2023届甘肃省兰州市第五十八中学教育集团高三下学期2月建标考试数学（文）试题含解析

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一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据交集的概念可求出结果.
【详解】由已知得，
所以.
故选：C .
2．若复数满足，其中为虚数单位，则复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由复数除法的运算法则求出复数，然后根据共轭复数的定义即可求解.
【详解】解：由题意，，所以.
故选：B.
3．已知的一个极值点为，若，则实数的值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】先求导,令导数为零,即可求参.
【详解】已知,则,
因为极值点为,可得,
即得,则,则
故选:.
4．已知实数，满足约束条件则的最小值是（ ）
A．B．C．3D．5
【答案】B
【分析】作出可行域，根据几何意义求解即可.
【详解】根据题意，画出可行域，如图中阴影部分所示.
联立方程得,所以.
由，得.
由图知，当直线过点时，取得最小值，即.
故选:B.
5．执行下边的程序框图，输出的（ ）
A．35B．56C．84D．120
【答案】B
【分析】根据程序框图，模拟程序运行即可得出结果.
【详解】第一次执行程序，，
第二次执行程序，，
以此类推，
第六次执行程序，，，
不满足，输出.
故选：B
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数诱导公式和二倍角公式直接计算即可.
【详解】．
故选：A
7．在正方体中，点P在正方形内，且不在棱上，则正确的是（ ）
A．在正方形内一定存在一点Q，使得
B．在正方形内一定存在一点Q，使得
C．在正方形内一定存在一点Q，使得平面
D．在正方形内一定存在一点Q，使得平面∥平面
【答案】A
【分析】对于A，找到特殊点，说明在正方形内一定存在一点，使得可判断 A；对于B，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断B；利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断C；利用面面平行的性质推出矛盾，判断D.
【详解】对于A，假设P为正方形的中心，Q为正方形的中心，
作，垂足分别为H，G，连接H，G，
则为矩形，
则，且H，G为的中点，连接，
则，
∵，∴，即，故A正确；
对于B，假设在正方形内存在一点Q，使得，
作，垂足分别为E，F，连接，
则为矩形，且与相交，
∴，，∴，
这与相交矛盾，故B错误；
对于C，假设在正方形内一定存在一点Q，使得平面，
平面，则，
又平面，故，
而平面平面，故，
而平面，
故平面，
∵平面，故C，D重合，与题意不符，故C错误．
对于D，在正方形内一定存在一点Q，使得平面∥平面，
由于平面平面，平面平面，
∴，而，
则Q在上，这与题意矛盾，故D错误；
故选：A．
8．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.
【详解】当时，，
当时， ，
因为函数的值域为，
所以，得，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
9．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（ ）
A．小时B．小时C．小时D．小时
【答案】B
【分析】根据题意，问题转化为求，根据圆锥体积公式计算即可.
【详解】如图，
依题意可知，
，所以，1小时小时．
故选：B．
10．已知函数的最小正周期为，且当时，函数取最小值，若函数在上单调递减，则a的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据最小正周期求出，根据当时，函数取最小值，求出，从而，由得到，由单调性列出不等式，求出，得到答案.
【详解】因为，所以，
故，所以，解得：，
因为，所以只有当时，满足要求，
故，因为，所以，
故，解得：，
故a的最小值为.
故选：A
11．对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前n项和为，则（ ）
A．2023B．2021C．1011D．1013
【答案】D
【分析】由题意，根据，得到，进而求得，作差求出通项，判断为等差数列，即可求解.
【详解】由，
得， ①
， ②
①-②得，即，，
当时，，即，也适合，
综上，，
因为
所以是以2为首项，公差为1的等差数列，
所以，所以.
故选：D.
12．已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线l经过且与C左支交于P，Q两点，P在以为直径的圆上，，则C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据P在以为直径的圆上，得到，设，，得到，由双曲线定义得到，求出，由勾股定理求出，从而求出离心率.
【详解】不妨设，，
因为P在以为直径的圆上，所以，即，则．
因为Q在C的左支上，所以，
即，解得，则．
因为，所以，即，
故，
故．
故选：A
二、填空题
13．已知向量，，且，则______．
【答案】
【分析】根据向量垂直，向量数量积的坐标表示及向量数量积的运算律即得.
【详解】向量，，且，
，
则，
故答案为：．
14．在区间上任取一个实数．使得的概率为______________．
【答案】##0.5
【分析】根据几何概型，由区间长度比求解即可.
【详解】由可得，即满足条件的，
由几何概型可得，.
故答案为：
15．兰州黄河楼，位于黄河兰州段大拐弯处，是一座讲述黄河故事的人文地标，是传承和记录兰州文化的精神产物，展现了甘肃浓厚的历史文化底蕴及黄河文化的独特魅力．某同学为了估算该楼的高度，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距90米的C、D两观测点，且C、D与黄河楼底部B在同一水平面上，在C、D两观测点处测得黄河楼顶部A的仰角分别为，并测得，则黄河楼的估计高度为_____________米．
【答案】90
【分析】根据仰角分别得出,，在中由余弦定理求解即可.
【详解】在中，，所以，
在，，所以，即，
在中，，，
由余弦定理，，
即，解得或（舍去），
即黄河楼的估计高度为米.
故答案为：
16．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则_____________．
【答案】
【分析】由题设条件得与，利用赋值法得到，从而求得当时，，再由上述两等式推得是以4为周期的函数，由此可求得的值.
【详解】因为为奇函数，则，
令，则，故，则，
令，则，
又因为为偶函数，则，
令，则，
令，则
因为，即，所以，
联立，解得，
所以当时，.
又因为，即，
则，
所以函数是以4为周期的函数，
故.
故答案为：.
三、解答题
17．在数列中，．
(1)求证：是等差数列，并求数列的通项公式．
(2)设，求数列的前n项的和．
【答案】(1)证明见解析，；
(2)
【分析】（1）根据递推关系式，由等差数列的定义、通项公式求解即可；
（2）根据裂项相消法求和即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
否则与矛盾，故，
又，∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
所以，
因此．
（2）由（1）知，
∴.
18．近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，某机构随机调查了某市2016-2022年的家庭教育支出（单位：万元），得到如下折线图.（附：年份代码1-7分别对应2016-2022年）.经计算得，，，，.
(1)用线性回归模型拟合与的关系，求出相关系数r，并说明与相关性的强弱；（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01）
(2)求出与的回归直线方程；
(3)若2024年该市某家庭总支出为10万元，预测2024年该家庭的教育支出.
附：①相关系数；
②在回归直线方程，，.
【答案】(1)，线性相关程度较高
(2)
(3)万元.
【分析】（1）由公式计算相关系数并判断相关性即可；
（2）由公式算，再由算即可；
（3）2024年对应的年份代码，代入回归方程即可得到教育支出占比，即可预测2023年该家庭的教育支出
【详解】（1）解：由题意得，，
则，故，
故，
∵，
∴与高度相关，即与的相关性很强．
（2）解：根据题意，得，
，
∴关于的回归直线方程为．
（3）解：由题知，2024年对应的年份代码，
所以，当时，，
所以，预测2024年该家庭的教育支出为（万元）．
19．如图，已知四棱锥，底面是边长为2的菱形，直线平面，，E是的中点．
(1)证明：；
(2)若，点M在平面内，直线平面，求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明，再由线面垂直的判定定理证明平面，可得线线垂直；
（2）根据面面垂直的性质可证面，得出重合，由相似可得，据此求出到底面的距离，再由棱锥体积公式求解即可.
【详解】（1）由四边形菱形，，可得为正三角形．
因为E为的中点，所以．
又，因此．
因为平面平面，所以．
而平面平面且，
所以平面．
又平面．
所以．
（2）连接交于O，连接，如图，
因为，平面，
所以面，又面
所以面面，
过A作交于点N，则面，由平面知重合，
因为，所以，
又，所以，因此，
∴点M到底面的距离为，又
∴.
20．设粗圆的左焦点为F，上顶点为P，离心率为．O是坐标原点，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)A、B分别是椭圆长轴的左右两个端点，过点的直线交椭圆于M、N两点（与A、B均不重合），设直线的斜率分别是．讨论是否为定值，若是求出定值，若不是请说明理由．
【答案】(1)
(2)是，．
【分析】（1）根据椭圆离心率及建立方程求出即可得解；
（2）设直线方程，联立椭圆方程，消元后由根与系数关系，斜率公式化简即可得出.
【详解】（1）设椭圆C的焦距为，则，所以
因为，所以，
又，所以，即，
所以
所以
（2）由题意设直线，
联立，消去x，得，
则，
所以
.
21．已知函数.
（1）求函数的图像在点处的切线方程；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.
【答案】（1）；（2）3.
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）根据题意得对任意恒成立，进而令，求导研究函数最值即可.
【详解】解：（1）因为，所以，
函数的图像在点处的切线方程；
（2）由（1）知，，所以对任意恒成立，
即对任意恒成立.
令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增.
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足.
当时，，即，当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以.
所以.
故整数的最大值是3.
【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)设射线的极坐标方程为，射线与曲线C交于两点O、A，与直线l交于点B，且，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）参数方程与极坐标方程的相互转化，先将参数方程化为直角坐标方程，将代入化简即可；
（2）利用极坐标方程联立解出,代入化简求解即可.
【详解】（1）曲线C的参数方程：（为参数），
转换为直角坐标方程为，
即，
根据，转换为极坐标方程为.
（2）将射线的极坐标方程，代入中，
得，即，
将射线的极坐标方程，代入中，
得，即，
∵，
∴，整理得，
∵，
∴.
23．已知函数．
(1)当时，解不等式；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用零点分区间法去绝对值号，解不等式即可；
（2）利用绝对值三角不等式得到，直接解不等式，即可求出实数a的取值范围.
【详解】（1）当时，．
当时，令，解得；
当时，恒成立；
当时，令，解得．
综上，当时，不等式的解集为．
（2）因为，
当且仅当即时等号成立，
所以，解得或．
故实数a的取值范围为．