精品解析：湖南省邵阳市2023届高三下学期二模数学试题

2023年邵阳市高三第二次联考试题卷

数学

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

4. 已知函数 若存在实数，，，，满足，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 党的二十大报告提出全面推进乡村振兴．为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场．该特色产品的热卖黄金时段为2023年2月1至4月1日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年2月1日至2月5日时段的相关数据，这5天的第天到该电商平台专营店购物人数（单位：万人）的数据如下表：

依据表中的统计数据，该电商平台直播黄金时间的天数与到该电商平台专营店购物的人数（单位：万人）具有较强的线性相关关系，经计算得，到该电商平台专营店购物人数与直播天数的线性回归方程为．请预测从2023年2月1日起的第38天到该专营店购物的人数（单位：万人）为（    ）

A. 312 B. 313 C. 314 D. 315

6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为．在椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 如图所示，在矩形中，，，平面，且，点为线段（除端点外）上的动点，沿直线将翻折到，则下列说法中正确的是（    ）

A. 当点固定在线段的某位置时，点的运动轨迹为球面

B. 存点，使平面

C. 点到平面的距离为

D. 异面直线与所成角的余弦值的取值范围是

8. 若不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 正方体中，，，则（    ）

A. 为钝角

B.

C. 平面

D. 直线与平面所成角的正弦值为

10. 若函数的最小正周期为，则（    ）

A.  B. 上单调递增

C. 在内有5个零点 D. 在上的值域为

11. 已知点为定圆上的动点，点为圆所在平面上的定点，线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能是（    ）

A. 一个点 B. 直线 C. 椭圆 D. 双曲线

12. 已知函数，是的导数，则（    ）

A. 函数在上单调递增

B. 函数有唯一极小值

C. 函数在上有且只有一个零点，且

D. 对于任意的，，恒成立

三、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）

13. 若，，，则的最小值为______．

14. 在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个．

15. 已知直线是曲线与的公切线，则直线与轴的交点坐标为______．

16. 已知数列满足，，设数列的前项和为，则数列的通项公式为______，______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知为数列的前项和，，，记．

（1）求数列通项公式；

（2）已知，记数列的前项和为，求证：．

18. 人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点处正上空的点处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点西南方向的草从处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北15°方向上点处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为45°，拍摄羚羊的俯角为60°，假设A，B，C三点在同一水平面上．

（1）求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度；

（2）若此时猎豹到点处比到点处的距离更近，且开始以的速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东15°方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能?请说明原因．

19. 如图所示，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，．平面平面，为的中点，，，E，F，G分别为，，的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的正切值．

20. 为响应习近平总书记“全民健身”的号召，促进学生德智体美劳全面发展，某校举行校园足球比赛．根据比赛规则，淘汰赛阶段，参赛双方有时需要通过“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：

①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；

②如果在踢满5轮前，一队进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为，则不需要再踢第5轮）；

③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出．

假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．

（1）假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确，左右两边将球扑出的可能性为，中间方向扑出的可能性为．若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前4次扑出点球的个数的分布列和数学期望．

（2）现有甲、乙两队在淘汰赛中相遇，需要通过“点球大战”来决定胜负．设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，若甲队先踢，求甲队恰在第4轮取得胜利的概率．

21. 已知双曲线的右顶点为，左焦点到其渐近线的距离为2，斜率为的直线交双曲线于A，B两点，且．

（1）求双曲线的方程；

（2）过点的直线与双曲线交于P，Q两点，直线，分别与直线相交于，两点，试问：以线段为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

22. 已知函数，．

（1）对任意的，恒成立，求实数的取值范围；

（2）设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，…，求证：．