2023年广东省深圳市福田区中考数学二模试卷（含答案）

2023年广东省深圳市福田区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，数轴上点表示的数的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，是由相同大小的五个小正方体组成的立体模型，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  位于深圳市光明中心区科学公园的深圳科技馆占地面积为用科学记数法可以表示成(    )

A.  B.  C.  D.

4.  不等式组的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  观察下列尺规作图痕迹，其中所作线段为的角平分线的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  为响应“双减”政策，进一步落实“立德树人、五育并举”的思想主张，深圳某学校积极推进学生综合素质评价改革，小芳在本学期德、智、体、美、劳的评价得分如图所示，其各项的得分分别为，，，，，则该同学这五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为(    )

A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，

8.  小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内，若点，，三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  我国古代数学经典著作九章算术中有这样一题，原文是：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，点在斜边上，以为直径的经过边上的点，连接，且平分若的半径为，，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：______．

12.  一个不透明的袋子中只装有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，现从袋子中随机摸出一个球，则摸出的球恰好是红球的概率为______ ．

13.  某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路与的夹角城市规划部门想新修一条道路，要求，则的度数为______ ．

14.  如图，在平面直角坐标系中，将菱形向右平移一定距离后，顶点，恰好均落在反比例函数的图象上，其中点，，且轴，则 ______ ．

15.  如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点，分别在边，上，且，连接交于，若，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
“读书让生活更加多彩，阅读让城市更有温度”近年来，作为深圳中心城区和“首善之区”的福田各学校积极打造“阅读永恒、书香满溢”的爱阅之校为了解今年福田区名初三学生的每天平均课外阅读时间，从中随机抽取若干名学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中所给的信息，解答下列问题：

表中的 ______ ， ______ ；
补全频数分布直方图；
结合调查信息，请你估计今年该区初三学生中，每天课外阅读小于小时的学生约有多少人？

19.  本小题分
为迎接“五一”国际劳动节，某市政府准备购买紫花风和洋红风两种观花树苗，用来美化某大道沿路两侧景观，在购买时发现，紫花风树苗的单价比洋红风树苗的单价高了，用元购买紫花风树苗的棵数比用元购买洋红风树苗的棵数少棵．
问紫花风、洋红风两种树苗的单价各是多少元？
现需要购买紫花风、洋红风两种树苗共棵，且购买的总费用不超过元，求至少需要购买多少棵洋红风树苗？

20.  本小题分
如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点
求该抛物线的表达式；
点是线段的中点，连结并延长与抛物线交于点，求点的坐标．

21.  本小题分
【综合与实践】我国海域的岛屿资源相当丰富，总面积达多平方公里，有人居住的岛屿达个位于北部湾的某小岛，外形酷似橄榄球，如图所示．
如图所示，现把海岸线近似看作直线，小岛面对海岸线一侧的外缘近似看作，经测量，的长可近似为海里，它所对的圆心角的大小可近似为注：在上的正投影为图中线段，点在上的正投影落在线段上

求的半径；
因该岛四面环海，淡水资源缺乏，为解决岛上居民饮用淡水难的问题，拟在海岸线上，建造一个淡水补给站，向岛上居民输送淡水为节约运输成本，要求补给站到小岛外缘的距离最近即，要求补给站与上的任意一点，两点之间的距离取得最小值；
请你依据所学几何知识，在图中画出补给站位置及最短运输路线保留画图痕迹，并做必要标记与注明；不限于尺规作图，不要求证明
如图，若测得长为海里，长为海里，试求出中的最小距离．

22.  本小题分
【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的张率如图，在中，，顶角的张率记作容易知道一个角的大小与这个角的张率也是相互唯一确定的，所以，类比三角函数，我们可按上述方式定义的张率，例如，，，请根据材料，完成以下问题：
如图，是线段上的一动点不与点，重合，点，分别是线段，的中点，以，，为边分别在的同侧作等边三角形，，，连接和．

【理解应用】
若等边三角形，，的边长分别为，，，则，，三者之间的关系为______ ；
______ ；
【猜想证明】如图，连接，，猜想的值是多少，并说明理由；
【拓展延伸】如图，连接，，若，，则的周长是多少？此时的长为多少？可直接写出上述两个结果

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据图示，数轴上点表示的数是，
数轴上点表示的数的相反数是：．
故选：．
根据图示，数轴上点表示的数是，据此求出它的相反数即可．
此题主要考查了数轴的特征和应用，以及相反数的含义以及求法，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看，可得图形如下：
．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
故选：．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：对于选项，由作图痕迹可知，为的平分线，
故A选项符合题意；
对于选项，由作图痕迹可知，为中边上的高线，
故B选项不符合题意；
对于选项，由作图痕迹可知，为的中线，
故C选项不符合题意；
对于选项，由作图痕迹可知，为中边上的高线，
故D选项不符合题意．
故选：．
根据基本作图的方法对各选项进行判断即可．
本题考查作图基本作图、三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握基本作图的方法是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：该同学五项评价得分从小到大排列分别为，，，，，
出现次数最多的数是，所以众数为，
位于中间位置的数是，所以中位数是，
平均数为．
故选：．
利用众数、中位数及平均数的定义写出答案即可．
本题考查了统计的知识，掌握众数、中位数及平均数的定义是关键．
 

8.【答案】 

【解析】解；点，，三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，根据定理列出比例式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱，
；
每人出六钱，又差三钱，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
根据“今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，
平分，
，
，
，
，
，
∽，
：：，
的半径为，，
，，
：：，
．
故选：．
连接，由角平分线的性质，等腰三角形的性质的推出，得到，因此∽，得到：：代入有关数据，即可求出的长．
本题考查角平分线定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的判定和性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：从袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是，
故答案为：．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式．掌握概率所求情况数与总情况数之比是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据平行线的性质，由得到，根据等腰三角形的性质得出，再根据三角形外角性质计算的度数．
本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟记等腰三角形的性质、平行线的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，轴，
，
，，
，
，
，．
将菱形向右平移个单位长度，则平移后点和的坐标分别为、，
平移后的点，恰好同时落在反比例函数的图象上，
，
解得，
，
故答案为：．
根据点、的坐标可得点的坐标，根据平移方法可得平移后点和的坐标分别为、，根据反比例函数图象上点的坐标特点可得，解方程即可求出的值，进而求得的值．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，坐标与图形变化平移，待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握反比例函数图象上的点横纵坐标之积等于．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

四边形为边长为的正方形，
，，，
，，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
∽，
，
，
，，，
，
，
在中，，
，
．
故答案为：．
过点作于点，根据正方形的性质可得，，，再根据同角的余角相等可得，以此即可通过证明≌，得到，，进而得到，易证明∽，根据相似三角形的性质可得，即，由等腰直角三角形的性质可得，则，最后根据勾股定理即可求解．
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，正确寻找出全等三角形和相似三角形是解题关键．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

17.【答案】解：



，
当时，原式． 

【解析】先计算分式的除法，再算减法，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：样本容量为，
，，
故答案为：，；
补全图形如下：

人，
答：估计今年该区初三学生中，每天课外阅读小于小时的学生约有人．
先根据组人数及其对应频率求出样本容量，再根据频率频数样本容量求解可得、的值；
根据所求的值补全图形即可；
总人数乘以样本中、这组频率之和即可．
本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体．解题的关键是读懂统计图，能从频数分布表，扇形统计图中得到准确的信息．
 

19.【答案】解：设洋红风树苗的单价是元，则紫花风树苗的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：紫花风树苗的单价是元，洋红风树苗的单价是元；
设需要购买棵洋红风树苗，则购买棵紫花风树苗，
由题意得：，
解得：，
答：至少需要购买棵洋红风树苗． 

【解析】设洋红风树苗的单价是元，则紫花风树苗的单价是元，由题意：用元购买紫花风树苗的棵数比用元购买洋红风树苗的棵数少棵．列出分式方程，解方程即可；
设需要购买棵洋红风树苗，则购买棵紫花风树苗，由题意：购买的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

20.【答案】解：抛物线与轴交于点，与轴交于点，
，
解得，
该抛物线的表达式为；
令，则，
解得，，
，
是的中点，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得或，
 

【解析】把，坐标代入解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
令，解方程求出的坐标，再根据中点坐标公式求出的坐标，用待定系数法求出的解析式，再联立直线和抛物线解析式，解方程组求出的坐标．
本题考查抛物线与轴的交点，中点坐标公式，直线和抛物线的交点等知识，关键是求出抛物线解析式．
 

21.【答案】解：圆弧的长为海里，它所对的圆心角为，圆的半径为，
，
海里；
如图所示，图中点表示所建补给站；
简要作法：先找出圆心，作于点，交圆弧于点，则图中点即为所建补给站，线段表示最短运输路线；

如图，作于点，作于点，

，
，
，
又，
≌，
，，
海里，海里，
海里，
设线段长为海里，则线段海里，
则，
解得，或舍去，
海里，
海里，
海里，
中的最小距离为海里． 

【解析】根据弧长公式代入计算即可；
先找出圆心，作于点，交圆弧于点，则图中点即为所建补给站，线段表示最短运输路线；
作于点，作于点，利用证明≌，得，，设线段长为海里，则线段海里，利用勾股定理列方程进而解决问题．
本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，全等三角形的判定与性质，点与直线的距离，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

22.【答案】  

【解析】解：点，分别是线段，的中点，
，，
，，
，
即，
故答案为：；
由题意得，，，
，
同理，，
，
．
故答案为：，；

猜想：．
理由：如图中，连接．

点是的中点，，都是等边三角形，
，，
，
≌，
，
同理可得，，
，
；

≌，
，
同理可证：，
，
，，
，
点，分别是线段，的中点，等边三角形，，的边长分别为，，，
，，，
，，
，
．
如图中，过点作交的延长线于点．

，，
，，
在中，，
，
，
由对称性可知，，
综上所述，的值为或．
利用中点的定义，证明，可得结论；
证明，可得结论；
猜想：如图中，连接证明，可得结论；
证明，可得如图中，过点作交的延长线于点求出的值，再利用对称性解决问题即可．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．