安徽省合肥市庐江县联考2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份安徽省合肥市庐江县联考2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题.，填空题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年安徽省合肥市庐江县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）.
1．下列各式中，属于二次根式的是（　　）
A． B．﹣2x C． D．
2．在▱ABCD中，已知∠A+∠C＝160°，则∠A＝（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
3．化简的正确结果是（　　）
A．3 B．2 C．2 D．4
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以AB为边作正方形ABDE，则正方形ABDE的面积为（　　）

A．5 B．9 C．16 D．25
5．下列计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝65°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠DEC的度数是（　　）

A．25° B．30° C．40° D．50°
7．如表中a，b，c组成的五组“勾股数”反映出一定的规律，那么当a＝90时，按此规律b的值为（　　）
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
8．如图，▱ABCD中，AC与BD交于点O，若AC⊥AB，AB＝8，AC＝12，则BD的长是（　　）

A． B．20 C． D．22
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，则AM的长为（　　）

A． B． C． D．
10．如图，在菱形ABCD中，E，F，P分别是直线AB，CD，BC上的动点（E，F不与B，C重合），连接PE，PF，G，H分别为PE，PF的中点，连接GH．若∠ABC＝45°，AB＝2，则GH的最小值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
12．如图，A（6，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为 　 　．

13．如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，交对角线BD于点F，点G为DF的中点．若∠BAG＝90°，则∠DBC＝　 　°．

14．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过 点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）CE+CG＝　 　；
（2）若CG＝3，则矩形DEFG面积＝　 　．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：．
16．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图①是小聪同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点△ABC （△ABC的三个顶点都在正方形的顶点处），易知 AB＝，BC＝，AC＝．
（1）请你参照小聪的方法在图②的正方形网格中画出格点△DEF，使得 DE＝，EF＝2，DF＝；
（2）判断△DEF的形状，说明理由．

18．如图，▱ABCD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD．BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是矩形．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
（1）若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝　 　；
（2）若与是关于12的共轭二次根式，求m的值．
20．如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，DE⊥DF．

（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）连接EF，若AE＝a，AD＝b，DE＝c，请利用图2验证勾股定理．

六、（本题满分12分）
21．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．
（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？
（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？

七、（本题满分12分）
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，则△AOE的面积为 　 　．

八、（本题满分14分）
23．如图，在矩形ABCD中，O是对角线BD中点．过O点的直线与矩形的一组对边AB，CD分别相交于点F，E．
（1）求证：OE＝OF；
（2）点B′与B关于直线EF对称，连结BE，DB′，EB′，OB′．
①求证：DB′∥OE；
②若AB＝8，BC＝4，且四边形OEB′D是平行四边形，求线段EF长．



参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列各式中，属于二次根式的是（　　）
A． B．﹣2x C． D．
【分析】根据二次根式的定义即可得到答案．
解：由题意可知：
A．是二次根式形式，符合题意；
B．﹣2x，不是二次根式形式，不符合题意；
C．是三次根式，不符合题意；
D．，被开方数小于0，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟记定义是解题的关键．
2．在▱ABCD中，已知∠A+∠C＝160°，则∠A＝（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【分析】根据平行四边形的对角相等和∠A+∠C＝160°，可以求得∠C的度数．
解：四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝160°，
∴∠A＝∠C＝80°，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是明确平行四边形的对角相等．
3．化简的正确结果是（　　）
A．3 B．2 C．2 D．4
【分析】把12写出4×3，然后化简即可．
解：＝＝＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质，把12分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以AB为边作正方形ABDE，则正方形ABDE的面积为（　　）

A．5 B．9 C．16 D．25
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论．
解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∴正方形ABDE的面积＝AB2＝52＝25，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．下列计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的加减、二次根式的乘除运算法则分别判断得出答案．
解：A．+无法合并，故此选项符合题意；
B．×＝，故此选项不合题意；
C．÷＝，故此选项不合题意；
D．＝3，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝65°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠DEC的度数是（　　）

A．25° B．30° C．40° D．50°
【分析】利用三角形内角和定理和直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝65°，
∴∠B＝90°﹣65°＝25°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB＝65°，
∵CE＝EB，
∴DE＝CE＝EB，
∴∠EDC＝∠ECD＝65°，
∴∠DEC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：D．
【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．如表中a，b，c组成的五组“勾股数”反映出一定的规律，那么当a＝90时，按此规律b的值为（　　）
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【分析】先根据表中的数据得出规律，根据规律求出b的值即可．
解：从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…，即90＝2×（43+2），
b依次为8，15，24，35，48，…，即当a＝90时，b＝452﹣1＝2024．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股数，能根据表中数据得出b＝（n+2）2﹣1解此题的关键．
8．如图，▱ABCD中，AC与BD交于点O，若AC⊥AB，AB＝8，AC＝12，则BD的长是（　　）

A． B．20 C． D．22
【分析】由平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC＝AC＝6，由AC⊥AB，根据勾股定理求出OB，即可得出BD的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，
∴OB＝OD，OA＝OC＝AC＝6，
∵AB⊥AC，
由勾股定理得：OB＝＝＝10，
∴BD＝2OB＝20．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，由勾股定理求出OB是解决问题的关键．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，则AM的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接CM，根据矩形的性质可得AD＝BC＝6，CD＝AB＝3，∠D＝90°，根据线段垂直平分线的性质可得CM＝AM，设AM＝CM＝x，在Rt△CDM中，根据勾股定理列方程，求出x的值，即可确定AM的长．
解：连接CM，如图所示：
在矩形ABCD中，AD＝BC＝6，CD＝AB＝3，∠D＝90°，
∵对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，
∴CM＝AM，
设AM＝CM＝x，
则DM＝6﹣x，
在Rt△CDM中，根据勾股定理，得32+（6﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴AM＝，
故选：A．

【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
10．如图，在菱形ABCD中，E，F，P分别是直线AB，CD，BC上的动点（E，F不与B，C重合），连接PE，PF，G，H分别为PE，PF的中点，连接GH．若∠ABC＝45°，AB＝2，则GH的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接EF，作CK⊥AB于K，由三角形中位线定理得到，当EF最小时，GH最小，当EF⊥AB时，EF的长最小，而EF＝CK，求出CK的值即可解决问题．
解：连接EF，作CK⊥AB于K，
∵G，H分别为PE，PF的中点，
∴GH＝EF
∴当EF最小时，GH最小，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴当EF⊥AB时，EF的长最小，
∵CK⊥AB，AB∥CD，
∴此时EF＝CK，
∵∠ABC＝45°，
∴△CBK是等腰直角三角形，
∴CK＝×2＝，
∴GH的最小值是．
故选：D．

【点评】本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，关键是由中位线定理得到，当EF⊥AB时，GH最小．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　x≥6　．
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
解：由题意可得x﹣6≥0，
解得x≥6，
故答案为：x≥6．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．
12．如图，A（6，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为 　（0，2）　．

【分析】根据已知可得AB＝AC＝8，OA＝6．利用勾股定理即可求解．
解：∵A（6，0），C（﹣2，0），
∴OA＝6，OC＝2，
∴AB＝AC＝8，
在Rt△ABO中，OB＝＝＝2．
∴B（0，2）．
故答案为：（0，2）．
【点评】本题考查勾股定理的应用、坐标的特征知识．关键在于利用点的坐标表示边的长度．
13．如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，交对角线BD于点F，点G为DF的中点．若∠BAG＝90°，则∠DBC＝　30　°．

【分析】由菱形的性质得AB＝AD，AD∥BC，则∠ABD＝∠ADB，∠DAF＝∠AEB＝90°，而∠BAG＝90°，所以∠BAF＝∠DAG＝90°﹣∠FAG，因为点G为DF的中点，所以AG＝DG＝DF，则∠DAG＝∠ADB，所以∠BAF＝∠ABD＝∠ADB，可推导出∠AFD＝2∠ABD＝2∠ADB，则2∠ADB+∠ADB＝90°，所以∠DBC＝∠ADB＝30°．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠DAF＝∠AEB＝90°，
∵∠BAG＝90°，
∴∠BAF＝∠DAG＝90°﹣∠FAG，
∵点G为DF的中点，
∴AG＝DG＝DF，
∴∠DAG＝∠ADB，
∴∠BAF＝∠ABD＝∠ADB，
∴∠AFD＝∠BAF+∠ABD＝2∠ABD＝2∠ADB，
∵∠AFD+∠ADB＝90°，
∴2∠ADB+∠ADB＝90°，
∴∠DBC＝∠ADB＝30°，
故答案为：30．
【点评】此题重点考查菱形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明∠BAF＝∠ABD＝∠ADB是解题的关键．
14．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过 点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）CE+CG＝　4　；
（2）若CG＝3，则矩形DEFG面积＝　5　．

【分析】（1）作出辅助线，得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF，得矩形DEFG是正方形，证明△ADE≌△CDG得到CG＝AE，即：CE+CG＝CE+AE＝AC＝4；
（2）由（1）得AE＝CG＝3．过点E作EQ⊥AD于点Q，求AQ，利用勾股定理求出DQ，即可求得AD，即可得答案．
解：（1）如图，作EM⊥BC，EN⊥CD于点M，N，

∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG．
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×2＝4；
故答案为：4；
（2）如图，过点E作EQ⊥AD于点Q，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴∠EAQ＝45°，
∴AQ＝EQ，
∴AE＝AQ＝3，
∴AQ＝，
∴DQ＝AD﹣AQ＝2﹣＝，
在Rt△DQE中，根据勾股定理得：
DQ2+EQ2＝DE2，
∴+＝DE2，
∴DE2＝5，
∴正方形DEFG面积＝5．
故答案为：5．

【点评】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：．
【分析】先根据二次根式的乘除法法则和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
解：原式＝+﹣4×
＝+﹣
＝3+﹣
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
16．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．

【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
解：设旗杆高度为xm，则AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，
在Rt△ABC中，
AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，
解得：x＝17，
答：旗杆的高度为17m．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图①是小聪同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点△ABC （△ABC的三个顶点都在正方形的顶点处），易知 AB＝，BC＝，AC＝．
（1）请你参照小聪的方法在图②的正方形网格中画出格点△DEF，使得 DE＝，EF＝2，DF＝；
（2）判断△DEF的形状，说明理由．

【分析】（1）根据勾股定理作图；
（1）根据勾股定理的逆定理进行判断．
解：（1）如图②，△DEF即为所求；

（2）△DEF为直角三角形；
理由：∵DE2+EF2＝DF2，
∴△DEF为直角三角形．
【点评】本题考查了作图的应用和设计，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
18．如图，▱ABCD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD．BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是矩形．

【分析】先证四边形BECF是平行四边形，再证∠BEC＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠EBC+∠ECB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°，
∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣90°＝90°，
∴平行四边形BECF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
（1）若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝　2　；
（2）若与是关于12的共轭二次根式，求m的值．
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义，先列出关于a的等式，再求出a；
（2）根据共轭二次根式的定义，先列出关于m的方程，求解即可．
解：（1）∵a与是关于4的共轭二次根式，
∴＝4．
∴a＝＝2；
故答案为：2；
（2））∵与是关于12的共轭二次根式，
∴．
∴18+6+3m+3m＝12．
∴m（3+3）＝﹣6﹣6．
∴m＝﹣2．
【点评】本题主要考查了二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则，理解共轭二次根式的定义是解决本题的关键．
20．如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，DE⊥DF．

（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）连接EF，若AE＝a，AD＝b，DE＝c，请利用图2验证勾股定理．

【分析】（1）根据正方形的性质和直角三角形的性质，可以得到AD＝CD，∠DAE＝∠DCF，∠ADE＝∠CDF，然后根据ASA可以证明△ADE≌△CDF；
（2）根据等面积法，化简整理，即可证明勾股定理．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，DCB＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝90°，∠DCF＝90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝90°，
∴∠EDC+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA）；
（2）由图可知，
S△ADE+S△EDF+S△EBF＝S正方形ABCD+S△DCF，
∵AE＝a，AD＝b，DE＝c，△ADE≌△CDF，
∴S△EDF+S△EBF＝S正方形ABCD，
∴＝b2，
化简，得：a2+b2＝c2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
六、（本题满分12分）
21．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．
（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？
（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出飞机影响C持续的时间，即可做出判断．
解：（1）着火点C受洒水影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
由题意知AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，
∵AC2+BC2＝6002+8002＝10002，AB2＝10002，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝AC•BC＝CD•AB，
∴600×800＝1000CD，
∴CD＝480，
∵飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，
∴着火点C受洒水影响；
（2）当EC＝FC＝500m时，飞机正好喷到着火点C，
在Rt△CDE中，ED＝＝＝140（m），
∴EF＝280m，
∵飞机的速度为10m/s，
∴280÷10＝28（秒），
∵28秒＞13秒，
∴着火点C能被扑灭，
答：着火点C能被扑灭．

【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
七、（本题满分12分）
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，则△AOE的面积为 　　．

【分析】（1）证四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝∠DCA，再证∠DCA＝∠DAC，则AD＝CD，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得BC＝AB＝，OA＝OC，OB＝OD＝BD＝1，AC⊥BD，再由勾股定理得OA＝3，然后由菱形面积求出CE＝，进而由勾股定理得BE＝，则AE＝AB+BE＝，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝，OA＝OC，OB＝OD＝BD＝1，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OA＝＝＝3，
∴AC＝2OA＝6，
∵CE⊥AE，
∴S菱形ABCD＝AB•CE＝AC•BD，
即CE＝×6×2，
解得：CE＝，
∴BE＝＝＝，
∴AE＝AB+BE＝，
∵OA＝OC，
∴S△AOE＝S△ACE＝×AE•CE＝×××＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23．如图，在矩形ABCD中，O是对角线BD中点．过O点的直线与矩形的一组对边AB，CD分别相交于点F，E．
（1）求证：OE＝OF；
（2）点B′与B关于直线EF对称，连结BE，DB′，EB′，OB′．
①求证：DB′∥OE；
②若AB＝8，BC＝4，且四边形OEB′D是平行四边形，求线段EF长．

【分析】（1）根据ASA证明△DOE≌△BOF，得OE＝OF；
（2）①由轴对称的性质和矩形的性质得OD＝OB'，则∠ODB'＝∠OB'D，再利用三角形外角的性质得∠EOB'＝∠OB'D，即可证明结论成立；
②由平行四边形的性质和轴对称的性质得BE＝B'E＝2，过点E作EH⊥AB于点H，再利用勾股定理可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，OD＝OB，
∴∠ODE＝∠OBF，
∵∠DOE＝∠BOF，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴OE＝OF；
（2）①证明：∵B′与B关于直线EF对称，
∴OB'＝OB，∠EOB'＝∠EOB，
∴OB'＝OD，
∴∠ODB'＝∠OB'D，
∵∠BOB'＝∠ODB'+∠OB'D，
∴∠EOB'＝∠OB'D，
∴DB'∥OE；
②解：∵AB＝8，BC＝4，
∴BD＝＝4，
∵四边形OEB'D是平行四边形，
∴B'E＝DO＝BD＝2，
∵B′与B关于直线EF对称，
∴BE＝B'E＝2，
在Rt△BCE中，CE＝＝2，
∴BF＝DE＝CD﹣CE＝6，
过点E作EH⊥AB于点H，

则FH＝FB﹣BH＝FB﹣CE＝4，
∴EF＝＝＝4．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．