初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数随堂练习题

人教版数学九年级下学期

第28章《锐角三角函数》单元测试卷

      （满分120分，限时120分钟）

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.sin60°的值等于（　　）

A．          B．          C．          D．

2.已知α为锐角，sin（α﹣20°）=，则α=（　　）

A．20°    B．40°    C．60°    D．80°

3.在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（　　）

A．     B．     C．     D．2

4.在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（　　）

A．b=a•sinB    B．a=b•cosB   C．a=b•tanB    D．b=a•tanB

5.在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（　　）

A．不变       B．扩大5倍      C．缩小5倍     D．不能确定

6.在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则cosA的值为（　　）

A．      B．    C．  D．

7.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（　　）

A．      B．      C．         D．

8.如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB的高为（　　）

A．3米          B．6米       C．3米         D．2米

9.坡度等于1：的斜坡的坡角等于（　　）

A．30°    B．40°    C．50°    D．60°

10.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（　　）

A．47m      B．51m        C．53m       D．54m

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11.求值：sin60°﹣tan30°=　　．

12.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=10，则∠A=　 　度．

13.如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则cos∠AOB的值是　　．

14.△ABC中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA=，则S△ABC=　　．

15.如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）　        　．

16.在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A在码头O的南偏东60°方向的14千米处，若以码头O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A也可表示成_________________．

三、解答题(共8题，共72分)

17.（本题8分）已知α为一锐角，sinα=，求tanα．

18.（本题8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，求sinA的值．

19.（本题8分）如图，已知AC=4，求AB和BC的长．

AB于点D，根据三角函数的定义在Rt△ACD中，在Rt△CDB中，即可求出CD，AD，BD，从而求解．

20.（本题8分）如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）

21.（本题8分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°． 已知原传送带AB长为4米．求新传送带AC的长度．

22.（本题10分）某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌底部C的仰角为30°．已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．

23.（本题10分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是3千米．（注：结果有根号的保留根号）

（1）求A，B两观测站之间的距离；

（2）小船从点P处沿射线AP的方向以千米/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．

24.（本题12分）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．

（1）求办公楼AB的高度；

（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．

（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）

第28章《锐角三角函数》单元测试卷解析

一、选择题

1. 【答案】sin60°=．故选C．

2.【答案】∵α为锐角，sin（α﹣20°）=，∴α﹣20°=60°，∴α=80°，故选D．

3.【答案】由图可得，tanα=2÷1=2．故选D．

4.【答案】A、∵sinB=，∴b=c•sinB，故选项错误；

B、∵cosB=，∴a=c•cosB，故选项错误；

C、∵tanB=，∴a=，故选项错误；

D、∵tanB=，∴b=a•tanB，故选项正确．

故选D．

5.【答案】∵各边都扩大5倍，

∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，

∴两三角形相似，

∴∠A的三角函数值不变，

故选A．

6. 【答案】如图，

∵tanA=，∴设BC=x，则AC=3x，∴AB=x，∴cosA==．

故选D．

7. 【答案】延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，

∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，

∵AB=4，AC=2，∴AD=1，CD=，BD=5，

∴BC==2，∴sinB===．

故选：B．

8.【答案】设直线AB与CD的交点为点O．

∴．∴AB=．∵∠ACD=60°．∴∠BDO=60°．

在Rt△BDO中，tan60°=．

∵CD=6．∴AB=×CD=6．

故选B．

9.【答案】坡角α，则tanα=1：，则α=30°．故选A．

10.【答案】根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，

∴∠ADB=∠DBC﹣∠A=30°，

∴∠ADB=∠A=30°，

∴BD=AB=60m，

∴CD=BD•sin60°=60×=30≈51（m）．

故选B．

二、填空题

11.【答案】原式=﹣=﹣=．故答案为．

12.【答案】∵∠C=90°，AC=5，AB=10，

∴cosA===，

∴∠A=30°，

故答案为：30°．

13.【答案】由图可得cos∠AOB=．

故答案为：．

14.【答案】在Rt△ABC中，

∵斜边上的中线CD=6，∴AB=12．

∵sinA=，∴BC=4，AC=8．∴S△ABC=AC•BC=16．

15. 【答案】由题意得：AD=6m，

在Rt△ACD中，tanA=

∴CD=2，又AB=1.6m

∴CE=CD+DE=CD+AB=2+1.6，

所以树的高度为（2+1.6）m．

16.【答案】过点A作AC⊥x轴于C．

在直角△OAC中，∠AOC=90°﹣60°=30°，OA=14千米，则AC=OA=7千米，OC=7千米．

因而小岛A所在位置的坐标是（7，﹣7）．

故答案为：（7，﹣7）．

三、解答题

17.【解答】由sinα=，设a=4x，c=5x，则b=3x，故tanα=．

18.【解答】sinA==．

19.【解答】作CD⊥AB于点D，

在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，CD=AC=2，AD=AC•cosA=2．

在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=45°，∴BD=CD=2，∴BC=2，∴AB=AD+BD=2+2．

20. 【解答】作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．

∵+∠DAF=180 º-∠BAD=180 º-90 º=90 º, ∠ADF+∠DAF=90 º, ∴∠ADF=36 º.

根据题意，得BE=24mm，DF=48mm．

在Rt△ABE中，sin=，∴AB===40mm

在Rt△ADF中，cos∠ADF==，∴AD==mm．

∴矩形ABCD的周长=2（40+60）=200mm．

21.【解答】如图，

在Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4×=4．

在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD=8．

即新传送带AC的长度约为8米；

22. 【解答】过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．

在Rt△ABG中，i=tan∠BAG=，∴∠BAG=30°，

∴BG=AB=5，AG=5．∴BF=AG+AE=5+15．

在Rt△BFC中，

∵∠CBF=30°，∴CF：BF=，∴CF=5+5．

在Rt△ADE中，∠DAE=45°，AE=15，

∴DE=AE=15，∴CD=CF+FE﹣DE=5+5+5﹣15=（5﹣5）m．

答：宣传牌CD高约（5﹣5）米．

23. 【解答】（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．

在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°﹣45°=45°，∴BD=PD=3千米．

在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°﹣60°=30°，

∴AD=PD=3千米，PA=6千米．∴AB=BD+AD=3+3（千米）；

（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．

根据题意得：∠ABC=105°，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，

∴BF=AB=千米，AF=AB=+3 千米．

在△ABC中，∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°．

在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，

∴CF=BF=千米，∴PC=AF+CF﹣AP=3千米．

故小船沿途考察的时间为：3÷=3（小时）．

24.【解答】（1）如图，

过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x．

Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，

在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，

tan22°=，则，解得：x=20．

即教学楼的高20m．

（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．

在Rt△AME中，cos22°=．∴AE=，

即A、E之间的距离约为48m