江西省南昌市第三中学教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

江西省南昌市第三中学教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列式子中，一定是二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

2．若 三边的比值为1 ：1： ，则 是 （　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

3．下列计算中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4．如图，在平行四边形中，，，，则的周长是（    ）

A． B． C． D．

5．在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，则方案正确的是（    ）

A．甲对 B．乙对 C．两人都对 D．两人都不对

6．如图，在边长为4的等边中，D 是的中点，点E在线段上，连接，在的下方作等边，连接，当最小时，的长度为（     ）．

A． B．2 C． D．3

二、填空题

7．计算：的结果为___．

8．下列是最简二次根式的有______．

①；②；③；④．

9．如图，数轴上点B表示的数为2，过点B作于点B，且，以原点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点A，则点A表示的实数是_______．

10．在平面直角坐标系中，已知点，则以为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为_______．

11．如图，在中，，，是边上的中线，是外角的平分线，以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点G，交于点H．再分别以点G、H为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点Q，连接并延长与交于点F，则的长度为_______．

12．在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于  ______________.

三、解答题

13．计算：

(1)

(2)．

14．已知，，求下列代数式的值：

(1)；

(2)．

15．如图，在中，，C是上一点，，，，求和的长．

16．在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．

17．图1，图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．

(1)在图1中画出等腰直角三角形，使点N在格点上，且；

(2)在图2中以格点为顶点画出一个正方形，使正方形的面积等于（1）中等腰直角三角形面积的4倍．

18．如图，已知中，，是上一点，且，．

(1)求证：是直角三角形；

(2)求的长．

19．某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为，

(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）

(2)除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？

20．观察下列等式：

①；②________；③________；…

写出第n个等式，并证明．

21．如图1所示：在中，点D、E分别是的中点，

(1)直接写出与的之间的关系：__________．

(2)如图2，点D、E、F分别是三边中点，图中有________个平行四边形；

(3)如图3，点P、Q、R、S分别是四边形的中点，问图中是否有平行四边形，请指出并证明你所指出的四边形是平行四边形．

22．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个．

②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系．

(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________．

23．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．

性质：“朋友三角形”的面积相等．

如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且．

应用：如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90，ADBC，AB＝AD＝4，BC＝6，点E在BC上，点F在AD上，BE＝AF，AE与BF交于点O．

(1)求证：△AOB和△AOF是“朋友三角形”；

(2)连接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE的面积．

(3)拓展：如图3，在△ABC中，∠A＝30，AB＝8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到，若与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，则△ABC的面积是 　 　（请直接写出答案）．

参考答案：

1．C

【分析】根据被开方数为非负数，再列不等式，逐一分析即可．

【详解】解：A、当，它不是二次根式，故本选项不符合题意．

B、当时，则它无意义，故本选项不符合题意．

C、由于x2+1＞0，所以它符合二次根式的定义，故本选项符合题意．

D、当时，它无意义，故本选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】考查了二次根式的定义，解此类题目的关键是理解被开方数是非负数．

2．D

【分析】根据题意设出三边分别为k、k、，然后利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，又由题意知有两条边相等，所以该三角形为等腰直角三角形．

【详解】解：设三边分别为k、k、，

，

是直角三角形，

有两条边的比为1：1，

是等腰直角三角形．

故选D．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定，利用设k法与勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形是解题的关键．

3．D

【分析】根据二次根式的计算公式及完全平方公式，平方差公式计算每一项即可．

【详解】解：A选项：不是同类二次根式无法合并，故错误；

B选项：，故错误；

C选项：，故错误；

D选项：，正确；

故选D．

【点睛】本题主要考查二次根式的计算，能够熟练根据公式计算二次根式是解题关键．

4．A

【分析】根据平行四边形对角线互相平分即可得出答案．

【详解】解：∵平行四边形中，，，

∴，，

∴的周长，

故选：A．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解本题的关键．

5．A

【分析】根据图形列代数式即可得出结果．

【详解】解：甲得出的结果为：，

即，符合题意；

乙得出的结果为：，不符合题意；

故选：A．

【点睛】题目主要考查根据图形列代数式及勾股定理与完全平方公式的验证，理解题意，结合图形求解是解题关键．

6．C

【分析】连接，证得，通过全等的性质，再利用点到线的距离垂线段最短以及勾股定理进行计算即可得出答案．

【详解】解：连接

等边边长为4，D 是的中点，，

，，，

在和中，

，

，，

当最小时，，

此时，

在中，

故选：C

【点睛】本题考查了等边三角形、全等三角形的判定和性质，以及直角三角形角的性质和勾股定理，牢固掌握这些性质是解题的关键．

7．1

【分析】把除法变成乘法，再根据二次根式的乘法法则计算即可．

【详解】解：

．

故答案为：1．

【点睛】本题考查了二次根式的乘除，把运算统一到乘法上是解题的关键．

8．②④/④②

【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．

【详解】解：＝2，的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，

是最简二次根式，

＝，被开方数中含分母，不是最简二次根式，

是最简二次根式，

所以最简二次根式有②④，

故答案为：②④．

【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，满足以下两个条件的二次根式叫最简二次根式，被开方数中不含分母，也不含开得尽的因数或因式，能够熟记最简二次根式的定义是解题的关键．

9．

【分析】直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案．

【详解】解：，

，

是直角三角形，

，，

，

点表示的实数是：．

故答案为：．

【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．

10．

【分析】根据题意画出图形，根据平行四边形的性质将点向右平移4个单位得到，即可求解．

【详解】解：∵点，是平行四边形，

∴，

将点向右平移4个单位得到

如图所示，

故答案为：．

【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，数形结合是解题的关键．

11．

【分析】由等腰三角形的性质得，，勾股定理求出，是的平分线和作图证是等腰直角三角形，然后解三角形即可求出的长.

【详解】解：，

是等腰三角形，是边上的中线，

是边上的高和的平分线，

，，，

∴

∵是的平分线

，

由作图可知是的平分线

故答案为：8．

【点睛】本题考查了作图——基本作图、等腰三角形的判定、等腰直角三角形、勾股定理；解决本题的关键是掌握画一个角的平分线的方法．

12．或

【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，分点E在AB上或AB的延长线上两种情况，分别利用三角函数求出AE、DE的长，利用勾股定理求出BE的长，继而可得AB的长，然后利用平行四边形的面积公式进行求解即可.

【详解】过点D作DE⊥AB，垂足为E，

如图1，点E在AB上，

∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=，AE=ADcos30°=6，

在Rt△DBE中，BE=，

∴AB=AE+BE=8，

∴平行四边形ABCD的面积为；

如图2，点E在AB的延长线上，

∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=，AE=ADcos30°=6，

在Rt△DBE中，BE=，

∴AB=AE-BE=4，

∴平行四边形ABCD的面积为，

故答案为或.

【点睛】本题考查了解直角三角形，平行四边形的面积，正确地画出图形是解题的关键.

13．(1)

(2)

【分析】（1）先利用二次根式的性质进行化简，然后合并同类二次根式，最后进行除法运算即可；

（2）先分别进行负整数指数幂，算术平方根，零指数幂的运算，然后进行加减运算即可．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

；

【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减运算，二次根式的除法运算，负整数指数幂，算术平方根，零指数幂等知识．解题的关键在于正确的运算．

14．(1)

(2)4

【分析】（1）先求出，再根据进行求解即可；

（2）先根据完全平方公式的变形求出，再由进行求解．

【详解】（1）解：∵，，

∴

∴

；

（2）解：∵，

∴，

∴

．

【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，分式的求值，正确根据题意得到是解题的关键．

15．，

【分析】根据直角三角形的性质和勾股定理求解即可．

【详解】解：∵，，

∴，

∵，

∴，

∴在中，由勾股定理得：，

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟记知识点是解题关键．

16．（1）见解析；（2）3

【分析】（1）根据两组对边分别平行证明该四边形为平行四边形．

（2）利用等面积法求出CD长．

【详解】（1）

证明：∵AD//BC，

∴∠BAD+∠B＝180°，

∵∠B＝∠D，

∴∠BAD+∠D＝180°，

∴AB//CD，

又∵AD//BC，

∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，

∴平行四边形的面积＝BC×AE＝CD×AF，

∵AF＝2AE，

∴BC＝2CD＝6，

∴CD＝3．

【点睛】本题考查平行四边形的判定和等面积法的使用，掌握这两点是解题关键．

17．(1)见解析

(2)见解析（答案不唯一）

【分析】（1）利用勾股定理可得，从而可得，结合网格特点找出点即可得；

（2）先求出正方形的边长为，再结合网格特点和勾股定理画图即可得．

【详解】（1）解：如图，等腰直角三角形即为所求．

（2）解：（1）中等腰直角三角形的面积为，

则正方形的面积为，它的边长为，

如图，正方形即为所求．

【点睛】本题考查了勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握勾股定理与网格特点的结合是解题关键．

18．(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断即可；

（2）根据，，可得，由（1）可知，在中，由勾股定理可得，即可解出的长．

【详解】（1）解：∵，，，

∴，，

∴，

∴是直角三角形．

（2）解：∵，，

∴，

∵是直角三角形，

∴，

∵在中，，，

∴，

∴解得．

【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练应用勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．

19．(1)

(2)6600元

【分析】（1）根据矩形周长公式列式计算即可；

（2）用绿地面积减花坛面积差乘以50元，列式计算即可．

【详解】（1）解：长方形的周长，

答：长方形的周长是；

（2）解：购买地砖需要花费

（元）

答：购买地砖需要花费6600元．

【点睛】本题考查二次根式的应用，根据题意列出版算式和掌握二次根式运用法则是解题的关键．

20．②4；③5；，证明过程见解析

【分析】观察等式的规律，写出等式，将多项式乘多项式展开，化简，根据化简即可得出答案．

【详解】解：，，

故答案为：②4；③5，

，证明如下，

．

【点睛】本题考查了探索规律，二次根式的乘除法，根据化简即可得出答案．

21．(1)；；

(2)3；

(3)有1个平行四边形，证明见解析；

【分析】（1）根据三角形中位线定理解答即可；

（2）根据平行四边形的判定解答即可；

（3）根据平行四边形的判定和三角形中位线定理解答即可．

【详解】（1）为的中位线，

，，

故答案为：；；

（2）点，，分别是三角形三边的中点，

，，，

四边形和四边形和四边形是平行四边形，

故答案为：3；

（3）证明：图中只有1个平行四边形，

连接，

点，，，分别是四边形四边的中点，

，，，，

，，

四边形是平行四边形．

【点睛】此题考查四边形的综合题，关键是根据三角形中位线定理和平行四边形的判定解答．

22．(1)①3；②满足，证明见解析

(2)

【分析】（1）设两直角边分别为，，斜边为，用，，分别表示正方形、圆、等边三角形的面积，根据，求解之间的关系，进而可得结果；②根据，，，可得；

（2）由题意知，，，，，，代入求解即可．

【详解】（1）①解：设两直角边分别为，，斜边为，

则图2中，，

∵，

∴，故图2符合题意；

图3中，，，，

∵，

∴，故图3符合题意；

图4中，，，，

∵，

∴，故图4符合题意；

∴这3个图形中面积关系满足的有3个，

故答案为：3；

②解：满足，证明如下：

由题意知，，，

∴；

（2）解：由题意知，，，，，，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了勾股定理，勾股树．解题的关键在于正确的表示各部分的面积．

23．(1)见解析

(2)12

(3)8或

【分析】（1）由AAS证明△AOF≌△EOB，得出OF=OB，AO是△ABF的中线，即可得出结论；

（2）△AOE和△DOE是“朋友三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE和梯形ABCD的面积，根据即可求解．

（3）画出符合条件的两种情况：①求出四边形是平行四边形，求出BC和推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出的面积．即可求出△ABC的面积

【详解】（1）∵ADBC，

∴∠OAF=∠OEB，

在△AOF和△EOB中，

，

∴△AOF≌△EOB（AAS），

∴OF=OB，

则AO是△ABF的中线．

∴△AOB和△AOF是“朋友三角形”；

（2）∵△AOF和△DOF是“朋友三角形”，

∴，

∵△AOF≌△EOB，

∴，

∵△AOB和△AOF是“朋友三角形”

∴，

∴=×4×1=2，

∴四边形CDOE 的面积= =×（4+6）×4-2×2×2=12；

（3）分为两种情况：①如图1所示：

∵．

∴AD=BD=AB=4，

∵沿CD折叠A和重合，

∴AB=×8=4，

∵与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，

∴

∴DO=OB，O=CO，

∴四边形DCB是平行四边形，

∴BC=D=4，

过B作BM⊥AC于M，

∵AB=8，∠BAC=30°，

∴BM=AB=4=BC，

即C和M重合，

∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=，

∴△ABC的面积=×BC×AC=×4×4=8

②如图2所示：

∵．

∴AD=BD=AB，

∵沿CD折叠A和A′重合，

∴AD=D=AB=×8=4，

∵与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，

∴，

∴DO=O，BO=CO，

∴四边形BDC是平行四边形，

∴C=BD=4，

过C作CQ⊥D于Q，

∵C=4，∠DC=∠BAC=30°，

∴CQ=C=2，

∴；

即△ABC的面积是8或8．

故答案为：8或．

【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了平行四边形性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．