数学（江苏无锡卷）2023年中考第一次模拟考试卷（解析版）

这是一份数学（江苏无锡卷）2023年中考第一次模拟考试卷（解析版），共23页。试卷主要包含了下列命题，其中是真命题的为，函数y＝ax与y＝ax2+a等内容，欢迎下载使用。

2023年中考数学第一次模拟考试卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）
1．|-2022|的倒数是（      ）
A．2022 B． C．-2022 D．-
【答案】B
【分析】利用绝对值的代数意义，以及倒数的性质计算即可．
【详解】解：，
2022的倒数是
故选：B
【点睛】此题考查了倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
2．年北京冬奥会在北京，张家口等地召开，在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义解答即可．
【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据乘法分配律即可求解．
【详解】=计算起来最简便，
故选A．
【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知乘法分配律的运用．
4．小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级20名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数
3
4
8
5
课外书数量（本）
12
13
15
18
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（    ）A．13，15 B．14，15 C．13，18 D．15，15
【答案】D
【分析】利用中位数，众数的定义即可解决问题．
【详解】解：中位数为第10个和第11个的平均数，众数为15．
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数和众数，解题的关键是掌握平均数、中位数和众数的概念．
5．若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（    ）
A．0， B．0，0 C．， D．，0
【答案】B
【分析】直接把代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意，
∵是一元二次方程的一个根，
把代入，则
，
解得：；
∴，
∴，
∴，，
∴方程的另一个根是；
故选：B
【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．
6．一副三角板按如图所示的位置摆放，若，则∠1的度数是（    ）

A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】C
【分析】由平行线的性质可得∠2＝∠B＝45°，再由三角形的外角性质可得∠1＝∠2＋∠D即可求解．
【详解】如图所示：

∵BC∥DE，
∴∠2＝∠B＝45°，
∴∠1＝∠2＋∠D＝45°＋30°＝75°，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
7．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设绳索长y尺，竿长x尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设绳索长y尺，竿长x尺，
根据题意得： ．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．下列命题，其中是真命题的为（    ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定判断A选项，根据菱形的判定判断B选项，根据矩形的判定判断C选项，根据正方形的判定判断D选项，真命题选择选项说法正确的即可．
【详解】解：A选项，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误，不符合题意；
B选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项错误，不符合题意；
C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意；
D选项，一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项正确，符合题意
故选D．
【点睛】本题考查了真命题、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定的知识点，熟练掌握这些判定是解答本题的关键．
9．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论．
【详解】解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）
A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；    
B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；    
C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确；    
D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确；    
故选D．
【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（    ）

A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】由可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为，则为等腰直角形，设OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解．
【详解】∵P点坐标为（1，1），
则OP与x轴正方向的夹角为45°，
又∵，
则∠BAO=45°，为等腰直角形，
∴OA=OB，
设OC=x，则OB=2OC=2x，
则OB=OA=3x，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标推出特殊角是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．分解因式：_________________
【答案】
【分析】利用分组分解法和提取公因式法进行分解因式即可得．
【详解】解：原式

，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
12．命题：“两直线平行，同位角相等”的逆命题是：___________________________．
【答案】同位角相等，两直线平行
【分析】将原命题的条件与结论互换即可得到逆命题．
【详解】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论是：同位角相等，
∴逆命题为：同位角相等，两直线平行，
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13．“的2倍与6的和比1小”用不等式表示为_____________．
【答案】
【分析】根据题干的描述“的2倍与6的和”可表示为 再列不等式即可．
【详解】解：“的2倍与6的和比1小”用不等式表示为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是列不等式，理解题意，注意运算的顺序，再列不等式是解本题的关键．
14．我国古代数学家名著《九章算术》记载“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来谷米512石，验得其中夹有谷粒．从中抽取谷米一把，共数得256粒，其中夹有谷粒16粒，估计这批谷米内夹有谷粒约是______石．
【答案】32
【分析】根据样本中谷粒所占的比例即可判断总量中谷粒的占比．
【详解】样本中谷粒所占比例为：，
则总的512石谷米中含谷粒的量为：（石），
故答案为：32．
【点睛】本题考查了通过所占样本比例估算总体的知识，读懂题意是解答本题的关键．
15．写出一个比大且比小的整数是___________．
【答案】2或3
【分析】先估算出、的大小，然后确定范围在其中的整数即可．
【详解】∵ ，
∴
即比大且比小的整数为2或3，
故答案为：2或3
【点睛】本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键．
16．如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是______．

【答案】27
【分析】根据矩形的性质，很容易证明∽，相似三角形之比等于对应边比的平方，即可求出的面积．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
，
∽，
，，
：：，
：：，即：：，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用．掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．
17．如图，长方形中，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为__．

【答案】
【分析】如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于．首先证明，推出点的在射线上运动，推出当时，的值最小．
【详解】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于．

∵四边形是长方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点的在射线上运动，
∴当时，的值最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
18．如图，已知正比例函数与反比例函数交于、两点，点是第三象限反比例函数上一点，且点在点的左侧，线段交轴的正半轴于点，若的面积是，则点的坐标是______．

【答案】
【分析】过作轴的平行线交于点，联立正比例函数与反比例函数求得，，得到的解析式为，利用的面积即可求得点的坐标
【详解】联立，
解得：，，
设，：，
则，
解得：，，
：
过作轴的平行线交于点，

则，

，
即：，
解得，，
．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数的性质、待定系数法求一次函数的表达式及三角形的面积，熟练掌握反比例函数的性质和两个函数的交点是解决问题的关键
三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等）
19．（8分）解方程
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，

【分析】（1）观察方程可知，采用因式分解的方法即可求解；
（2）观察方程可知，采用因式分解的方法即可求解．
【详解】（1）解：
或
，
（2）解：
或
，
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，属于基础计算题考查，难度不大．解题的关键是观察方程结构采用合适的方法求解和计算的准确性．
20．（8分）解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上．

【答案】，数轴见解析
【分析】先求解不等式组的解集，然后再数轴上表示即可．
【详解】解：
由①得：，
由②得：，
故不等式组的解为：，
将不等式的解集表示在数轴上，如下图所示：

【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
21．（10分）如图，点C、D在线段AB上，且AC=BD，AE=BF，AE∥BF，连接CE、DE、CF、DF，求证：DE=CF．

【答案】见解析
【分析】只要证明△ADE≌△BCF即可解决问题．
【详解】证明：∵AC=BD，
∴AC+CD=BD+CD，
即：AD=BC，
∵AE∥BF，
∴∠A=∠B，
∵AE=BF，
∴△ADE≌△BCF，
∴DE=CF．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
22．（10分）如图，一组正多边形，观察每个正多边形中a的变化情况，解答下列问题．

(1)将表格补充完整．
正多边形的边数
3
4
5
6
α的度数
　   　
　   　
　   　
　   　

(2)观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为 　 　．
(3)根据规律，当α＝18°时，多边形边数n＝ 　 　．
【答案】(1)，，，
(2)
(3)10

【分析】（1）先根据多边形的内角公式求出每一个内角的度数，再根据多边形的性质每条边都相等，得到等腰三角形，求出的度数．
（2）根据（1）中的数据总结规律．
（3）引用（2）中总结的公式计算即可．
【详解】（1）正多边形每个内角的度数为．
；
；
正五边形的内角，；
正五边形的内角，．
（2）观察（1）中结论，



总结规律，则有．
（3）借助（2）中公式，有
，即
解得．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、多边形内角的计算及观察总结能力，解题的关键是利用多边形内角的计算公式计算内角，并与等腰三角形两底角相等结合应用．
23．（10分）我校在七、八年级学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
七年级抽取的10名学生的竞赛成绩：98，81，98，85，98，97，91，100，88，84．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是93，90，94，93．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
94
b
众数
c
93
八年级抽取的学生的竞赛成绩扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：___________，___________，___________；
(2)根据以上数据分析，你认为我校七、八年级中哪个年级学生竞赛成绩较好？请说明理由（一条理由即可）；
(3)我校七、八年级分别有780名、620学生参加了此次竞赛，请估计成绩达到90分及以上的学生共有多少名？
【答案】(1)，93，98
(2)七年级学生掌握疫情防控安全知识较好，理由见解析
(3)902
【分析】（1）根据中位数和众数即可得到结论；
（2）根据七年级的中位数和众数均高于八年级于是得到七年级学生掌握疫情防控安全知识较好；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【详解】（1）解：根据题意得：；
八年级A组和B组的人数共有人，
∵八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据按从小到大排列为是90，93，93， 94，
∴位于第5位和第6位均为93，
∴；
根据题意得：七年级抽取的10名学生的竞赛成绩中98出现3次，出现次数最多，
∴；
故答案为：，93，98
（2）解：七年级学生掌握疫情防控安全知识较好，理由：
虽然七、八年级的平均分均为92分，但七年级的中位数和众数均高于七年级．
（3）解：根据题意得：名，
答：成绩达到90分及以上的学生共有902名．
【点睛】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
24．（10分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边上一点，且满足．

(1)证明：；
(2)若，，求AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证出∠BAD=∠EAD．根据相似三角形的判定可得出结论；
（2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案．
【详解】（1）∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠EAD．
∵∠ADE=∠B，
∴△ADB∽△AED．
（2）∵△ADB∽△AED，
∴，
∵AE=3，AD=5，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．（10分）如图，在中，，将绕点A旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边BC上．

(1)求证：AE平分；
(2)连接BD，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据旋转性质得到对应边相等，对应角相等，进而根据等边对等角性质可将角度进行等量转化，最后可证得结论；
（2）根据旋转性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理对角度进行等量转化可证得结论．
【详解】（1）证明：由旋转性质可知：，，


平分．
（2）证明：如图所示：

由旋转性质可知：，，
，，
即，
，，
，
∵在中，，
，
，
即．
【点睛】本题考查了三角形的旋转变化，熟练掌握旋转前后图形的对应边相等，对应角相等以及合理利用三角形内角和定理是解决本题的关键．
26．（10分）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)13
(3)每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．

【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可；
（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得：
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：（-5x+150）（x-8）=425，
整理得：，
解得：，
∵8≤x≤15，
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）解：根据题意得：


∵8≤x≤15，且x为整数，
当x<19时，w随x的增大而增大，
∴当x=15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系，
27．（10分）如图在△ABC和△CDE中，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE，连接AD，BE交于点M．

(1)如图1，当点B，C，D在同一条直线上，且∠ACB=∠DCE=45°时，可以得到图中的一对全等三角形，即____________；
(2)当点D不在直线BC上时，如图2位置，且∠ACB=∠DCE=α．
①试说明AD=BE；
②直接写出∠EMD的大小（用含α的代数式表示）．
【答案】(1)△BCE，△ACD
(2)①见解析；②∠EMD=α．
【分析】（1）由“SAS”可证△BCE≌△ACD；
（2）①由“SAS”可证△BCE≌△ACD，可得AD=BE，
②由全等三角形的性质可得∠CAD=∠CBE，由三角形的内角和定理可求解．
【详解】（1）解：∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
故答案为：△BCE，△ACD；
（2）①证明：∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
②解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠BAC+∠ABC=180°-α，
∴∠BAM+∠ABM=180°-α，
∴∠AMB=∠EMD=180°-（180°-α）=α．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ACD≌△BCE是解题的关键．
28．（10分）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．

(1)求抛物线的解析式与直线l的解析式；
(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；
(3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标．
【答案】(1)，；
(2)△PAD的面积最大值为，P（1，）；
(3)（0，）或（0，-9）
【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式；
（2）过点P作PEy轴交AD于E，设P（n，），则E（n，），根据，得到PE的值最大时，△PAD的面积最大，求出PE的最大值即可；
（3）如图2，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AT，则T（-5，6），设DT交y轴于Q，则∠ADQ=45°，作点T关于AD的对称点（1，-6），设D交y轴于点，则∠AD=45°，分别求出直线DT，直线D的解析式即可解决问题．
【详解】（1）解：将点A、B、D的坐标代入，，得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
∵直线l经过点A，D，
∴设直线l的解析式y=kx+m，
，得，
∴直线l的解析式为；
（2）如图1，过点P作PEy轴交AD于E，

设P（n，），则E（n，），
∵，
∴PE的值最大时，△PAD的面积最大，
∵
=，
∴当n=1时，PE的值最大，最大值为，
此时△PAD的面积最大值为，P（1，）；
（3）如图2，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AT，则T（-5，6），

设DT交y轴于Q，则∠ADQ=45°，
∵D（4，3），
∴直线DT的解析式为，
∴Q（0，），
作点T关于AD的对称点（1，-6），
则直线D的解析式为y=3x-9，
设D交y轴于点，则∠AD=45°，
∴（0，-9），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，）或（0，-9）．
【点睛】此题考查了二次函数与一次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，直线与y轴的交点，熟练掌握知识点并应用解决问题是解题的关键．