2023年天津市东丽区四校统考第一次模拟考试中考数学试题（含答案）

这是一份2023年天津市东丽区四校统考第一次模拟考试中考数学试题（含答案），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年天津市东丽区四校统考第一次模拟考试中考数学试题
一、单选题
1．关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在同一平面内，已知，，则等于（    ）．
A．80° B．40° C．80°或40° D．20°
3．把一个正方体展开，不可能得到的是（    ）
A． B．
C． D．
4．如图，正六棱柱的主视图是（    ）

A． B． C． D．
5．下列各数中，是无理数的是(   )
A．3.14 B． C． D．
6．两个全等图形中可以不同的是（    ）
A．位置 B．长度 C．角度 D．面积
7．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…，叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，…，第n个三角形数记为，则的值为 （    ）
A． B． C． D．
8．如图，点C是OD的中点，以OC为半径作⊙O，以CD为直径作⊙O'，AB与⊙O和⊙O'分别相切于点A和点B，连接BD，则cos∠BDC的值是（　　）

A． B． C． D．
9．在半径为的中，弦、的长度分别是，，则为（    ）度．
A． B．或 C．或 D．或
10．如图，，为上一点，点和关于对称，点和关于对称，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
11．如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则为　　

A． B． C． D．
12．一件商品提价后，发现销路不好，欲恢复原价，则应降价（  ）
A． B． C． D．
13．如图，将直角边AC＝6cm，BC＝8cm的直角△ABC纸片折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（　　）

A． B． C． D．
14．如图，的半径为，点、、、在上，且四边形是矩形，点是劣弧上一动点，、分别与相交于点、点．当且时，的长度为（ ）

A． B． C． D．
15．如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（    ）

A．2 B． C． D．3
16．已知二次函数，其中，为常数，下列说法正确的是（    ）
A．若，，则二次函数的最小值小于0
B．若，，则二次函数的最小值大于0
C．若，，则二次函数的最小值大于0
D．若，，则二次函数的最小值小于0

二、填空题
17．若是五次多项式，则的值为______________．
18．从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89，方差分别是，，．你认为______适合参加决赛（填“甲”或“乙”或“丙”）．
19．小亮与小明在做游戏，两人各报一个整式，小明报的被除式是x2y-2xy2，商式必须是2xy，则小亮报一个除式是__________．
20．所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是______．

三、解答题
21．在等式中，和为常数，且；随的变化而变化． 已知：当时，；当时，．
(1)求、的值；
(2)求当时的值是多少？
22．计算：
23．已知不等式组
（1）如果此不等式组无解，求a的取值范围，并利用数轴说明；
（2）如果此不等式组有解，求a的取值范围，并利用数轴说明．
24．解答下列问题：
(1)实数，，在数轴上对应点的位置如图所示：

化简式子：；
(2)已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为3．求的值．
25．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对学生测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直，量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），．

(1)求枪身的长度；
(2)测温时规定枪身端点与额头距离范围为．在图2中，若测得，学生与测温员之间距离为．问此时枪身端点与学生额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据，，，）
26．如图，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标．若不存在，请说明理由．

27．任意一个四位数n可以看作由前两位数字和后两位数字组成，交换这两个两位数得到一个新的四位数m，记．
例如：当时，则，．
（1）直接写出__________，__________，
（2）求证：对任意一个四位数n，均为整数．
（3）若，（，，a、b均为整数），当是一个完全平方数时，求满足条件s的最大值．
28．如图，四边形OABC为直角梯形，已知AB∥OC，BC⊥OC，A点坐标为（3，4），AB=6．

（1）求出直线OA的函数解析式；
（2）求出梯形OABC的周长；
（3）若直线l经过点D（3，0），且直线l将直角梯形OABC的面积分成相等的两部分，试求出直线l的函数解析式．
（4）若直线l经过点D（3，0），且直线l将直角梯形OABC的周长分为5：7两部分，试求出直线l的函数解析式．

参考答案：
1．D
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，代入公式求出即可．
【详解】∵关于x的方程x2+2x-k=0有两个相等的实数根，
∴△=b2+4ac=4+4k=0，
解得；k=-1，
故选D．
【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与根的判别式 有如下关系： ①当>0时，方程有两个不相等的实数根；②当=0时，方程有两个相等的实数根；③当<0时，方程无实数根．
2．C
【分析】C点可能在OB上方也可能在OB下方，故应分类讨论计算．
【详解】如图所示，当C点在OB上方，
则=60°-20°=40°
当C点在OB下方
则=60°+20°=80°

故答案为：C．
【点睛】本题考查了角的运算，考虑到C点的有两种位置情况是解题的关键．
3．C
【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图即可解题，注意带“田”字的不是正方体的平面展开图．
【详解】解：A、B、D三个选项都是正方体的展开图，C选项带“田”字，不是正方体的展开图．
故选：C
【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟知正方体的“11”种展开图是解题关键．
4．D
【分析】直接依据主视图即从几何体的正面观察，进而得出答案．
【详解】解：正六棱柱主视图的是：

故选D．
【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键．
5．D
【详解】分析：根据：无限不循环小数就是无理数这个定义判断即可.
详解：根据无理数的概念可知：是无理数，
故选D.
点睛：常见的无理数有3种：开方开不尽的数，含的数，有特定结构的数.
6．A
【分析】根据能够互相重合的两个图形叫做全等图形解答．
【详解】两个全等图形中对应边的长度，对应角的角度，图形的面积相等，可以不同的是位置．
故选A．
【点睛】本题考查了全等图形，熟记全等图形的概念是解题的关键．
7．B
【分析】根据三角形数得到a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，a5＝15＝1＋2＋3＋4＋5，即三角形数为从1到它的顺号数之间所有整数的和，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝，再分析计算即可．
【详解】a1＝1，
a2═3＝1＋2，
a3＝6＝1＋2＋3，
a4═10＝1＋2＋3＋4，
a5═15＝1＋2＋3＋4＋5，
…
an－1＝1＋2＋3＋…＋（n－1）＝，
an＝1＋2＋3＋…＋n＝，
，
故选B．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
8．A
【分析】连接OA、O'B、BC、AC，过点O'作O'P⊥AO于点P，，设小圆半径，则可表示出AB，进而根据△ABC∽△CDB，可求出∠BDC的正切值，进而求其余弦值即可．
【详解】解：如图，连接OA、O'B、BC、AC，过点O'作O'P⊥AO于点P，

由题意得：AO＝2BO'，
设BO'＝a，则AO＝2a，
∵AB与⊙O和⊙O'分别相切，
∴∠OAB＝∠ABO'＝90°，
∵∠APO'＝90°，
∴四边形ABO'P为矩形，
∴AP＝OP＝BO'＝a，
∵OO'＝OC+O'C＝3a，
∴AB＝O'Pa，
∵∠BDC+∠BCD＝90°，∠ABC+∠CBO'＝90°，∠BCD＝∠CBO'，
∴∠ABC＝∠BDC，
∴△ABC∽△CDB，
∴，
即BCBD，
∴CD，
∴cos∠BDC，
故选：A．
【点睛】本题考查切线的性质，作出合适的辅助线并且熟练掌握切线的性质及相似三角形的性质与判定是解题关键．
9．C
【分析】根据题意画出草图，因为C点位置待定，所以分情况讨论求解．
【详解】利用垂径定理可知：AD= ．

sin∠AOD=，∴∠AOD=60°；
sin∠AOE=，∴∠AOE=45°；
∴∠BAC=75°．
当两弦共弧的时候就是15°．
故选：C．
【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.
10．B
【分析】根据轴对称的性质，可得∠ABD=∠DBE，∠DBE=∠C，再在△ABC中，根据三角形的内角和定理可求∠C的度数．
【详解】∵A和E关于BD对称
∴∠ABD=∠DBE
∵B点和C点关于DE对称
∴∠DBE=∠C
∴∠ABD=∠DBE=∠C
设∠C=x，则∠ABC=2x
在△ABC中,x+2x+90°=180°
解得x=30°,即∠C=30°.
故选B.
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，根据轴对称的性质，证明∠ABD=∠DBE是解题的关键
11．D
【详解】试题解析：正方形的内角为
正五边形的内角为
正六边形的内角为

故选D.
点睛：多边形的内角和公式：
12．B
【分析】设应降价率为x，不妨把原价看做单位“1”．则提价25%后为1+25%，再降价率为x后价格为（1+25%）（1-x）．欲恢复原价，可得关于x的方程式，求解可得答案．
【详解】设应降价率为x，不妨把原价看做单位“1”.
则提价25%后为1+25%,再降价率为x后价格为(1+25%)(1−x).
欲恢复原价,则可列方程为(1+25%)(1−x)=1，
解得x=20%.
故选B.
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于列出方程.
13．A
【分析】设CD＝x，先根据翻折变换的性质可得到AD＝BD，则AD＝8﹣x，再根据勾股定理即可求解．
【详解】设CD＝x，则BD＝8﹣x，
∵△ADE是△BDE沿直线DE翻折而成，
∴AD＝BD＝8﹣x，
∵△ACD是直角三角形，
∴AC2＝AD2﹣CD2，即62＝（8﹣x）2﹣x2，解得x＝．
故选A．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，比较简单．
14．A
【分析】作辅助线，构建矩形的对角线，根据等边对等角得∠ABP=∠APB，由同弧所对的圆周角相等可得∠ACB=∠ACP，进而得到AF=FC．根据矩形的四个角都是直角得∠ABC=90°，AE=EF=FD得FC=2FD，∠DCF=30°，得出∠ACB=30°，求出BC的长，AD的长，再三等分即可．
【详解】解：连接AC、BD．
∵PA=AB，∴∠ABP=∠APB．
∵∠ABP=∠ACP，∠APB=∠ACB，∴∠ACB=∠ACP．
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠ACP=∠DAC，∴AF=FC．
∵AE=EF=FD，设FD=x，则FC=AF=2x．
∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，∠ABC=∠ADC=90°，∴AC为⊙O的直径．
在Rt△DFC中，FC=2FD，∴∠DCF=30°，∴∠ACB=∠ACP=30°．
∵⊙O的半径为1，∴AC=2，∴AB=1，BC=，∴AD=BC=．
∵AE=EF=FD，∴AE=．故选：A.

【点睛】本题是圆的综合题．考查了矩形，直角三角形的性质及圆周角定理，熟练掌握矩形的四个角都是直角，对角线相等且平分；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
15．A
【分析】构造如图所示的正方形，然后根据相似三角形的判定和性质解直角三角形FNP即可．
【详解】如图，延长CE，FG交于点N，过点N作，延长交于，
∴∠CMN=∠DPN=90°，
∴四边形CMPD是矩形，
根据折叠，∠MCN=∠GCN，CD=CG，，
∵∠CMN=∠CGN=90°，CN=CN，
∴，
∴，
四边形为正方形，

∴，
∴，
，，
，
设,则，
在中，由可得
解得；

故选A．
【点睛】本题考查了折叠问题，正方形的性质与判定，矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形，勾股定理等知识点的综合运用，难度较大．作出合适的辅助线是解题的关键．
16．D
【分析】化简二次函数，得，再进行分析可得答案.
【详解】解：由整理得，，不管还是，均成立，
当时，可得，得是大于0还是小于均有可能，无答案，
当时，可得，得，而开口向上，只有最小值.
综上所述本题答案是：D
【点睛】考查二次函数的图像与性质.
17．
【分析】根据多项式次数的概念，可得，求解即可，多项式中次数最高项的次数为多项式的次数．
【详解】解：由题意可得：，解得
故答案为：
【点睛】此题考查了多项式的有关概念，解题的关键是掌握多项式次数的概念．
18．甲
【分析】结合题意，根据方差的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，方差最小的是甲
∴甲适合参加决赛
故答案为：甲．
【点睛】本题考查了平均数和方差的知识；解题的关键是熟练掌握方差的性质，从而完成求解．
19．
【分析】利用被除式除以商即可求得除式．
【详解】根据题意得：

故答案为：
【点睛】本题考查了整式的除法运算，理解被除式、除式以及商之间的关系是关键．
20．
【详解】所有这些真分数分别是．它们的和是


．
21．(1)，
(2)

【分析】（1）根据已知条件列出二元一次方程组，进而求解即可；
（2）利用（1）中求得的解析式将x=-1代入即可求解．
（1）
依题意，得：

解这个方程组，得：

∴，．
（2）
∵
∴当时，
．
【点睛】本题考查二元一次方程组的运用，属于基础题．
22．1
【分析】直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【详解】

=1．
【点睛】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
23．（1）a≤1（2）a＞1．
【详解】试题分析：根据题目给定的条件，利用求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），结合数轴求a的范围即可．
解：(1)若不等式组无解，说明属于“大大小小无处找”或a=1的情形，因此a的取值范围为a≤1，数轴如下：

(2)若有解,则与(1)的情形相反，a应取⩽1以外的数，所以a的取值范围为a>1，数轴如下：

24．(1)
(2)当时，原式；当时，原式

【分析】（1）根据实数再数轴上的位置，得出，，，进而化简绝对值即可求解；
（2）根据相反数，倒数，绝对值的意义，得出，，代入代数式即可求解．
【详解】（1）解：根据数轴上的点的位置，得出，，
∴，，，
∴

；
（2）∵，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为3，
∴，，
∴当时，


，
当时，


．
【点睛】本题考查了实数与数轴，整式的加减，代数式求值，倒数的意义，相反数的定义，绝对值的意义，掌握以上知识是解题的关键．
25．(1)8.5cm
(2)枪身端点与学生额头的距离不在规定范围内，见解析

【分析】（1）过作于点，在中，根据列式求出MK即可解决问题；
（2）延长交于点，求出，在中，根据列式求出RM，然后计算出枪身端点与学生额头的距离即可．
【详解】（1）解：过作于点，由题意可知四边形为矩形，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
答：枪身的长度约为；
（2）枪身端点与学生额头的距离不在规定范围内；
理由：延长交于点，
由题意得：，，
在中，，
∴，
∴枪身端点与学生额头的距离为，
∵，
∴枪身端点与学生额头的距离不在规定范围内．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．
26．（1）抛物线的函数关系为y＝﹣x2+2x+3；直线AC的函数关系式为y＝x+1；（2）；（3）存在，（1，）或（1，1）或（1，2）或（1，﹣）
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点，设，则，由即可求解；
（3）分是斜边、是斜边、是斜边三种情况，利用勾股定理分别求解即可．
【详解】解：（1）由抛物线过点及得，
解得，
故抛物线为；
又设直线为过点及，
则，
解得，
故直线为；
（2）如图，过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点，
设，则，

，
又

，
面积的最大值为；
（3）存在，理由如下：
∵抛物线的表达式为，
∴其对称轴为，
将x＝0代入得，
∴点N的坐标为（0，3），
设点，
又∵，
∴，，，
当是斜边时，则，
解得：；
当是斜边时，则，
解得：或2；
当是斜边时，则，
解得：；
故点的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、勾股定理的应用、三角形的面积计算以及二次函数的图象性质等相关知识，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．
27．（1）0；25,（2）证明见详解;（3）满足条件s的最大值．
【分析】（1）根据定义即可求出；
（2）对任意一个四位数n=，m=根据定义求,由均为整数，也为整数,可得对任意一个四位数n，均为整数；
（3）由定义可得=,由是一个完全平方数,满足条件s的最大值只要最大即可,可求最大=9,可得9b-11为平方数，9b-11=25，解方程即可．
【详解】解：（1），，
故答案为0；25；
（2）对任意一个四位数n=，m=，
，
，
，
因为均为整数，也为整数，
所以对任意一个四位数n，均为整数；
（3），
=，
1≤a≤5， 1≤b≤5，a、b均为整数
∵是一个完全平方数，
当b=5,9b-2=43,43-9a=平方数=1,4,9,16,25,36，a=
当b=4,9b-2=34,34-9a=平方数=1,4,9,16,25，a=
当b=3,9b-2=25,25-9a=平方数=1,4,9,16, a=
当b=2,9b-2=16,16-9a=平方数=1,4,9, a=
当b=1,9b-9a-2
满足条件s的最大值只要最大即可，
∴最大=3，b=5
满足条件s的最大值．
【点睛】本题考查新定义，整式加减，一元一次方程，掌握新定义的含义，利用新定义整式为平方数构造方程是解题关键．
28．（1）y=x．（2）24．（3）y=x﹣8．（4）y=x﹣2．
【详解】解：（1）设OA的解析式为y=kx，
则3k=4，
∴k=．
∴OA的解析式为y=x．
（2）如图，延长BA交y轴于点D．

∵BA∥OC，
∴AD⊥y轴．且AD=3，OD=4．
∴AO=5，∴DB=3+6=9．
∴OC=9，又BC=OD=4．
∴COABC=OA+AB+BC+OC=5+6+4+9=24．
（3）如图

设点E的坐标为（a，4），
∴AE=a﹣3，
由（2）得AB=6，OC=9，BC=4，
∴S梯形OABC=（AB+OC）×BC=（6+9）×4=30，
∵直线l经过点D（3，0），
∴OD=3，
∵直线l将直角梯形OABC的面积分成相等的两部分，
∴S梯形OAED=S梯形OABC=×30=15，
∴S梯形OAED=（AE+OD）×BC=×（a﹣3+3）×4=15，
∴a=，
∴E（，4），
∵D（3，0），
∴直线解析式为y=x﹣8．
（4）∵COABC=24，故被l分成的两部分分别为10和14．
若l左边部分为10，则s=10﹣3=7，
∴P（5，4）．
设PD为：y=mx+n，则，
∴，
∴y=2x﹣6；
若l左边部分为14，则s=14﹣3=11，
∴P（9，4）．
∴，
∴，
∴y=x﹣2．