河南省五市2022届高三第一次联考数学（理）试卷

这是一份河南省五市2022届高三第一次联考数学（理）试卷，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2022年河南省五市高考数学第一次联考试卷（理科）（3月份）题号一二三总分得分    一、单选题（本大题共12小题，共60分）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是A.  B. 复数的共轭复数是
C. 的实部为 D. 若集合，，则A.  B.  C.  D. 已知为锐角，，则的取值范围为A.  B.  C.  D. 符号表示大于或等于的最小整数，在如图中输入的，依次为和，则输出的结果是
A.  B.  C.  D. 在各面均为正三角形的四面体中，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为A.  B.  C.  D. 在等差数列中，，且它的前项和有最小值，则当时，的最大值为A.  B.  C.  D. 算盘是一种手动操作计算辅助工具它起源于中国，迄今已有多年的历史，是中国古代的一项重要发明，算盘有很多种类现有一种算盘如图一，共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下四珠，上拨每珠记作数字例如图二中算盘表示整数如果拨动图一算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为
A.  B.  C.  D. 函数是定义在上的单调函数，，则A.  B.  C.  D. 已知平行四边形中，，，为平面内一点，若，则A.  B.  C.  D. 已知，，，则下列结论正确的是A.  B.  C.  D. 已知抛物线：，过其焦点的直线交抛物线于，两点，若，且抛物线上存在点与轴上一点关于直线对称，则该抛物线的方程为A.  B.  C.  D. 已知为三次函数，其图象如图所示．若有个零点，则的取值范围是A.
B.
C.
D.  二、填空题（本大题共4小题，共20分）某校在一次月考中共有人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分分．现已知同学甲的数学成绩为分，学校排名为，若同学乙的数学成绩为分，则他的学校排名约为______名．的展开式中的系数为______用数字作答．祖暅是我国古代的伟大科学家，他在世纪末提出“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．这就是著名的祖暅原理．祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图一所示．

利用此方法，可以计算如下抛物体的体积：在平面直角坐标系中，设抛物线的方程为，将围绕轴旋转，得到的旋转体称为抛物体．利用祖暅原理它可用一个直三棱柱求解，如图二，由此可计算得该抛物体的体积为______．已知函数，其中，，，若的图象上存在两点处的切线互相垂直，则的最大值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共70分）已知数列满足：，．
求；
求数列的前项和．






 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应．某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如下频率分布直方图．
Ⅰ规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于的为二级口罩，质量指标值不低于的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取个口罩，再从中抽取个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及数学期望；
Ⅱ在年“双十一”期间，某网络购物平台推出该型号口罩订单“秒杀”抢购活动，甲，乙两人分别在、两店参加一次抢购活动．假定甲、乙两人在、两店抢购成功的概率分别为，，记甲、乙两人抢购成功的总次数为，求的分布列及数学期望．







 已知空间几何体中，与均为边长为的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面平面，平面平面．
试在平面内作一条直线，使直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明；
求二面角的余弦值．
  






 已知双曲线的右焦点为，，，成等差数列，过的直线交双曲线于、两点，当垂直于轴时，．
求双曲线的标准方程；
过双曲线的左顶点作直线、，分别与直线交于、两点，是否存在实数，使得以为直径的圆恒过，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．






 已知函数，．
判断函数的零点个数；
比较，，的大小，并说明理由．






 在极坐标系中，射线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，且射线与曲线有异于点的两个交点，．
Ⅰ求的取值范围；
Ⅱ求的取值范围．






 已知函数．
Ⅰ当时，解不等式；
Ⅱ当时，求证：．







答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：复数在复平面内对应的点的坐标为，
，
对于，，故A错误，
对于，复数的共轭复数是，故B错误，
对于，，
则的实部为，故C正确，
对于，，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
 2.【答案】
 【解析】解：，，，，，
，
．
故选：．
先解分式不等式求出，再求出的补集，最后求出的补集与的交集即可．
本题考查了交集，补集的运算，考查了分式不等式的解法，属于基础题．
 3.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查两角和与差的三角函数公式，三角函数的性质，三角函数的最值的求法，考查计算能力，属于基础题．
化简表达式，利用两角和与差的三角函数公式化简求解即可．
【解答】
解：因为，
所以，
因为为锐角，所以，
所以，
所以，
故选：．  4.【答案】
 【解析】解：模拟程序的运行，可得，，
不满足条件，可得，
故输出的值为．
故选：．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 5.【答案】
 【解析】解：取中点，连结，，
三棱锥的所有棱长都相等，，分别是棱，的中点，
，是异面直线与所成角，
设三棱锥的所有棱长为，
则，
，
，
．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
取中点，连结，，则，是异面直线与所成角，由此能求出异面直线与所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 6.【答案】
 【解析】解：因为等差数列的前项和有最小值，则，
又，所以，，所以，
又，，
所以当时，的最大值为．
故选：．
利用前项和有最小值，得到，再结合，可得到，，，利用求和公式以及等差数列的性质可得，，从而得到答案．
本题考查了等差数列的前项和公式、等差数列的性质，解题的关键是熟练掌握等差数列的公式以及相关性质，属于中档题．
 7.【答案】
 【解析】解：不选十位时，有种或，
当十位选梁下选一个算珠时，有种或，
当十位选梁下选两个算珠时，有种或，
当十位选梁上选一个算珠时，有种或，
当十位选梁上选一个和梁下选一个算珠时，有种或，
当十位选选三个算珠时，有种或，
故不同的数字共有个，
故选：．
根据题意，以十位上算珠多少进行分类讨论即可．
本题考查分类计数原理的应用，属于基础题．
 8.【答案】
 【解析】解：根据题意，函数是定义在上的单调函数，，
则为常数，设，则，
又由，即，解可得，
则，故，
故选：．
根据题意，分析可得为常数，设，分析可得的解析式，计算可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
 9.【答案】
 【解析】解：以为原点，为轴，垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，

则，，
所以，
因为，所以点在的中垂线上，
所以，．
故选：．
以为原点建立平面直角坐标系，根据平面向量数量积的几何意义可得，从而得解．
本题考查平面向量数量积，遇到规则图形，一般建立坐标系，可简化试题难度，理解平面向量数量积的几何意义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 10.【答案】
 【解析】解：，，，，
设，则，
当，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
，，
，两边同乘以，得，．
又，，两边同乘以得：，，
综上，．
故选：．
构造函数，研究其单调性，由此能判断，，的大小关系．
本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 11.【答案】
 【解析】解：抛物线：，过其焦点的直线交抛物线于，两点，若，
可得直线的斜率为，如图：

直线的方程为，
抛物线上存在点与轴上一点关于直线对称，设，
则，解得，，
可得，
在抛物线上，可得：，
解得：或舍去．
故选：．
通过抛物线：，过其焦点的直线交抛物线于，两点，，可得直线的斜率为，通过抛物线上存在点与轴上一点关于直线对称，求出对称点的坐标，代入抛物线方程，求出即可．
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
 12.【答案】
 【解析】解：作出的图象如图所示，由的图象可知，
的极大值为，极小值为，
有个零点，令，结合和的图象可知，
有个解，
分别设为，，且，
且每个对应都有个满足，
欲使有个零点，
由图可知：，
且，，，
由函数的解析式知：
，，，
由图象可知，
，，，
则，
解得，
得，
故选：．
作出图象，令，结合和的图象，列出的不等式组，进而求出的取值范围．
本题考查了函数的零点、数形结合思想，难点在于得出，，的最和范围，属于中档题．
 13.【答案】
 【解析】解：根据题意可知，
故，
故，
故他在学校的排名约为名．
故答案为：．
根据正态分布“对称性”的特点，易知，由此求出结论．
本题考查正态分布条件下概率的求法，属于基础题．
 14.【答案】
 【解析】解：原式，
前一个式子含的式子为，
后一个式子含的式子为，
故整个展开式中含的项为，故系数为．
故答案为：．
利用计数原理结合组合数的公式求解．
本题考查二项式展开式的性质和学生的计算能力，属于中档题．
 15.【答案】
 【解析】解：构造如图所示的直三棱柱，高设为，底面两个直角边为，

若底面积相等，则，解得：，下面说明截面面积相等，
设截面距底面为，矩形截面长为，圆形截面半径为，
由左图得到，所以，
所以截面面积为，
由右图得到，所以，所以截面面积为，
两者截面面积相等，所以体积相等，
所以抛物体的体积等于三棱柱的体积，，
故答案为：．
构造出符合要求的直三棱柱，求出三棱柱的体积即可．
本题主要考查祖暅原理及其应用，立体几何中的数学文化等知识，属于中等题．
 16.【答案】
 【解析】解：因为，
故设，，
，
所以，
若的图象上存在两点处的切线互相垂直，
即存在，使得，
则只需要即可，
则，所以，
所以，
所以的最大值为．
故答案为：．
根据，可设，，则，从而可得，根据题意可得存在，使得，则，求得，再根据三角函数的性质即可得出答案．
本题主要考查导数的几何意义，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 17.【答案】解：当时，，故；
当时，
，
，
两式相减得：，
故，
当时，符合上式，
综上：当时，．
由知
所以．
 【解析】利用作差求得：，进而求得的通项公式；
首先求出，再采用分组求和即可求出答案．
本题考查了数列的递推关系以及分组求和的问题，属于基础题．
 18.【答案】解：按分层抽样的方法抽取个口罩，则其中二级、一级口罩的个数分别为个和个，
所以随机变量的可能取值为，，，
则，
所以随机变量的分布列为：         所以期望为．
解：由题意，随机变量的可能取值为，，，
则，
，
，
所以随机变量的分布列为：         ．
 【解析】按分层抽样得到二级、一级口罩的个数分别为个和个，得出的可能取值为，，，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解；
根据题意得到随机变量的可能取值为，，，结合相互对立事件的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．
 19.【答案】证明：如图所示：取，的中点、，连接，，，

则为所求直线．
因为为等三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
取的中点，连接，
因为为等边三角形，
所以，，又平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
所以，所以平面．
又，所以平面，所以平面平面，
所以直线上任意一点与的连线均与平面平行．
解：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图．

，
，
设为平面的法向量，
则，
所以
易知，平面的法向量为，
则，
记二面角的大小为，显然为锐角，所以．
 【解析】作出辅助线，证明线面平行，进而证明面面平行，从而得到答案；
建立空间直角坐标系，用空间向量进行求解．
本题考查二面角，考查学生的空间想象能力及运算能力，属于中档题．
 20.【答案】解：由已知，，成等差数列，且过的直线交双曲线于、两点，当垂直于轴时，，
则，解得，，，
故所求方程为，
由得，设、方程分别为、，
则，，
因为以为直径的圆经过，所以，即，
即，
设方程为，与联立得，
设，，则，
所以，
即，
所以，
，解得或．
 【解析】利用待定系数法求双曲线方程；
假设存在实数，使得以为直径的圆恒过，则，结合韦达定理可得的值．
本题考查了双曲线的标准方程，直线与双曲线的综合，属于中档题．
 21.【答案】解：，
，设，
则，
因此在上单调递减，
又，
所以当时，，
即，
在上单调递增，
当时，，
即，在上单调递减，
所以在处有极大值，
又，
故有且仅有一个零点；
因为，，
由可知，当时，恒成立，又，
所以，
又对于任意的时，，
所以，
即，
因为，
所以，
所以．
 【解析】对二次求导，求出的单调性及极值，判断出的零点个数；
对要比较大小的式子进行整理变形，结合第一问函数的单调性进行证明．
本题考查了函数的零点、单调性及转化思想，难点在于求出，，属于难题．
 22.【答案】解：Ⅰ射线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．
曲线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为．
且射线与曲线有异于点的两个交点，．
所以圆心到直线的距离，
所以．
Ⅱ把为，代入，
得到，
所以，，
由于，
所以
所以．
 【解析】Ⅰ直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
Ⅱ利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题型．
 23.【答案】解：Ⅰ当时，即等价为或或，
解得或或，
所以原不等式的解集为；
Ⅱ证明：当时，，
，，
因为，当时，取得等号，
所以，
即．
 【解析】Ⅰ由零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；
Ⅱ由绝对值的几何意义和绝对值不等式的性质，结合不等式的基本性质，即可得证．
本题考查绝对值不等式的解法和性质的运用，以及不等式的证明，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．