湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2022-2023学年九年级下学期期中考试数学试题

这是一份湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2022-2023学年九年级下学期期中考试数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2022-2023学年九年级下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．实数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（    ）

A． B． C． D．
2．下列各式与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
4．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（　　）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1
5．下列说法正确的是（    ）
A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适
B．“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件
C．一组数据的中位数可能有两个
D．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式
6．如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞机高度AC为1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角为，则B、C之间的距离为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米
7．已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是（    ）
A． B． C． D．无法确定
8．如图，在中，，，，垂直平分，则的值为（    ）

A．12 B．
C．8 D．9
9．把分式中的分子、分母的、同时扩大2倍，那么分式的值（   ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．改变为原来的 D．不变
10．如图所示，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（　　）

A．1 B． C． D．

二、填空题
11．抛物线的顶点坐标为____________．
12．关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值为 __．
13．如图，一块含角的直角三角板ABC，，将其绕点顺时针旋转得到，当B，A，在一条直线上时，顶点所走的路径长为________．

14．已知一个多边形的内角和是，则这个多边形有__________条边．
15．如图，四边形内接于圆O，，则的度数是_______度．

16．有P、Q、R、S四个人去公园玩跷跷板，依据下面的示意图，则这四个人中最重的是__________．


三、解答题
17．计算：．
18．解方程：
19．如图：在平面直角坐标系中，等边的边长为4，

(1)求过点A的反比例函数的解析式；
(2)过点A作交x轴于点D，求直线的解析式．
20．我校初三年级举行了“湘一梦，初三梦”演讲比赛，小明同学将选手成绩划分为A，B，C，D四个等级绘制了两种不完整统计图．

根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)参加演讲比赛的学生共有 人，扇形统计图中 ， ，并把条形统计图补充完整；
(2)学校想从A等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加长沙市举办的演比赛，请利用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的概率，（男生分别用代码、表示，女生分别用代码，表示）
21．为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元．
(1)原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？
(2)在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？
22．如图，在□ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF．

（1）求证：AE＝CF；
（2）若AE平分∠BAD，BE＝3，求CD的长．
23．如图1，在中，，以为直径的分别交，于点，．点在的延长线上，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)如图2，在（2）的条件下，求的值．
24．如图1，已知正方形的边长为2，D、N分别是、的中点，连接．

(1)①线段与线段的位置关系是 ；
② ；
(2)将正方形放入平面直角坐标系中，如图2所示，点E在第一象限，且，．以直线为对称轴的抛物线过C，E两点，求抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为秒，过点作于点，当为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与相似？
25．定义：有一组对角互补且一组邻边相等的四边形叫做“完美四边形”．

(1)如图1，四边形是的内接四边形，且对角线平分，四边形_______（填“是”或者“不是”）“完美四边形”，若，且，则的直径为 ；
(2)如图2，四边形中，平分，于，．求证：四边形为“完美四边形”；
(3)如图3，在“完美四边形”中，，，，对角线与相交于点，设，，求与的函数关系式，并求的最大值．

参考答案：
1．B
【分析】由数轴易得，然后问题可求解．
【详解】解：由数轴可得：，
∴，
∴正确的是B选项；
故选B．
【点睛】本题主要考查数轴、绝对值的意义及实数的运算，熟练掌握数轴、绝对值的意义及实数的运算是解题的关键．
2．D
【详解】A、=2，故不与是同类二次根式，故此选项不符合题意；
B、=2，故不与是同类二次根式，故此选项不符合题意；
C、=5，故不与是同类二次根式，故此选项不符合题意；
D、=2，故，与是同类二次根式，故此选项符合题意；
故选：D．
3．D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的特征进行判断即可．
【详解】解：A选项是轴对称图形不是中心对称图形；
B选项是中心对称图形，也不是轴对称图形；
C选项是轴对称图形，不是中心对称图形；
D选项既是轴对称图形又是中心对称图形;
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题关键是抓住对称图形的特征，进行准确判断．
4．D
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．
【详解】∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴1+m=3，1﹣n=2，
解得：m=2，n=﹣1，
所以m+n=2﹣1=1，
故选D．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点，熟练掌握关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
5．D
【分析】根据统计图的选择，随机事件的定义，中位数的定义，抽样调查与普查逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用折线统计图最合适，故该选项不正确，不符合题意；
B. “煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，故该选项不正确，不符合题意；
C. 一组数据的中位数只有1个，故该选项不正确，不符合题意；
D. 为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了统计图的选择，随机事件的定义，中位数的定义，抽样调查与普查，掌握相关定义以及统计图知识是解题的关键．必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系．
6．A
【分析】利用正切的定义求解即可．
【详解】解：由题意，∠ABC=，∠ACB=90°，AC=1200，
∵tan=，
∴BC=，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟知正切tan=是解答的关键．
7．C
【分析】根据一次函数的增减性加以判断即可．
【详解】解：在一次函数y=2x+1中，
∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大．
∵2<，
∴．
∴m 故选：C
【点睛】本题考查了一次函数的性质、实数的大小比较等知识点，熟知一次函数的性质是解题的关键．
8．A
【分析】根据三角形的内角和求出，再根据垂直平分线的性质求出，然后解直角三角形计算．
【详解】如图，连接．

∵中，，，
∴．
∵垂直平分，
∴
∴
在中，,
∴，
即．
故选：A．
【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质及含角的直角三角形的性质等几何知识；求得是正确解答本题的关键．
9．D
【详解】分析：根据分式的基本性质进行判断即可.
详解：根据分式的基本性质可得把分式中的分子、分母的、同时扩大2倍，分式的值不变．
故选D．
点睛：考查分式基本性质，熟记分式基本性质是解题的关键.
10．D
【详解】连接DB，作DH⊥AB于H，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=BC=CD，而∠A=60°，∴△ABD和△BCD都是等边三角形，∴∠ADB=∠DBC=60°，AD=BD，在Rt△ABH中，AH=1，AD=2，∴DH=，在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF，∴∠2=∠1，DE=DF，∴∠1+∠BDE=∠2+∠BDE=∠ADB=60°，∴△DEF为等边三角形，∴EF=DE，而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为，∴EF的最小值为．故选D．

11．
【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为即可求出．
【详解】∵二次函数的顶点坐标为，
∴抛物线的顶点为（1，-3）．
故答案为：（1，-3）．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，需熟练理解二次函数顶点式的顶点坐标为．
12．5
【分析】根据一元二次方程根的定义把代入中得到关于a的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：把代入中得，
解得．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知的值是解题的关键．
13．
【分析】得出点C经过的路径是圆心角，半径为的弧，代入弧长公式计算即可．
【详解】：在中，
∵，
∴，
∵绕点C顺时针方向旋转到的位置，
∴，
∴点C经过的路径是圆心角，半径为的弧，
∴顶点所走的路径长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，旋转的性质，弧长公式等知识，确定点B的运动路径是解题的关键．
14．6/六
【分析】根据多边形内角和的公式求解即可．
【详解】解：设这个多边形为边形，由题意可得：，
解得，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了多边形内角和，解题的关键是掌握多边形内角和的公式．
15．
【分析】先根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质求的度数．
【详解】∵，
∴，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
16．
【分析】根据跷跷板得到不等式或者等式，据此解答即可．
【详解】由图1可知：，
由图2可知：，
∴，
∴，
由图3可知：，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
所以最重，
故答案为：．
【点睛】此题考查了杠杆和不等式的有关知识，利用跷跷板的不平衡来判断四个数的大小，体现了数形的结合的数学思维．
17．
【分析】先根据一个数的负指数幂等于正指数幂的倒数，一个不等于零的数的零指数幂为１，一个数的绝对值是非负数，特殊角三角函数值sin60°=，求出各项的值即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查实数的混合运算；特殊角三角函数值．

18．无解．
【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，然后检验，即可得到分式方程的解．
【详解】解：整理得：，
两边同时乘以最简公分母：，
整理得：，
解得：，
经检验：使得，故舍去，
∴原分式方程无解．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，找准最简公分母转化为整式方程，牢记检验是解决本类题目的关键．
19．(1)
(2)

【分析】（1）作轴，垂足为点E，根据等边的边长求出A点的坐标即可求解；
（2）在中首先求出，然后确定D点坐标，从而利用待定系数法求解析式即可．
【详解】（1）解：如图，作轴，垂足为点E，
∵等边的边长为4，
∴，，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；

（2）在中，，，
∴，，
∴，
设的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，理解反比函数的定义以及待定系数法求函数解析式是解题关键．
20．(1)
(2)

【分析】（1）根据D等级可以求出参加演讲比赛的学生数，然后由扇形统计图的知识，可求得的值，继而补全统计图；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A等级中一男一女参加比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）根据题意得：参加演讲比赛的学生共有：（人），
∴，
∴，
∵，
∴；
B等级人数人
如图：

故答案为：；
（2）画树状图得：
，
∵共有12种等可能的结果，A等级中一男一女参加比赛的有8种情况，
∴A等级中一男一女参加比赛的概率为：．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．(1)原计划篮球买40个，则足球买20个
(2)篮球最多能买24个

【分析】（1）设原计划篮球买x个，则足球买y个，根据：“恰好能够购买篮球和足球共60个、原计划募捐5600元”列方程组即可解答；
（2）设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个，根据“实际收到捐款共6890元”列不等式求解即可解答．
【详解】（1）解：设原计划篮球买x个，则足球买y个，根据题意得：
，解得：．
答：原计划篮球买40个，则足球买20个．
（2）解:设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个，
根据题意得：100a+80（80﹣a）≤6890，
解得：a≤24.5，
答：篮球最多能买24个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程组和不等式．
22．（1）见解析；（2）CD＝3．
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得AD=BC，AD//BC，则利用BE=DF得到AF=EC，则可判断四边形AECF为平行四边形，从而利用平行四边形的性质得到结论；
（2）由在中，AE平分∠BAD，易得△ABE是等腰三角形，即可得CD=AB=BE=3．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD//BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣AF＝BC﹣BE，即AF＝EC，
而AF//EC，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AE＝CF；
（2）解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵在中，AD//BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BA＝BE＝3，
∴CD＝BA＝3．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行四边形的性质有：平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．
23．(1)证明见解析
(2)
(3)

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，由于，则，则根据切线的判定即可得证；
（2）先利用勾股定理计算出，再证明，然后利用相似比可计算出；
（3）作于，如图2，利用可得，再证明，利用相似比可计算出，，则，然后在中，利用正切的定义求解．
【详解】（1）证明：∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
（2）解：∵为的直径，，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的长为．
（3）过点作于，如图2，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，．
∴的值为．

【点睛】本题考查切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，锐角三角函数等知识点．
24．(1)①垂直；②；
(2)；
(3)或．

【分析】（1）①由题意证明，得到，再由，，可得，则问题可解；
②过点A做于点E，由（1）中条件证明，得到；再由平行线分线段成比例定理，证明，进而得到，则问题可证；
（2）过点E作轴于G点，根据一线三垂直模型证明，得到点E的坐标为，可设抛物线的解析式为，将C，E点的坐标代入解析式，求出a和k，化成一般式即可；
（3）①若时，易得，进而证明四边形是矩形，则，解得；②若时，则，，据此证明，，由勾股定理求得，，由解得，则，问题可解．
【详解】（1）解：①∵四边形是正方形，
∴，．
∵D、N分别是、的中点，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
则线段与线段的位置关系是垂直．
故答案为：垂直．
②过点A做于点E，
∴由①．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵，D是的中点，
∴
即．
∴．
∴为等腰直角三角形．
∴．
故答案为：．

（2）过点E作轴于G点，
∵四边形是边长为2的正方形，D是的中点，
∴．
∵轴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
在和中，
，，．
∴，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，点E的坐标为.
∴抛物线的对称轴为直线即直线，
∴可设抛物线的解析式为，
将C，E点的坐标代入解析式，得:
，
解得:
，
∴抛物线的解析式为．

（3）①若，则，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
②若，
则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
综上所述，或时，以点P，F，D为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题综合考查全等三角形的性质与判定、正方形的性质、相似三角形的性质以及用待定系数法求二次函数的解析式，解答关键是充分利用三角形全等或者相似求得数据或构造方程．
25．(1)是，
(2)见解析
(3)，当时，有最大值，最大值为2

【分析】（1）根据四边形中和互补，且一组邻边和相等即可判定；根据勾股定理即可得到直径的长度；
（2）在上截取一点，使得，连接，根据中垂线的性质即可得到，，再通过证明，即可得到，最后通过边与角的转换，即可得到答案；
（3）根据，对应边成比例先表示出，再过点作于，在中表示出的长，代入计算即可．
【详解】（1）解：四边形是的内接四边形，
四边形的两组对角互补，
对角线平分，
，
，
四边形是完美四边形，
，
是直径，
，
，
，
故答案为：是，；
（2）证明：如图所示：在上截取一点，使得，连接，
，
，
，，
，，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
四边形为“完美四边形”；
（3）解：如图所示，画出四边形的外接圆，过点作，垂足为，
，
设，，则，
，，
为等边三角形，，
，
在中，，，
，
，
在中，，
，，
，
，
，  
，
，
代入计算得，
，
当时，有最大值，最大值为2．
【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形，三角形全等和相似，面积转换等知识，熟练掌握圆的内接四边形的性质、三角形全等和相似的条件并准确计算是解题的关键．