”会标取材于我国古代数学著作《勾股圆设方图》，该弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为，且大正方形与小正方形面积之比为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

2．（2023·浙江杭州·统考一模）已知函数，若在区间上有且仅有个零点和条对称轴，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．（2023·浙江杭州·统考二模）已知满足，且在上单调，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

4．（2022·浙江杭州·模拟预测）在中，则的值为（    ）

A． B． C． D．

5．（2022·浙江杭州·统考二模）若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

6．（2022·浙江杭州·统考二模）函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

7．（2021·浙江杭州·统考二模）如图，长方形中，，，点在线段（端点除外）上，现将沿折起为．设，二面角的大小为，若，则四棱锥体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

8．（2023·浙江杭州·统考二模）已知，，则______．

9．（2022·浙江杭州·统考二模）在中，，点D在边上，.若，则______.

三、双空题

10．（2021·浙江杭州·统考二模）设，，分别为的内角，，的对边，．若，，则______，的面积＝______．

四、解答题

11．（2023·浙江杭州·统考一模）已知中角 、、所对的边分别为、、，且满足，．

(1)求角A；

(2)若，边上中线，求的面积．

12．（2023·浙江杭州·统考二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求角B的大小；

(2)若，且AC边上的高为，求的周长．

13．（2022·浙江杭州·模拟预测）的内角的对边分别为,已知,

(1)若为边上一点,,且,求;

(2)若为平面上一点,,其中,求的最小值.

14．（2022·浙江杭州·统考二模）已知函数.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)求使成立的实数x的取值集合.

15．（2021·浙江杭州·统考二模）已知函数.

（1）求的单调递增区间；

（2）若，，求的值.

参考答案：

1．C

【分析】设直角三角形较短的直角边长为，则较长的直角边长为，求出小正方形的边长为，大正方形的边长为，结合题意可得，联立，求解即可得出答案

【详解】解：设直角三角形较短的直角边长为，则较长的直角边长为，

小正方形的边长为，大正方形的边长为，

大正方形与小正方形面积之比为，

所以，，则，①

因为，则，②

又因为，③

由①②③可得.

故选：C.

2．D

【分析】首先把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的性质的应用即可求出的取值范围．

【详解】函数 ，

令，由，则，

又函数在区间上有且仅有个零点和条对称轴，

即在区间上有且仅有个零点和条对称轴，

作出的图象如下，

所以，得．

故选：D．

3．B

【分析】通过对称轴与对称点得出的式子，再通过单调得出的范围，即可得出答案.

【详解】满足，，

，即，

，

在上单调，

，即，

当时最大，最大值为，

故选：B.

4．B

【详解】先利用两角差的正弦公式将原式变形，再利用正弦定理化角为边，代入后即可得答案.

【解答】解：因为，，，

则

故选：B.

5．D

【分析】由三角函数的诱导公式将，再运用三角恒等变换公式求解.

【详解】依题意，，，

则，即，

故，则

故选：D.

6．D

【解析】确定函数图象关于直线对称，排除AC，再结合特殊的函数值的正负或函数零点个数排除B，得出正确结论．

【详解】函数定义域是，由于的图象关于直线对称，的图象也关于直线对称，因此的图象关于直线对称，排除AC，

有无数个零点，因此也有无数个零点，且当时，，排除B．

故选：D．

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

7．A

【分析】将棱锥的底面边长及高用含有的三角函数来表示，根据体积公式写出棱锥体积，整理化简后利用三角函数求最值.

【详解】设过与垂直的线段长为，

则，，，，

则四棱锥的高，

则

，，

∴四棱锥体积的最大值为.

故选：A.

【点睛】求解立体几何体积的最值时，一般需要将体积写为函数关系式或者是三角函数关系式，进而利用函数求最值或三角函数求最值的方法求解其最值.

8．0

【分析】将平方，结合可得，

利用二倍角余弦公式将化简求值，可得答案.

【详解】将平方得，

结合可得，即，

则

，

故答案为：0

9．

【分析】根据题目所给的条件作图，利用正弦定理以及勾股定理即可.

【详解】

依题意作上图，设DC=x，则BD=3x，设AC=y，

根据勾股定理有： ， ，

由正弦定理： ，  ，

在 中， ， ，

解得 ， ；

故答案为： .

10．         

【分析】首先利用正弦定理对进行化简整理可得，之后利用余弦定理可得，可得；再利用及与可得，所以可得，最后利用三角形面积公式可得的面积.

【详解】因为，

整理得，

由余弦定理得，

因为为三角形内角，所以；

由且，得，

解得或（舍），

所以的面积.

故答案为：；.

11．(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，以及三角恒等变换，即可求解；

（2）根据已知条件，推得，两边同时平方，求出，再结合三角形的面积公式，即可求解．

【详解】（1） ，

所以由正弦定理得，

，

，即，

，，

，；

（2），

 则， 即，

而，边上中线，

故，解得，

．

12．(1)

(2)15

【分析】（1）利用三角形内角和及诱导公式得到，再利用余弦的倍角公式得到，解得，从而得到；

（2）由比例引入常数，利用三角形面积相等得到，从而利用余弦定理得到关于的方程，解之即可得到，由此得解.

【详解】（1）因为，

所以由得，

所以，解得或，

因为，所以，则，故，

则，故．

（2）因为，令，则，

由三角形面积公式可得，则，故，

由余弦定理可得，则，解得，

从而，，，故的周长为．

13．(1)

(2)

【分析】(1)先根据正弦定理求出角的值,再利用求出的值,由正弦定理可得即可求解;

(2)根据已知条件可以求出的值,,再把用表示,从而表示为关于的二次函数求解最小值即可.

【详解】（1）由可得,

即,

,,

,.

,

即,

则,

,,

在中,由正弦定理可得,

即,

解得.

（2）,

即,

则,

,

(*),

根据已知条件,

,

代入(*)式得:,

当时,取得最小值为.

14．(1)，

(2)

【分析】（1）由两角差的正弦和余弦公式及降幂公式化简函数解析式为，解不等式，即可得答案；

（2）利用正弦函数的图象与性质求解不等式即可得答案.

【详解】（1）解：因为

，

由，，解得，，

所以的单调递增区间为，；

（2）解：由（1）知，

由，得，

所以，，

所以，，

所以x的取值集合为.

15．（1）；（2）.

【解析】（1）先把化为“一角一名一次”结构，利用“同增异减”讨论单调区间；

（2）由，得到，利用两角差公式求的值.

【详解】解：（1），

令，

解得.

所以的单调增区间为.

（2），令，则，

所以，，

则

.

【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：

(1)角的范围的判断；

(2)根据条件进行合理的拆角，如等．