湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题

这是一份湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的倒数是（　　）
A．2023 B． C． D．
2．图是由四个完全相同的正方体组成的几何体，这个几何体的左视图是 (   )

A． B． C． D．
3．截至北京时间12月9日6时38分，全球新冠病毒确诊人数突破例，数据用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A．2 B．±3 C．3 D．4
5．《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出元，则差元；每人出元，则差元．求人数和羊价各是多少？设买羊人数为人，则根据题意可列方程为(   )
A． B．
C． D．
6．如图，是的直径，若，则的度数为（     ）

A． B． C． D．
7．我校书法兴趣小组20名学生日练字页数如下表所示：
日练字页数/页
2
3
4
5
6
人数/人
2
6
5
4
3

这些学生日练字页数的中位数、众数分别是（    ）A．3，4 B．3，5 C．4，3 D．5，4
8．在平行四边形ABCD中，∠B＝110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F＝（　　）

A．110° B．30° C．50° D．70°
9．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤：（1）分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交M、N；（2）作直线MN，交AB于D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝25°，则下列结论中错误的是（　　）

A．直线MN是线段BC的垂直平分线
B．点D为△ABC的外心
C．∠ACB＝90°
D．点D为△ABC的内心
10．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空当处，那么，满足上述要求排法的方案有（    ）．
A．1种 B．2种 C．4种 D．0种

二、填空题
11．分解因式：____
12．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则a的值约为_____．
13．如果关于x的方程x2-x+k=0（k为常数）有两个相等的实数根，那么k=_______．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（x＞0）与矩形OABC的AB边交于点E，且AE：EB＝1：2，则矩形OABC的面积为_____．

15．如图，AB为⊙O的直径，弦于点E，已知，则⊙O的半径为__________．

16．当前，国内疫情防控阶段性成效进一步巩固，为了全面推进复工复产促进消费，五一期间百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为元的商品，共节省元，则用贵宾卡又享受了_________折优惠？

三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．长沙电视塔位于岳麓山顶峰，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身．某校数学社团的同学对长沙电视塔的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至B处，测得仰角为．（参考数据：）

(1)求证：；
(2)若学生的身高忽略不计，求该塔的高度？（结果精确到）
20．为庆祝中国共产党建党100周年，周南集团某校组织全体学生进行了党史知识学习，并举行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，学生的得分为整数，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级（81—90分）为一等奖，C级（71—80分）为二等奖，D级（70分及以下）为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：

(1)本次被抽取的部分学生人数是________人；
(2)扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是________，并把条形统计图补充完整；
(3)九年级一班有4名获特等奖的学生小明、小亮、小聪、小军，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小军被选中的概率．
21．四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．

（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若BC＝8，DE＝3，求△AEF的面积．
22．某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
23．如图，为的直径，C为上一点，D为延长线上一点，．

(1)求证：为的切线；
(2)若的半径为5，，求和的长．
(3)在（2）的条件下，线段分别交于点E，F且，求的长．
24．在平面直角坐标系中，设直线的解析式为：（、为常数且），当直线与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．
(1)求直线与双曲线的切点坐标；
(2)已知抛物线（、、为常数且）经过两点和，若直线与抛物线相切，求的值
(3)已知直线（、为常数）与抛物线相切于点，设二次函数（、、为常数且，为整数），对一切实数x恒有，求二次函数的解析式．
25．若凸四边形的两条对角线所夹锐角为，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”

(1)①在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有_________；
②若矩形ABCD是“美丽四边形”，且，则_______；
(2)如图1，“美丽四边形”ABCD内接于，AC与BD相交于点P，且对角线AC为直径，，求另一条对角线BD的长；
(3)如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD的四个顶点，B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，且四边形ABCD的面积为，若二次函数（a、b、c为常数，且）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．

参考答案：
1．D
【分析】根据倒数的定义，进行求解即可．
【详解】解：的倒数是；
故选D．
【点睛】本题考查倒数．熟练掌握互为倒数的两数之积1，是解题的关键．
2．C
【分析】根据物体的左视图是从左边看到的图形判断即可．
【详解】解：从左边看是竖着叠放的2个正方形，
故选C．
【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，属于基础题型，掌握简单几何体的三视图是解题的关键．
3．B
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4．C
【分析】根据二次根式的乘除运算法则以及利用二次根式的性质化简，逐项计算，即可判断．
【详解】A、2，故此选项错误；
B、3，故此选项错误；
C、3，正确；
D、44=2，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则以及二次根式的性质化简是解题的关键．
5．A
【分析】设买羊人数为人，根据每人出元，则差元；每人出元，则差元，列出一元一次方程．
【详解】设买羊人数为人，则根据题意可列方程为：

故选：A
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列一元一次方程解应用题的基本过程可概括为：审、设、列、解、检、答．即：审：理解题意，分清已知量和未知量，明确各数量之间的关系．设：设出未知数（直接设未知数或间接设未知数）．列：根据题目中的等量关系列出需要的代数式，进而列出方程．
6．C
【分析】连接，得，求出的度数，由同弧所对圆周角相等即可得出结论．
【详解】解：连接，

是的直径，
，
，
，

故选：．
【点睛】本题主要考查了圆周角的有关定理，作出辅助线，构建直角三角形，是解本题的关键．
7．C
【分析】根据中位数、众数的定义分别进行解答，即可得出答案．
【详解】解：共有个数，最中间两个数的平均数是，则中位数是；
出现了次，出现的次数最多，则众数是．
故选：C．
【点睛】本题考查中位数、众数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．掌握中位数、众数的定义是本题的关键．
8．D
【分析】要求∠E+∠F，只需求∠ADE，而∠ADE＝∠A与∠B互补，所以可以求出∠A，进而求解问题．
【详解】解：∵平行四边形ABCD中AD//BC，AB//CD，
∴∠A＝∠ADE＝180°﹣∠B＝70°，
∵∠E+∠F＝∠ADE，
∴∠E+∠F＝70°；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质应用，准确分析计算是解题的关键．
9．D
【分析】根据垂直平分线的性质和三角形外接圆、圆周角性质判断即可．
【详解】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，
∴DC＝DB，
∵DC＝DA，
∴DC＝DB＝DA，
∴点D是△ACB的外心， AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
故选项A，B，C正确，
答案：D．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和三角形的外接圆、圆周角性质，解题关键是熟练掌握相关性质，准确进行推理判断．
10．B
【详解】选B．理由：设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为，由题意可知，
即．
因为k，n都是正整数，且，所以，且n与的奇偶性不同．
将200分解质因数，可知或．
当时，；当时，．
因此共有两种不同方案．
11．
【详解】试题分析：首先提取公因式b，然后根据完全平方公式进行因式分解．原式＝＝
考点：（1）因式分解；（2）提取公因式法；（3）完全平方公式
12．30．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【详解】由题意可得，×100%＝20%，
解得，a＝30．
故答案为30．
【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
13．．
【分析】根据根的判别式得到△=（-1）2-4k=0，然后解关于k的方程即可．
【详解】根据题意得△=（-1）2-4k=0，
解得k=．
故答案为.
14．12
【分析】设E点的坐标是（a，b），根据已知得出ab＝4，AE＝a，BE＝2a，求出OA＝b，AB＝3a，再根据矩形的面积公式求出即可．
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAB＝90°，
设E点的坐标是（a，b），
∵双曲线y＝（x＞0）与矩形OABC的AB边交于点E，且AE：EB＝1：2，
∴ab＝4，AE＝a，BE＝2a，
∴OA＝b，AB＝3a，
∴矩形OABC的面积是AO×AB＝b•3a＝3ab＝3×4＝12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出ab=4是解此题的关键．
15．5
【详解】解：设圆的半径为r，连接OC，

根据垂径定理可知CE=3，OE=r-1，
，
解得r=5．
故答案为5．
16．九
【分析】设用贵宾卡又享受了x折优惠，根据“持贵宾卡买了标价为元的商品，共节省元”建立一元一次方程，然后求解即可．
【详解】设用贵宾卡又享受了x折优惠
由题意得：
解得
即用贵宾卡又享受了九折优惠
故答案为：九．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．
17．．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和算术平方根的性质分别化简得出答案．
【详解】解：

．
【点睛】本题主要考查了实数运算和特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．
18．；1
【分析】括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将代入计算即可求出值．
【详解】解：


当时，原式=
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解本题的关键．
19．(1)见解析；
(2)

【分析】（1）由题意易得：，即可证得是等腰三角形，
（2）然后利用三角函数，求得答案．
【详解】（1）证明：根据题意得：，
∴，
∴，
∴，
（2）∵，，
∴，

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．注意证得是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键．
20．(1)60
(2)108°；条形统计图补充完整见解析
(3)小军被选中的概率为

【分析】（1）利用C组抽样人数及百分占比即可求解；
（2）扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是：360°×B级占比即可求得，求出D级人数，补全条形统计图；
（3）把小明、小亮、小伟、小军分别记为A、B、C、D，画树状图找到所有可能情况数和小军被选中的情况数，根据概率公式即可求解．
【详解】（1）解：本次抽样测试的人数为：24÷40%=60（人），
故答案为：60；
（2）解：扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是：360°×=108°，
条形图中，D级的人数为：60−3−18−24=15（人），
把条形统计图补充完整如图：

故答案为：108°；
（3）解：把小明、小亮、小伟、小军分别记为A、B、C、D，
画树状图如图：

共有12种等可能的结果，小军被选中的结果有6种，
则小军被选中的概率为：．
【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图的综合应用，用列表法或树状图法求概率．关键在仔细分析和对应数据的计算；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）先根据正方形的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）先根据勾股定理求出的长，再根据全等三角形的性质可得，然后根据角的和差可得，最后利用直角三角形的面积公式即可得．
【详解】证明：（1）四边形是正方形，
，
，
在和中，
∵，
；
（2）四边形是正方形，，
，
，
，
由（1）已证：，
，
，
则的面积为．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．
22．（1）甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；（2）他们最多可购买11棵乙种树苗．
【分析】（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；
（2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可．
【详解】（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，
依题意有，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，
x+10=30+10=40，
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；
（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有
30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，
解得y≤11，
∵y为整数，
∴y最大为11，
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系与不等关系列出方程或不等式是解决问题的关键.
23．(1)见解析
(2)，；
(3)．

【分析】（1）根据圆周角定理得：∠ACB=∠BCO+∠OCA=90°，根据同圆的半径相等和已知相等的角代换可得：∠OCD=90°，可得结论；
（2）先根据三角函数计算，证明，得，设设，利用勾股定理列方程可得x的值，据此即可求解；
（3）证明，列比例式可得的长．
【详解】（1）证明：连接，

∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴为的切线；
（2）解：∵的半径为5，
∴，
中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
中，，
，
（舍）或，即，
∴；
（3）解：∵，
∴，
设，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．(1)
(2)或
(3)

【分析】（1）联立直线和双曲线解析式得到关于的一元二次方程，由相切的定义得出的值，解之可得；
（2）由抛物线过轴上两点知抛物线解析式可表示为，联立直线和抛物线解析式得到关于的一元二次方程，由相切的定义知该方程有两个相等的实数根，据此可得的值；
（3）由题意得直线和抛物线都经过点，据此知，①，根据与相切求得，，可得出直线的解析式为，再由对于一切实数恒有知对于一切实数恒有，据此求得整数②，联立得，根据知③，联立①②③求解可得．
【详解】（1）解：联立，
∴，
解得：，
∴切点坐标为．
（2）∵抛物线（、、为常数且）经过两点和，
∴抛物线解析式可表示为，
联立，得：，
由抛物线和直线相切知且，
∴，
解得：，
∴的值为或．
（3）由题意得直线和抛物线都经过点，
∴，①，
∴，
联立，得，
∵直线（、为常数）与抛物线相切于点，
∴，
解得：，
∴，
∴直线的解析式为，
∵对一切实数恒有，
∴对一切实数恒有，
当时，有，
∵为整数，
∴②，
联立，得：，
∴，
∴③，
联立①②③，得：，，，
∴二次函数的解析式为．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，理解并熟练运用直线和曲线相切的定义及一元二次方程根的判别式等知识点．
25．(1)①菱形、正方形；②或；
(2)；
(3)的值为或．

【分析】（1）①由菱形、正方形的对角线互相垂直即可判断；
②矩形对角线相等且互相平分，再加上对角线夹角为，即出现等边三角形，所以得到矩形相邻两边的比等于．由于边不确定是较长还是较短的边，故需要分类讨论计算；
（2）过点作垂直，连接，由可求得，在中勾股定理可求，再由垂径定理可得；
（3）由与轴成角可知直线解析为，由二次函数图象与轴交点为、可设解析式为，把两解析式联立方程组，消去后得到关于的一元二次方程，解即为点、横坐标，所以用韦达定理得到和进而得到用表示的．又由四边形面积可求得，即得到关于的方程并解方程求得．
【详解】（1）解：①∵菱形、正方形的对角线互相垂直
∴菱形、正方形不是“美丽四边形”．
故答案为：菱形、正方形；
②设矩形对角线相交于点
∴，，，，
∴
∵矩形是“美丽四边形”
∴、夹角为60°，
若为较短的边，则

∴是等边三角形，,
∴
∴中，，
∴，
若为较长的边，则

∴是等边三角形
∴
∴中，
∴，
故答案为：或．
（2）过点作垂直于点，连接，

∴，，
∵，，
∴直径
∴
∴
∵四边形是“美丽四边形”
∴
∴中，，
∴，
∴中，，
∴；
（3）过点作轴于点，过点作轴于点，

∴，
∵四边形是“美丽四边形”
∴
∴，即，
∴直线解析式为，
∵二次函数的图象过点、，即与轴交点为、，
∴用交点式设二次函数解析式为，
∵，整理得：，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴
∴
解得：，，
∴的值为或．
【点睛】本题考查了新定义的理解和性质应用，菱形、正方形的性质，矩形的性质，特殊三角函数的应用，垂径定理，一次函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．解题的关键是理解题意，学会利用方程思想解决问题．