江西省南昌三中教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

2022-2023学年江西省南昌三中教育集团八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列式子中，一定是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若三边的比值为：：，则是(    )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形

3.  下列计算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，在平行四边形中，，，，则的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，则方案正确的是(    )

A. 甲对 B. 乙对 C. 两人都对 D. 两人都不对

6.  如图，在边长为的等边中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接，当最小时，的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  计算：的结果为______．

8.  下列是最简二次根式的有______．
；；；．

9.  如图，数轴上点表示的数为，过点作于点，且，以原点为圆心，为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点，则点表示的实数是          ．

10.  在平面直角坐标系中，已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为______ ．

11.  如图，在中，，，是边上的中线，是外角的平分线，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长与交于点，则的长度为______ ．

12.  在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积等于______．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
计算：
；
．

14.  本小题分
已知，，求下列代数式的值；
；
．

15.  本小题分
如图，在中，，是上一点，，，，求和的长．

16.  本小题分
在四边形中，已知，，于点，于点．
求证：四边形是平行四边形；
若，，求的长．

17.  本小题分
图，图是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点．

在图中画出等腰直角三角形，使点在格点上，且；
在图中以格点为顶点画出一个正方形，使正方形的面积等于中等腰直角三角形面积的倍．

18.  本小题分
如图，已知中，，是上一点，且，．
求证：是直角三角形；
求的长．

19.  本小题分
某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为．
长方形的周长是多少？结果化为最简二次根式
除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？

20.  本小题分
观察下列等式：
； ______ ； ______ ；
写出第个等式，并证明．

21.  本小题分
如图所示：在中，点、分别是，的中点，
直接写出与之间的关系：______ ．
如图，点、、分别是三边中点，图中有______ 个平行四边形；
如图，点、、、分别是四边形的中点，问图中是否有平行四边形，请指出并证明你所指出的四边形是平行四边形．

22.  本小题分
勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理在我国古书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”如图，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

如图，，，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这个图形中面积关系满足的有______ 个
如图，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案图中阴影部分的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系．
如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，则 ______ ．

23.  本小题分
定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．
性质：“朋友三角形”的面积相等．
如图，在中，是边上的中线．
那么和是“朋友三角形”，并且．
应用：如图，在直角梯形中，，，，，点在上，点在上，，与交于点．
求证：和是“朋友三角形”；
连接，若和是“朋友三角形”，求四边形的面积．
拓展：如图，在中，，，点在线段上，连接，和是“朋友三角形”，将沿所在直线翻折，得到，若与重合部分的面积等于面积的，则的面积是______请直接写出答案．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、当，它不是二次根式，故本选项不符合题意；
B、当时，则它无意义，故本选项不符合题意；
C、由于，所以它符合二次根式的定义，故本选项符合题意；
D、当时，它无意义，故本选项不符合题意；
故选：．
根据被开方数为非负数，再列不等式，逐一分析即可．
本题考查了二次根式的定义，掌握被开方数是非负数是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：设三边分别为、、，
，
是直角三角形，
有两条边的比为：，
是等腰直角三角形．
故选：．
根据题意设出三边分别为、、，然后利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，又由题意知有两条边相等，所以该三角形为等腰直角三角形．
本题考查了等腰直角三角形的判定，利用设法与勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项：不是同类二次根式无法合并，故错误；
选项：，故错误；
选项：，故错误；
选项：，正确；
故选D．
根据二次根式的计算公式及完全平方公式，平方差公式计算每一项即可．
本题主要考查二次根式的计算，能够熟练根据公式计算二次根式是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，，
，，
，
的周长为．
故选A．
构建平行四边形的性质对角线互相平分，求出、即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、三角形周长等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线相互平分，属于基础题，中考常考题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：甲得出的结果为：，
即，
符合题意；
乙得出的结果为：，
不符合题意；
故选：．
根据图形列代数式即可得出结果．
本题主要考查根据图形列代数式及勾股定理与完全平方公式的验证，理解题意，结合图形求解是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，

等边边长为， 是的中点，，
，，，
在和中，
，
≌，
，，
当最小时，，
此时，
在中，，
．
故选：．
连接，证得≌，通过全等的性质，再利用点到线的距离垂线段最短以及勾股定理进行计算即可得出答案．
本题考查了等边三角形、全等三角形的判定和性质，以及直角三角形角的性质和勾股定理，牢固掌握这些性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：原式，
，
，
故答案为：．
先把除法变成乘法，再根据乘法法则进行计算即可．
本题考查了对二次根式的乘除法则的应用，主要考查学生运用法则进行计算的能力．
 

8.【答案】， 

【解析】解：，的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，
是最简二次根式，
，被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，
是最简二次根式，
所以最简二次根式有，，
故答案为：，．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式，被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案．
此题主要考查了勾股定理，正确分析图形是解题关键．
【解答】
解：，
，
是直角三角形，
，，
，
点表示的实数是：．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：点，，，是平行四边形，
，，
将点向右平移个单位得到，
如图所示，

故答案为：．
根据题意画出图形，根据平行四边形的性质将点向右平移个单位得到，即可求解．
本题考查了坐标与图形性质、平行四边形的性质，数形结合是解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
是等腰三角形，是边上的中线，
是边上的高和的平分线，
，，，
，
是的平分线，
，
，
，
由作图可知是的平分线，
，
，
，
，
故答案为：．
由等腰三角形的性质得，，勾股定理求出，是的平分线和作图证是等腰直角三角形，然后解三角形即可求出的长．
本题考查了基本作图、等腰三角形的判定、等腰直角三角形、勾股定理；解决本题的关键是掌握画一个角的平分线的方法．
 

12.【答案】或 

【解析】解：如图所示．过点做的垂线交于，

设平行四边形的高为，
，
，，
在中，，即，
解得或．
当时，如左图所示，面积为；
当时，如右图所示，此时点与点重合，即为高，面积为．
故答案为：或．
设平行四边形的高为，则有，，在中，，即，解得或，再分别求解即可．
本题考查平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

13.【答案】解：

；
解：


； 

【解析】先利用二次根式的性质进行化简，然后合并同类二次根式，最后进行除法运算即可；
先分别进行负整数指数幂，算术平方根，零指数幂的运算，然后进行加减运算即可．
本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减运算，二次根式的除法运算，负整数指数幂，算术平方根，零指数幂等知识．解题的关键在于正确的运算．
 

14.【答案】解：，，
，
；



；




． 

【解析】把和的值直接代入变形后的代数式即可；
把和的值直接代入变形后的代数式即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，熟知整式和分式的加减法则是解题的关键．
 

15.【答案】解：，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
． 

【解析】根据直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
本题考查了直角三角形的性质，熟记知识点是解题关键．
 

16.【答案】证明：，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：于点，于点，
平行四边形的面积，
，
，
． 

【解析】证出，再由，即可得出结论；
由平行四边形的面积得，再由，得，即可求解．
本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，证出是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，等腰直角三角形即为所求．

中等腰直角三角形的面积为，
则正方形的面积为，它的边长为，
如图，正方形即为所求．
 

【解析】利用勾股定理可得，从而可得，结合网格特点找出点即可得；
先求出正方形的边长为，再结合网格特点和勾股定理画图即可得．
本题考查了勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握勾股定理与网格特点的结合是解题关键．
 

18.【答案】证明：，，，
，
，
故是直角三角形；
解：设，则，
，
，
，
解得，
故AB． 

【解析】根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
设，则，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：长方形的周长，
答：长方形的周长是；
购买地砖需要花费


元；
答：购买地砖需要花费元． 

【解析】长方形的周长是；
先求出空白部分的面积，再根据通道上要铺上造价为元每平方米的地砖列式计算即可．
本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．
 

20.【答案】   

【解析】解：，
故答案为：；
，
故答案为：；
，
证明如下，．
观察等式的规律，写出等式，将多项式乘多项式展开，化简，根据化简即可得出答案．
本题考查了探索规律，二次根式的乘除法，掌握的化简是关键．
 

21.【答案】，   

【解析】解：点、分别是，的中点，
，，
故答案为：，；

如图中，点、、分别是三边中点，
，，，，
，
四边形，四边形都是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形．
故答案为：；

结论：四边形是平行四边形．
理由：连接．

，，
，，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形．
利用三角形中位线定理求解；
根据平行四边形的判定判断即可；
连接，证明，，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理等知识，解题的关键是掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．
 

22.【答案】   

【解析】解：设两直角边分别为，，斜边为，
则图中，，
，
，故图符合题意；
图中，，，，
，
，故图符合题意；
图中，，
，
，
，
，故图符合题意；
这个图形中面积关系满足的有个，
故答案为：；
解：满足，证明如下：
由题意知，，，
；
由题意知，，，，，，
，
故答案为：．
设两直角边分别为，，斜边为，用，，分别表示正方形、圆、等边三角形的面积，根据，求解，，之间的关系，进而可得结果；根据，，，可得；
由题意知，，，，，，代入求解即可．
本题考查了勾股定理，勾股树．解题的关键在于正确的表示各部分的面积．
 

23.【答案】证明：，
，
在和中，，
≌，
，
则是的中线．
和是“朋友三角形”；
或 

【解析】

见答案
解：和是“朋友三角形”，
，
≌，
，
和是“朋友三角形”
，
，，
四边形 的面积；
拓展：解：分为两种情况：如图所示：
．
，
沿折叠和重合，
，
与重合部分的面积等于面积的，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
过作于，
，，
，
即和重合，
，由勾股定理得：，
的面积；
如图所示：
．
，
沿折叠和重合，
，
与重合部分的面积等于面积的，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
过作于，
，，
，
；
即的面积是或；
故答案为：或．
【分析】
应用：由证明≌，得出，是的中线，即可得出结论；
和是“友好三角形”，即可得到是的中点，则可以求得和梯形的面积的面积，根据即可求解．
拓展：画出符合条件的两种情况：求出四边形是平行四边形，求出和推出，根据三角形面积公式求出即可；求出高，求出的面积．即可求出的面积
此题是几何变换综合题，主要考查了平行四边形性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，解这个题的关键是能根据已知题意和所学的定理进行推理．题目比较好，但是有一定的难度．