2023届四川省南部中学高考模拟检测（五）数学（文）试题含解析

2023届四川省南部中学高考模拟检测（五）数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：，故，故选B．

【解析】1.一元二次不等式的解法；2.集合的运算．

2．设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则

A．- 5 B．5 C．- 4+ i D．- 4 - i

【答案】A

【详解】试题分析：由题意，得，则，故选A．

【解析】1、复数的运算；2、复数的几何意义．

3．在区间上随机选取一个数，则的概率为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：在上符合的区间为,因为区间的区间长度为且区间的区间长度为,所以根据几何概型的概率计算公式可得,故选B.

【解析】几何概型

4．设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为

A．－7 B．－4 C．1 D．2

【答案】A

【分析】画图分析

【详解】画出原不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，

由题意知,当目标函数表示的直线经过点A(5，3)时，取得最小值，所以的最小值为，故选A.

【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.

5．奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】试题分析：是偶函数，则 的图象关于直线对称，又 是奇函数，则，且 是周期函数，且周期为8，所以．故选D．

【解析】函数的奇偶性，周期性．

【名师点睛】解函数问题时，有些隐含性质需我们已知条件找出，特别是周期性．当函数具有两个对称时函数一般也是周期函数．当函数是奇函数，又有对称轴时，则函数一定是周期函数，且周期为；若有两条对称轴和，则函数是周期函数，是函数的一个周期；同样若有两个对称中心 和，则函数是周期函数， 是函数的一个周期；

6．设 为等差数列的前项和，，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】根据题意求出首项和公差，再根据等差数列的通项即可得解.

【详解】设等差数列的公差为，

由，

得，解得，

所以.

故选：C.

7．若 分别是与的等差中项和等比中项， 则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据条件可得 ，，然后结合同角三角函数的关系，以及恒等变换公式化简，即可得到结果.

【详解】依题意可得 ，，

且，

所以，即，

解得

又因为，所以，

所以

故选:A

8．一艘海轮从处出发， 以每小时 40 海里的速度沿东偏南方向直线航行， 30 分钟后 到达 B 处．在 C 处有一座灯塔， 海轮在 A 处观察灯塔， 其方向是东偏南， 在 B 处观察 灯塔， 其方向是北偏东，那么 B、C 两点间的距离是（    ）

A．海里 B．海里 C．海里 D．海里

【答案】A

【分析】根据给定条件，画出图形，再利用正弦定理解三角形作答.

【详解】依题意，如图，在中，

，则，

由正弦定理得，即 ，因此（海里），

所以两点间的距离是 海里．

故选：A

9．函数在的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：函数|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，

因为，

所以排除选项；

当时，有一零点，设为，当时，为减函数，

当时，为增函数．

故选：D.

10．已知直三棱柱

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝

11．已知双曲线的左焦点为，左､右顶点分别为点是双曲线上关于轴对称的两点，且直线经过点.如果是线段上靠近点的三等分点，在轴的正半轴上，且三点共线，三点共线，则双曲线的离心率为（    ）

A．5 B． C． D．6

【答案】A

【分析】可设，根据三点共线和三点共线，得到a、c的关系，即可求出离心率

【详解】解：设，

点是双曲线上关于轴对称的两点，且直线经过点F，可得轴，

令可得，解得

可设

由是线段上靠近点的三等分点，可得，

由在轴的正半轴上，可设，

由三点共线，可得，

即为①

由三点共线，可得，

即为，②

由①②可得，

即为，即，

所以.

故选：A.

【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：

（1）直接求出a、b、c，计算离心率；

（2）根据题目的条件，找到a、b、c的关系，消去b，构造离心率e的方程或（不等式）即可求出离心率．

12．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 )

A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)

【答案】B

【详解】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，

令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，

函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，

等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，

在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）

当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，

由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．

则实数a的取值范围是（0，）．

故选B．

二、填空题

13．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则| +2 |= ______ .

【答案】

【详解】∵平面向量与的夹角为，

∴.

∴

故答案为.

点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．

(2) 常用来求向量的模．

14．过点(3，1)作圆的弦，其中最短的弦长为__________.

【答案】

【详解】最短弦为过点与圆心连线的垂线与圆相交而成，，所以最短弦长为

【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力. 圆的半径、弦心距、半弦构成的直角三角形在解决直线和圆问题常常用到，本题只需要简单判断最短弦的位置就能轻松解答,有时候可能会出现点到直线的距离公式来求弦心距的长度.

15．抛物线的焦点为，其准线与相交于A，两点，若为等边三角形，则___________.

【答案】

【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，求出AB的长，根据为等边三角形，得到关于p的方程，即可求得答案.

【详解】抛物线的焦点为，其准线为，

将与联立，得，解得，

则 ，

由于为等边三角形，故，

即，解得 ，

故答案为：6

16．设与是定义在同一区间上的两个函数， 若对任意， 都有成立， 则称和在上是 “亲密函数”， 区间称为 “亲密区间”．若与在上是 “亲密函数”，则的最大值______

【答案】4

【分析】首先表示出，令，即，解得的取值范围，即可得解.

【详解】解：因为，

若与在上是“亲密函数”，

则，即，即，

解得或，即，

所以的最大值为.

故答案为：

三、解答题

17．南中数学教研室对高二学生的记忆力 和判断力进行统计分析， 所得数据如下表所示：

(1)请画出上表数据的散点图;

(2)请根据上表提供的数据， 用最小二乘法求出 关于的线性回归方程

(3)根据 （2） 中求出的线性回归方程， 预测记忆力为 11 的学生的判断力．

(参考公式：)

【答案】(1)答案见解析

(2)

(3)

【分析】（1）根据表格直接画出散点图即可；

（2）根据公式分别计算出，即可得到线性回归防尘；

（3）根据（2）中的回归方程，将代入计算，即可得到结果.

【详解】（1）散点图如下：

（2）

，

则，

故线性回归方程为

（3）由 （2）中线性回归方程可知， 当时，，

所以预测记忆力为11的同学的判断力约为

18．已知向量，且分别为的三边所对的角．

（1）求角的大小；

（2）若成等差数列，且，求边的长．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据数量积的运算，有，因为，可求得；

（2）因为成等差数列，由正弦定理得，因为,所以可得，由余弦定理，即可解得.

【详解】（1）对于，，

∴；

由，可得，

又∵，

∴,

.

（2）由成等差数列，得；

由正弦定理得，

∵，

∴，即，

由余弦定理，

∴，

∴．

19．如图，在四棱锥中，，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】试题分析：（1）由，得，．从而得，进而而平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）设，取中点，连结，则底面，且，由四棱锥的体积为，求出，由此能求出该四棱锥的侧面积.

试题解析：（1）由已知，得，．

由于，故，从而平面．

又平面，所以平面平面．

（2）在平面内作，垂足为．

由（1）知，面，故，可得平面．

设，则由已知可得，．

故四棱锥的体积．

由题设得，故．

从而，，．

可得四棱锥的侧面积为

．

20．已知函数.

(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；

(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．

【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）由,通过讨论确定的单调性,再由单调性确定极值.

试题解析：（Ⅰ）由题意，

所以，当时，，，

所以，

因此，曲线在点处的切线方程是，

即.

（Ⅱ）因为，

所以，

，

令，

则，

所以在上单调递增，

因为，

所以，当时，；当时，.

（1）当时，，

当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增.

所以当时取到极大值，极大值是，

当时取到极小值，极小值是.

（2）当时，，

当时，，单调递增；

所以在上单调递增，无极大值也无极小值.

（3）当时，，

当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增.

所以当时取到极大值，极大值是；

当时取到极小值，极小值是.

综上所述：

当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是；

当时，函数在上单调递增，无极值；

当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.

【解析】导数的几何意义及导数的应用

【名师点睛】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值．(2)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．

21．在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|. 设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.

【答案】（Ⅰ） .(II) .

【详解】试题分析：（Ⅰ）由得,由椭圆C截直线y=1所得线段的长度为,得,求得椭圆的方程为；（Ⅱ）由,解得,确定,,

结合的单调性求的最小值.

试题解析：（Ⅰ）由椭圆的离心率为，得，

又当时，，得，

所以，

因此椭圆方程为.

（Ⅱ）设，

联立方程，

得，

由得.（*）

且，

因此，

所以，

又，

所以

整理得 ，

因为，

所以.

令，

故，

所以 .

令，所以.

当时，,

从而在上单调递增，

因此，

等号当且仅当时成立，此时，

所以，

由（*）得 且.

故，

设，

则 ，

所以的最小值为，

从而的最小值为，此时直线的斜率是.

综上所述：当，时，取到最小值.

【解析】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系

【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．常见解法：①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决；②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．

22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于两点.

(1)写出曲线C和直线l的普通方程；

(2)若点，求的值.

【答案】(1);

(2)

【分析】（1）利用极坐标和直角坐标方程得转化公式即可得出曲线C的普通方程，消去直线l参数方程中的t即可得直线l的普通方程；（2）联立直线l的参数方程和曲线C的普通方程得出关于参数的一元二次方程，利用参数的几何意义和韦达定理即可求得的值.

【详解】（1）将等号两边同时乘以可得，

所以；即；

所以曲线C的普通方程为；

将消去参数t可得，，整理得；

即直线l的普通方程为

（2）注意到在直线l上，直线倾斜角为，， ，

解得

所以直线参数方程为为参数），

联立C的直角坐标方程与l的参数方程得

整理得，

设方程的解为，则，，异号.

不妨设，，

有.

23．已知函数的最大值为.

（1）求的值；

（2）若正数，，满足，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出的最大值，让最大值等于即可得的值；

（2）由（1）知，，由利用基本不等式即可求证.

【详解】（1）由题意得，

因为函数的最大值为，所以，即.

因为，所以；

（2）由（1）知，，

因为，，，

所以，

当且仅当时，即，等号成立，

即，所以，

当且仅当时，等号成立.