2023年山西省太原市第五中学校中考二模数学试题

这是一份2023年山西省太原市第五中学校中考二模数学试题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山西省太原市第五中学校中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（    ）

A． B． C． D．
3．国庆节假期间，各旅游景区节庆氛围浓厚，某景区同步设置的“我为祖国点赞”装置共收集约639000个“赞”，这个数字用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列四个图形中，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠后，ED与BF交于G点，若∠EFC＝130°，则∠BGE的度数为（　　）

A．105° B．100° C．110° D．130°
6．解方程组用①－②，得（    ）
A． B． C． D．
7．如下图，数轴上点所表示的数是（    ）

A． B． C． D．
8．在一个不透明的袋子里装有5个小球，每个球上都写有一个数字，分别是1，2，3，4，5，这些小球除数字不同外其它均相同．从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为（    ）
A． B． C． D．
9．如图，已知平行四边形的顶点，，，，点在轴正半轴上，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；②连接，交于点，交轴于点，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（  ）
A．15° B．45° C．30° D．60°
11．如图①，在▱ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y，y是x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a值为（　　）

A．3 B．4 C．14 D．18
12．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD折叠后，A点的对应点落在CD边上，EF为折痕，A和EF交于G点，当AG+BG取最小值时，此时EF的值为（　　）

A． B．3 C．2 D．5

二、填空题
13．计算：40372﹣8072×2019＝_____．
14．已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是______．
15．若n边形的每个内角都等于，则n＝________．
16．已知m是方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根，则代数式11+5m﹣m2的值是___．
17．AB两地相距20km，甲从A地出发向B地前进，乙从B地出发向A地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以8km/h的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲乙两人离A地的距离S（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发____小时后与乙相遇．

18．已知反比例函数，当2≤x＜5时，y的取值范围是______．

三、解答题
19．计算：．
20．解不等式组：，并求出最小整数解与最大整数解的和．
21．如图，在平行四边形ABCD中，点F是边AD的中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E，连接AC，DE．求证：

(1)；
(2)四边形ACDE是平行四边形．
22．某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．
(1)问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？
(2)该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
23．如图，在的外接圆中，弦平分，，过点B作圆的切线，交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）已知，，，求的长．

24．早在年已提出基础教育课程改革，简称“新课改”，到目前仍有一些学校没有进行课程改革，现在某市某镇进行调查，从该镇某校随机选取同年级的共名学生，平均放在甲、乙两校进行学习（甲校名，乙校名），甲校使用新课改下的教育方法学习，乙校仍使用老方法教育学生，经过一学期的学习，进行同一张试卷测试，根据学生的成绩把学生划分成A，B，C，D，E五个等级（甲、乙的等级划分标准相同，每组数据包括左端点不包括右端点）．画出统计图如下：

(1)补齐直方图，求a的值及相应扇形的圆心角度数；
(2)选择合适的统计量，比较甲乙两校的教学质量，并说明试验结果；
(3)请你结合甲乙两校的试验结果进行简要分析，如果你去上学，你会选择哪个学校？
25．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C（1，4）、D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC、OD（O是坐标原点）．
（1）求△DOC的面积；
（2）将直线AB向下平移多少个单位长，直线与反比例函数图像只有1个交点？
（3）双曲线上是否存在一点P，使△POC与△POD的面积相等？若存在，给出证明并写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

26．如图，在中，，为边上的点，将绕逆时针旋转得到．
（1）如图1，若．
①求证：；
②直接写出与的数量关系为　　 ；
（2）如图2，为边上任意一点，线段、、是否满足（1）中②的关系，请给出结论并证明．

27．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点A在点的左侧），与轴交于点，连接、，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当的值最大时，求点的坐标和的最大值；
(3)如图2，把抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，是新抛物线上一点，是新抛物线对称轴上一点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点坐标，并把求其中一个点坐标的过程写出来．

参考答案：
1．B
【分析】求一个分数的倒数，只须把个分数的分子和分母交换位置即可．
【详解】解：的倒数是；
故选B．
【点睛】本题考查倒数的概念，理解“求一个分数的倒数，只须把个分数的分子和分母交换位置”即可得出答案．
2．B
【分析】根据从上面看到的图形即为俯视图进一步分析判断即可.
【详解】从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三视图的判断，熟练掌握相关方法是解题关键.
3．D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：639000＝6.39×105，
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，解题的关键是掌握确定a和n的值的方法．
4．B
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
5．B
【分析】由长方形的对边平行得到： 利用平行线的性质得到∠DEF＝180°﹣∠EFC＝50°，∠BGE＝∠D′EG，根据折叠的性质得到∠GEF＝∠D′EF＝50°，那么∠D′EG＝100°，即可确定出∠BGE的度数．
【详解】解：如图，标注字母
∵DE∥CF，
∴＝180°﹣∠EFC＝180°﹣130°＝50°，∠BGE＝∠D′EG，
由折叠的性质得到∠GEF＝∠D′EF＝50°，
∴∠D′EG＝∠D′EF+∠GEF＝100°，
则∠BGE＝100°．
故选：B．

【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
6．C
【分析】根据加减消元法的方法，即可判断．
【详解】解：方程组，
①﹣②得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元的方法是解题的关键．
7．D
【分析】先根据勾股定理计算出BC=，则BA =BC=，然后计算出AD的长，接着计算出OA的长，即可得到点A所表示的数．
【详解】解：如图，BD＝1-（-1）＝2，CD＝1，
∴BC=，
∴BA＝BC＝，
∴AD=-2，
∴OA=1+-2=-1，
∴点A表示的数为-1．
故选：D．

【点睛】本题考查了实数与数轴上的点的一一对应关系．也考查了勾股定理．
8．C
【分析】通过列举的方法将所有可能的情况一一列举，进而找出小球上的数字都是奇数的情况即可求出对应概率．
【详解】所有可能出现的情况列举如下：
；；；
；；
；

共10种情况，
符合条件的情况有：；；；共3种情况；
小球上的数字都是奇数的概率为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了简单概率的求解方法，通过列举法列举出等可能的情况是解决本题的关键．
9．B
【分析】先计算出BC=2，再根据平行四边形的性质得到OA=2，接着利用基本作图得到EF垂直平分OA，则OE=1，∠OEF=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出OF，从而得到F点坐标．
【详解】解：∵，，
∴，
∵四边形AOBC为平行四边形，
∴OA=BC=2，
由作法得EF垂直平分OA，
∴OE=1，∠OEF=90°，
∵∠AOB=60°，
∴∠OFE=30︒
∴OF=2OE=2，
∴F点坐标为（2，0）．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的基本性质与基本作图（作已知线段的垂直平分线）．根据作图过程得出是已知直线的垂直平分线是解题的关键．
10．D
【分析】根据直角三角形的边角关系，求出tanB的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵tanB=，
∴∠B=60°，
故选：D．
【点睛】考查直角三角形的边角关系，特殊锐角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答的前提．
11．A
【分析】由图②知，BC=6，CD=14-6=8，BD=18-14=4，再通过解直角三角形，求出△CBD高，进而求解．
【详解】解：由图②知，BC=6，CD=14-6=8，BD=18-14=4，
过点B作BH⊥DC于点H，

设CH=x，则DH=8-x，
则BH2=BC2-CH2=BD2-DH2，即：BH2=42-（8-x）2=62-x2，
解得：
则：，
则，
故选：A．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
12．A
【分析】过点作于，由翻折的性质知点为的中点，则为的中位线，可知在上运动，当取最小值时，此时与重合，利用勾股定理和相似求出的长即可解决问题．
【详解】解：过点作于，
将矩形折叠后，点的对应点落在边上，
点为的中点，
为的中位线，
在上运动，
在上运动，
当取最小值时，此时与重合，

，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明在上运动．
13．1
【分析】把8072×2019变为4038×4036，再套用平方差公式计算得结果．
【详解】解：原式＝40372﹣2×4036×2019
＝40372﹣4036×4038
＝40372﹣（4037﹣1）（4037+1）
＝40372﹣（40372﹣1）
＝1
故答案为：1
【点睛】本题考查是乘法公式和巧算，能够熟练运用乘法公式进行巧算是解题的关键.
14．
【分析】坡度=坡角的正切值，据此直接解答．
【详解】解：∵，
∴坡角=30°．
【点睛】此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握．
15．6
【分析】多边形的内角和公式为，因为多边形的每个内角均，所以内角和又可表示成．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．
【详解】解：解法一：，
解得；
解法二： 正n边形的每个内角都等于，
正n边形的每个外角都等于，
又因为多边形的外角和为，
即，
．
故答案：6．
【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，掌握多边形的边数与内角和及外角的关系是解题的关键．
16．5
【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2-5m=6，然后把m2-5m=6代入11+5m-m2中进行整式的运算即可．
【详解】解：∵m是方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根，
∴m2﹣5m﹣6＝0，
∴m2﹣5m＝6，
∴11+5m﹣m2＝11﹣（m2﹣5m）＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法解决此类问题．
17．2
【分析】根据函数图象求出甲减速后的速度和乙的速度，然后根据相遇问题的等量关系列方程求解即可.
【详解】解：由函数图象可得：甲减速后的速度为：（20－8）÷（4-1）＝4km/h，
乙的速度为：20÷5＝4km/h，
设甲出发x小时后与乙相遇，
由题意得：8+4(x-1)+4x＝20，
解得：x=2，
即甲出发2小时后与乙相遇，
故答案为：2.
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息以及一元一次方程的应用，能够根据函数图象求出甲减速后的速度和乙的速度是解题的关键.
18．﹣5≤y＜﹣2
【分析】求出x=2和x=5对应的y的值，再根据x的范围求出答案即可．
【详解】解：把x＝2代入y＝﹣得：y＝﹣5，
把x＝5代入y＝﹣得：y＝﹣2，
所以当2≤x＜5时，y的取值范围是﹣5≤y＜﹣2，
故答案为：﹣5≤y＜﹣2；
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
19．
【分析】根据特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】解：



【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，化简绝对值是解题的关键．
20．，6
【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，即可求出答案．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为，
的最小整数为，最大整数为8，
的最小整数解与最大整数解的和为6．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．
21．(1)见解析；
(2)见解析

【分析】（1）通过平行四边形的对边平行可以得到∠EAF＝∠CDF，通过点F是边AD的中点，可以得到AF＝DF，再加上一组对顶角相等，即可证得；
（2）通过可以得到AE＝DC，通过一组对边平行且相等即可证得四边形ACDE是平行四边形．
【详解】（1）解：∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠EAF＝∠CDF，
∵点F是边AD的中点，
∴AF＝DF，
在△AFE和△DFC中，
，
∴△AFE≌△DFC（ASA）；
（2）∵△AFE≌△DFC，
∴AE＝DC，
∵AE∥DC，
∴四边形ACDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握它们各自的性质．
22．(1)购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元；
(2)该校此次最多可购买20个B品牌篮球．

【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元，由题意：购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50-a）个，根据购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元，
由题意得：
，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
则x+30=80．
答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元．
（2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50-a）个，
由题意得：50×（1+8%）（50-a）+80×0.9a≤3060，
解得：a≤20，
答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球．
【点睛】此题考查分式方程的应用与一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）设与的交点为F，连接，由等腰三角形三线合一性质，可知，，继而证明是直径，再由切线的性质，得到，最后根据平行线的判定方法解题；
（2）在中，由正弦的定义解得，再由余弦定义解得的长，最后由正切定义，即可解得的长．
【详解】（1）证明：设与的交点为F，连接，

∵，
是等腰三角形
平分，
∴，，
∴是直径，
∵是的外接圆的切线，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
【点睛】本题考查圆的综合，涉及等腰三角形三线合一性质、切线性质、平行线判定、锐角三角函数、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.
24．(1)见解析，，
(2)见解析
(3)甲校

【分析】（1）由图中的数据，易求出B等级的人数为6名，，相应扇形的圆心角为：．
（2）进行样本比较，能估算总体，一般选择平均数或方差比较．
（3）思想积极，言之有理即可．
【详解】（1）（名）
即B等级的人数为6名．
，即，
相应扇形的圆心角为：．

（2），
，
，由样本估计总体的思想，说明通过新课改下的教育方法甲校的教学质量高于乙校教学质量．
（3）由（2）可知，通过新课改下的教育方法甲校的教学质量高于乙校教学质量，应选甲校．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、平均数的求法，由样本估计总体的思想，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
25．（1）；（2）1或9；（3）存在，或
【分析】（1）把C（1，4）代入y=求出k=4，把（4，m）代入y=求出m即可，将A、C两点坐标代入，获得直线解析式，然后利用，代入即可求解；
（2）设平移后的解析式为，而当直线与反比例函数只有一个交点时，两者相切，联立平移后的直线和反比例函数解析式，形成的新的方程的判别式为0，代入数值即可求解；
（3）双曲线上存在点P，使得S△POC=S△POD，这个点就是∠COD的平分线与双曲线的y=交点，易证△POC≌△POD，则S△POC=S△POD．
【详解】（1）把C（1，4）代入y=，得k=4，
把（4，m）代入y= ，得m=1；
∴反比例函数的解析式为y= ，m=1；
把C（1，4），D（4，1）代入y=ax+b得出，
解得，
∴一次函数的解析式为
当x=0时，y=5；当y=0时，x=5，即A点坐标为（5，0），B点坐标为（0，5）
∴
∴；
（2）设平移后的解析式为
∵直线与反比例函数图像只有1个交点
∴平移后的直线和反比例函数相切，即联立形成的方程判别式为0
∴联立平移后的直线和反比例函数解析式，得，
∴整理得：
∴，整理得
解得或9
∴直线AB向下平移1或9个单位，直线与反比例函数图像只有1个交点
（3）双曲线上存在点P（2，2），使得S△POC=S△POD，理由如下：
∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），
∴OD=OC=，
∴当点P在∠COD的平分线上时，∠COP=∠POD，又OP=OP，
∴△POC≌△POD，∴S△POC=S△POD．
∵C点坐标为：（1，4），D点坐标为：（4，1），
可得∠COB=∠DOA，
又∵这个点是∠COD的平分线与双曲线的y=交点，
∴∠BOP=∠POA，
∴P点横纵坐标坐标相等，
即xy=4，x2=4，∴x=±2，
∵x＞0，
∴x=2，y=2，
故P点坐标为（2，2），使得△POC和△POD的面积相等．
利用点CD关于直线y=x对称，得到另一点坐标为
综上所述，P点坐标为或．
【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质，掌握一次函数、反比例函数与一元二次方程的关系．
26．（1）①见解析；②；（2）满足，见解析
【分析】（1）①证明△BDE≌△BDA，可得结论．
②利用全等三角形的性质,30°所对直角边等于斜边的一半以及勾股定理即可解决问题．
（2）能满足（1）中的结论．将绕点顺时针旋转得到，使与重合，连接，，，设交于点．利用直角三角形30度角的性质以及勾股定理解决问题即可．
【详解】（1）①证明：如图1中，

∵
∴，
∵
∴，
∴，
由旋转得：，
∴，
∴．
②解：∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）能满足（1）中的结论．
理由：将绕点顺时针旋转得到，使与重合，连接，，，设交于点．

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同法可证，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，30°角所对直角边等于斜边的一半，勾股定理，旋转，三角形的相似，三角形的全等，特殊角的三角函数，灵活运用旋转，证明三角形的相似，用好勾股定理是解题的关键．
27．(1)
(2)，的最大值为
(3)或或，过程见解析

【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）运用待定系数法求得直线的解析式为，如图1，过点P作轴交于点D，设，则，证明，得出：，运用求二次函数最值方法即可得出答案；
（3）设，，分三种情况：①当为的边时，②当为的边时，③当为的对角线时，运用平行四边形性质即可求得答案．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于、两点（点A在点B的左侧），
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：抛物线与y轴交于点C，
，
，
设直线的解析式为，把，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
如图1，过点P作轴交于点D，

设，则，
，
，
，
，
当时，取得最大值，此时，；
（3）解：如图2，沿射线方向平移个单位，即向右平移1个单位，向上平移2个单位，
新抛物线解析式为，对称轴为直线，
设，，
①当为的边时，
则，，
，
解得：，

；
②当为的边时，
则，，
，
解得：，
；
③当为的对角线时，
则，
解得：，
；
综上所述，N点的坐标为： 或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握铅锤法、中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．