2023年中考复习存在性问题系列 等腰三角形存在性问题专题探究

这是一份2023年中考复习存在性问题系列 等腰三角形存在性问题专题探究，共14页。试卷主要包含了几何法等内容，欢迎下载使用。

等腰三角形存在性问题是近年来各地中考的热点，其图形复杂，不确定因素较多，解题有一定的难度．因此对此类问题建立解题模型，则可以大大降低学生思维难度。
解题攻略
构造等腰三角形的一般思路
平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长为半径作圆，再作线段的垂直平分线。
动点产生的等腰三角形的一般解法，以三角形ABC为等腰三角形为例：
代数法
分类.；AB=AC，AB=BC，AC=BC；
画图；
①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B 构成以 A 为
顶点的等腰三角形
②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆， 此时，圆上的点与 A、B 构成以 B 为
顶点的等腰三角形
③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为
顶点的等腰三角形
列方程；利用两点间的距离公式表示出线段AB,BC,AC的长度.根据AB=AC，AB=BC，AC=BC分类列方程
注意：如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来
2、几何法
设未知数，表示出A,B,C三个顶点的坐标.
利用等腰三角形的性质、全等三角形和相似三角形以及三角函数表示出线段AB,BC,AC的长度.
分类列方程：AB=BC,BC=CA,AB=AC.
注意：如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．
用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之
数学思想方法：分类讨论、数形结合、转化化归和方程建模等数学思想. 有时几何法和代数法相结合使用，可以使得解题更快。
问题总结：
（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；
（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；
（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．
解决策略：
（1）（有时也可用两点间距离公式求值）
两圆一线找点
相似三角形求点
（2）｛
一、“一定两动”型
例1.在平面直角坐标系中，直线l经过点A （2，0）和点B（0，2）．点C的横坐标为，点D为线段OB的中点．
（1）求直线l的解析式；
（2）如图1，若点P为线段OA上的一个动点，当PC+PD的值最小时，求出点P坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q在线段AB上，若△DPQ是等腰三角形，请直接写出满足条件的点Q的横坐标，并写出其中一个点Q的横坐标的求解过程．
【解答】解：（1）设直线l解析式为y＝kx+b，将A （2，0），B（0，2）代入得：
，
解得，
∴直线l解析式为y＝﹣x+2；
（2）作D关于x轴的对称点D'，连接CD'交线段OA于P，如图：
∵B（0，2），点D为线段OB的中点，
∴D（0，1），
∵D关于x轴的对称点D'，
∴D'（0，﹣1），PD＝PD'，
∴PC+PD＝PC+PD'，
而C、P、D'共线，
∴此时PC+PD'最小，即PC+PD最小，
在y＝﹣x+2中，令x＝得y＝，
∴C（，），
设直线CD'解析式为y＝k'x+b'，将D'（0，﹣1）、C（，）代入得：
，
解得，
∴直线CD'解析式为y＝x﹣1，
在y＝x﹣1中，令y＝0得x＝1，
∴P（1，0）；
（3）设Q（m，﹣m+2），0≤m≤2，
又P（1，0），D（0，1），
∴QP2＝（m﹣1）2+（m﹣2）2，QD2＝m2+（﹣m+2﹣1）2＝m2+（m﹣1）2，PD2＝2，
①当PQ＝DQ时，如图：
∴（m﹣1）2+（m﹣2）2＝m2+（m﹣1）2，
解得m＝1，
∴此时Q横坐标为1；
②当PD＝PQ时，如图：
∴（m﹣1）2+（m﹣2）2＝2，
解得m＝（舍去）或m＝，
∴此时Q横坐标为；
③当PD＝QD时，如图：
∴m2+（m﹣1）2＝2，
解得m＝或m＝（舍去），
∴此时Q横坐标为；
总上所述，Q的横坐标坐标为1或或．
例2.如图，二次函数图象交x轴于A，B（4，0）两点，交y轴于点C（0，2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，PM⊥x轴于点M．交直线BC于点Q，过点C作CN⊥PM于点N．连接PC；若△PCQ为以CQ为腰的等腰三角形，求点P的横坐标；
【分析】
（1）将，的坐标代入抛物线中，即可求出抛物线解析式；
（2）将等腰三角形分两种情况进行讨论，即可分别求出的值；
解：（1）抛物线经过，，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）直线BC经过，，设直线BC的解析式为：
由题意得
解得：
直线BC的解析式为
点在抛物线在第一象限内的图象上，点的横坐标为，
，，
，
，
，
，
，
当时，，
解得，（舍去）；
当时，，
即，
，
解得，（舍去）；
综上，当是等腰三角形时，的值为，2；
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，等腰三角形的存在性等，解题关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用．
二： “两动一定”型 （两动点必有关联）
例1.抛物线与轴交于，两点，顶点为，对称轴交轴于点，点为抛物线对称轴上的一动点（点不与，重合）．过点作直线的垂线交于点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当的面积为5时，求点的坐标；
（3）当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）函数的表达式为：，即可求解；
（2）确定、的表达式，联立求得点，，，即可求解；
（3）分当、、三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）函数的表达式为：；
（2）抛物线的对称轴为，则点，
设点，
将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得：
函数的表达式为：，
，故直线表达式中的值为，
将点的坐标代入一次函数表达式，
同理可得直线的表达式为：，
解得：，
故点，，
，
解得：或，
故点或；
（3）由（2）确定的点的坐标得：
，，，
①当时，即：，解得：或舍去），
②当时，同理可得：，
③当时，同理可得：（舍去，
故点或或或
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
例2.综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点F，使≌，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，是等腰三角形．
解：（1）抛物线经过点A（－2，0），D（6，－8），
解得
抛物线的函数表达式为
，抛物线的对称轴为直线．
又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（－2，0）．
点B的坐标为（8，0）
设直线l的函数表达式为．
点D（6，－8）在直线l上，6k=－8，解得．
直线l的函数表达式为
点E为直线l和抛物线对称轴的交点．点E的横坐标为3，纵坐标为，
即点E的坐标为（3，－4）
（2）抛物线上存在点F，使≌．点F的坐标为（）或（）
（3）分两种情况：
①当时，是等腰三角形．
点E的坐标为（3，－4），
，
过点E作直线ME//PB，交y轴于点M，交x轴于点H，则，
点M的坐标为（0，－5）．
设直线ME的表达式为，
，解得，
ME的函数表达式为，
令y=0，得，解得x=15，
点H的坐标为（15，0）
又MH//PB，，即，
②当时，是等腰三角形．
当x=0时，，点C的坐标为（0，－8），
，
OE=CE，，
又因为，，，
CE//PB
设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为，
，解得，
CE的函数表达式为，令y=0，得，
，点N的坐标为（6，0）
CN//PB，
，
，解得
综上所述，当m的值为或时，是等腰三角形
例3.如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，将△ABO沿x轴正方向平移后，点A、点B的对应点分别为点D、点C，且四边形ABCD为菱形，连接AC，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、B、C三点，点P为AC上方抛物线上一动点，作PE⊥AC，垂足为E．
(1)求此抛物线的函数关系式；
(2)求线段PE长度的最大值；
(3)如图②，延长PE交x轴于点F，连接OP，若△OPF为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
（1）解：∵当x＝0时，y＝2，当y＝0时，，
∴，
∴BC＝AB4，
∴，
∴，解得，
故抛物线的表达式为：y①；
(2)
过点P作PH⊥x轴于H，交AC于点G，
设直线AC为：y＝kx+t，则，解得，
∴．
设，则，
∴，
∵，
∴∠BAO＝60°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠CAD＝30°，
∴∠PGE＝∠AGH＝60°，
∴，
∴，
∵，
∴当x＝1时，PE最大，最大值为；
(3)
①当点P在y轴右侧时，
由（2）知：∠CAD＝30°＝∠EAF，
则∠AFE＝90°﹣∠EAF＝60°，
当△OPF为等腰三角形，则△OPF为等边三角形，
设直线OP的表达式为：yx②，
联立①②并解得：，
∵点P为AC上方抛物线上一动点，即﹣2＜x＜4，
∴，
∴点P（，）；
②当点P在y轴左侧时，
∵△OPF为等腰三角形，
则OF＝PF，而∠PFA＝60°，
∴∠FOP＝∠OPFPFA＝30°，
故直线OP的表达式为yx③，
联立①③并解得（舍去正值），
∴，
∴点P（，）；
综上所述，点P的坐标为（，）或（，）．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及到的知识点包括一次函数的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质与判定、特殊角的应用等．（2）问的解题关键是构造一个直角三角形，通过“斜化直”的方法求线段最值；（3）问的解题关键是始终有，画出图形分类讨论．