2023届河南省TOP二十名校高三下学期四月冲刺考（一）数学（文）试题含解析

2023届河南省TOP二十名校高三下学期四月冲刺考（一）数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义求解作答.

【详解】集合，而，

所以.

故选：B

2．已知复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】转化为动点到两定点距离相等的几何意义即可得到答案.

【详解】设复数在复平面内对应的点分别为,

则的几何意义是到的距离和到的距离相等,

则在复平面内对应的点满足.

故选：D.

3．下列直线中，可以作为曲线的对称轴的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式化简函数式，再利用正弦函数的性质，逐项代入验证作答.

【详解】，

对于A，当时，，则是曲线的对称轴，A是；

对于B，当时，，则不是曲线的对称轴，B不是；

对于C，当时，，则不是曲线的对称轴，C不是；

对于D，当时，，则不是曲线的对称轴，D不是.

故选：A

4．设x，y满足约束条件，则的最大值为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】C

【分析】作出可行域，利用其几何意义转化为截距最值即可得到答案.

【详解】作出可行域如图中阴影部分所示,

化为，

当直线经过点时，纵截距最大,

联立，解得，则，

此时.

故选：C.

5．已知曲线，过曲线上A，B两点分别作曲线的切线交于点P，AP⊥BP．记A，B两点的横坐标分别为，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【分析】分段求出函数的导数，利用导数的几何意义结合垂直关系求解作答.

【详解】当时，，当时，，

依题意，曲线在点A，B处的切线互相垂直，则在1的两侧，不妨令，

因此，解得.

故选：B

6．尿酸是鸟类和爬行类的主要代谢产物，正常情况下人体内的尿酸处于平衡的状态，但如果体内产生过多来不及排泄或者尿酸排泄机制退化，则体内尿酸滞留过多，当血液尿酸浓度大于7mg/dL时，人体体液变酸，时间长会引发痛风，而随低食物（低嘌呤食物）对提高痛风病人缓解率、降低血液尿酸浓度具有较好的疗效．科研人员在对某类随低食物的研究过程中发现，在每天定时，定量等特定条件下，可以用对数模型描述血液尿酸浓度（单位：mg/dL）随摄入随低食物天数t的变化规律，其中为初始血液尿酸浓度，K为参数．已知，在按要求摄入随低食物50天后，测得血液尿酸浓度为15，若使血液尿酸浓度达到正常值，则需将摄入随低食物的天数至少提高到（）（    ）

A．69 B．71 C．73 D．75

【答案】D

【分析】代入得，设浓度为7mg/dL时，摄入天数为，则有，通过作差解出即可.

【详解】由函数模型，当时,,

可得,即①.

设血液尿酸浓度达到正常值7mg/dL时，摄入天数为,

则，即②,

②①得，即，则.

故选：D.

7．如图是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据给定的函数图象特征，利用函数的奇偶性排除BC；利用的正负即可判断作答.

【详解】对于B，，，函数是偶函数，B不是；

对于C，，，函数是偶函数，C不是；

对于D，，，D不是；

对于A，，，函数是奇函数，

且，A符合题意.

故选：A

8．已知拋物线C：焦点为F，准线为l，点在C上，直线AF与l交于点B，则（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】A

【分析】点在C上，代入抛物线方程可得，过点A作l的垂线，垂足为H， l与x轴交于点G，有，所以为中点，可求.

【详解】由在上，有，得，所以，，

过点A作l的垂线，垂足为H，由抛物线的定义可知，设l与x轴交于点G，则，有，又，所以为中点，有，．

故选：A．

9．在正方体中，M，N，P分别为，，的中点，则下列结论中错误的是（    ）

A． B．平面平面

C． D．平面平面

【答案】D

【分析】求得与位置关系判断选项A；求得平面与平面位置关系判断选项B；求得与位置关系判断选项C；求得平面与平面位置关系判断选项D.

【详解】对A，在中，因为，分别为，的中点，

所以．又，所以，A正确．

对B，在中，因为，分别为，的中点，

所以．因为平面，平面，

所以平面．

因为，平面，平面，

所以平面．又因为，平面，

所以平面平面，B正确．

对C，因为，，所以，C正确．

对D，取的中点，连接，，则是二面角的平面角．

设正方体棱长为a，则，

又，则，所以平面与平面不垂直．

又平面平面，所以平面与平面不垂直，D错误．

故选：D．

10．已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆交于A，B两点，则当最大时，（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】D

【分析】根据给定条件，结合等腰三角形性质确定顶角最大的条件，再借助直角三角形求解作答.

【详解】依题意，在中，，如图，

显然，是锐角，，又函数在上递增，

因此当且仅当公共弦最大时，最大，此时弦为圆的直径，

在中，，所以.

故选：D

11．已知无穷数列满足：如果，那么，且，，，是与的等比中项．若的前n项和存在最大值S，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】由是与的等比中项求出，再分情况计算判断作答.

【详解】由是与的等比中项，得，

若，由及已知，得，由，得，则，

因此数列的项依次为：，数列是以4为周期的数列，

显然，数列单调递增，无最大项，因此数列的前项和无最大值；

若，同理可得数列的项依次为：，数列是以4为周期的数列，

，

数列是以4为周期的数列，且，此时的前n项和存在最大值，

所以的最大值.

故选：B

12．已知圆台的上、下底面半径分别为r，R，高为h，平面经过圆台的两条母线，设截此圆台所得的截面面积为S，则（    ）

A．当时，S的最大值为

B．当时，S的最大值为

C．当时，S的最大值为

D．当时，S的最大值为

【答案】D

【分析】通过将圆台补成圆锥，利用图形分和讨论即可.

【详解】如图,将圆台补成圆锥.

设圆台的母线长为,则,等腰梯形为过两母线的截面.

设，由，得,

则，

当时，，当最大，即截面为轴截面时面积最大，

则的最大值为.

当时,，当时，截面面积最大，

则的最大值为.

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题的关键的是通过补图，利用三角形相似和三角形面积公式得到，然后再分和讨论即可.

二、填空题

13．已知向量，，写出一个与垂直的非零向量______．

【答案】（答案不唯一）

【分析】首先计算，设，利用垂直则数量积为0有，赋值即可.

【详解】由题意可知,设,则,

取,则,则与垂直的非零向量可以为，

故答案为：.

14．从A，B等5处水样监测点中随机选3处进行水样检测，则A，B不同时入选的概率为______．

【答案】/0.7

【分析】对另外3处水样监测点编号，利用列举法结合古典概率求解作答.

【详解】设5处水样监测点分别为,,,,，从中随机选择3处的结果有：

，共10种情况，

其中,同时入选的有，共3种情况，

所以,不同时入选的概率.

故答案为：

15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则______．

【答案】1

【分析】利用正弦定理及三角恒等变换得，则，求出的大小，再求出的大小，最后得到角，则得到.

【详解】由和正弦定理得,

则有,整理得，，则，

，又，则由正弦定理有，

，

故答案为：1,

16．已知双曲线C：的左顶点为A，P为C的一条渐近线上一点，AP与C的另一条渐近线交于点Q，若直线AP的斜率为1，且A为PQ的三等分点，则C的离心率为______．

【答案】

【分析】写出直线的方程为，将其分别与双曲线渐近线联立解出的纵坐标，根据为的三等分点，得到关于的方程，最后化为关于的齐次方程，即可得到离心率.

【详解】不妨设点在第二象限，直线的方程为，

联立，得点的纵坐标;

联立，得点的纵坐标.

由为的三等分点,可知，则有，整理得,

则，则，故的离心率.

故答案为：.

三、解答题

17．已知数列，等差数列满足，，．

(1)证明：；

(2)若为等差数列，求的前n项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设数列的公差为，则有，结合即可求出，再升次作差即可证明.

（2）设数列的公差为，由（1）解得，结合求出，再利用等差数列求和公式即可得到答案.

【详解】（1）设数列的公差为，由，得，

由，得，故,

即①

递推,得②

①②得，

故得证.

（2）若为等差数列，设公差为，

由,可得，则.

又，，，

的前项和.

18．太平洋是地球上岛屿最多的大洋，有大小岛屿2万多个，岛屿面积约占世界岛屿总面积的45%，蕴藏着丰富的动植物资源．为了解太平洋某海域的岛屿上植物种数的生态学规律，随机选择了6个岛屿，搜集并记录了每个岛屿的植物种数（单位：个）和岛屿面积（单位：平方千米），整理得到如下数据：

并计算得，．

(1)由数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系．根据表中前4号样本数据，求y关于x的线性回归方程；

(2)根据所求的线性回归方程计算第5，6号样本植物种数的预报值，并与相应植物种数的真实值y进行比较．若满足，则可用此回归方程估计该海域其他岛屿的植物种数，并估计面积为100平方千米的岛屿上的植物种数；若不满足，请说明理由．

参考公式：，．

【答案】(1)；

(2)不能.

【分析】（1）根据给定数表，求出，再利用最小二乘法公式求解作答.

（2）利用（1）中线性回归方程，按要求计算并判断作答.

【详解】（1）依题意，，

，，

所以所求线性回归方程为.

（2）当时，，，

当时，，，

所以不能用此回归方程估计该海域其他岛屿的植物种数.

19．如图，在三棱锥中，，．

(1)证明：平面平面；

(2)设，为的中点，，求点到平面的距离．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）取的中点,连接，首先通过三角形全等证明，再利用面面垂直的判定即可证明；

（2）首先求出，再利用等体积法即可求出点到平面的距离.

【详解】（1）如图,取的中点,连接，

.

又为公共边，

，.

同理可得，，

，，

，

又，平面，平面,

平面平面平面.

（2）在中,为的中点，，

在中,为的中点，

在Rt中,,则,

平面，为三棱锥的高，

三棱锥的体积.

由,

可得的面积.

设点到平面的距离为,

由,

得,解得,

故点到平面的距离为.

20．已知椭圆C：的左顶点为A，P为C上一点，O为原点，，，的面积为1．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设B为C的右顶点，过点且斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，证明：．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）通过分析得，将其坐标代入椭圆方程，结合面积和的关系即可求出椭圆方程；

（2）设直线的斜率为,直线的斜率为,直线的方程为，再将其与椭圆联立得到韦达定理式，通过化简得，最后计算，将上式代入即可证明其为定值.

【详解】（1）不妨设点在轴的上方,由椭圆的性质可知.

是以为直角顶点的等腰直角三角形,

代人,得,整理得.

的面积为.

故椭圆的方程为.

（2）设直线的斜率为,直线的斜率为,

直线的方程为.

不妨设,则.

联立可得,

,则,

，即，

，

故得证.

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键第一是要找到正切值与直线斜率的关系，再通过设直线的方程为，将与椭圆联立，利用化积为和的方法得到，最后再计算斜率比值为定值，化积为和是处理非对称韦达形式的常用方法.

21．已知函数，为的导数．

(1)讨论的单调性；

(2)若直线与曲线有两个交点，求a的取值范围．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）设，对求导，分和讨论即可；

（2）分离参数得，设，利用导数研究其值域与图像即可.

【详解】（1）设的定义域为,.

当时,在上为增函数,在上单调递增;

当时,令,得.

若,则单调递增,

若,则单调递减.

综上,当时,在上单调递增;

当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.

（2）直线与曲线有两个交点,即关于的方程有两个解,

整理方程,得.

令,其中,

则.

令，则.

当时,,此时函数单调递增,

当时,,此时函数单调递减.

由,

得时,,则,

当时,,则,

当时,,则,

则函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,

则.

当趋近于时,趋近于0,即当时,;

当趋近于0时,趋近于,

作出如图所示图象：

故要使直线与曲线有两个交点,则需,

即的取值范围是.

【点睛】关键点睛：第二问的关键是首先将题意转化为方程有两解，再通过分离参数法得，则转化为直线与在图象上有两交点，再利用导数研究的图象与值域即可.

22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求，的直角坐标方程；

(2)若直线l与交于A，B两点，与交于C，D两点，，且，求．

【答案】(1):，:；

(2).

【分析】（1）消去参数化曲线的参数方程为普通方程，利用极坐标与直角坐标互化得的直角坐标方程.

（2）把直线l的参数方程分别与曲线，的直角坐标方程联立，利用韦达定理结合参数的几何意义求解作答.

【详解】（1）消去曲线参数方程中的参数，得的普通方程：，

由得，又，则有，

所以，的直角坐标方程分别为，.

（2）把代人，得，

整理得，设点,所对应的参数分别为，则，

把代人，得，

整理得，设点,所对应的参数分别为，则，，

，且，即与的中点重合，因此，

于是，而，解得，

，

所以.

23．已知a，b均不为零，且满足．证明：

(1)；

(2)．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据完全平方式有，再利用基本不等式即可证明；

（2）根据条件将原式化简为，再利用基本不等式即可证明.

【详解】（1），，

.根据基本不等式得,

当且仅当时,等号成立.整理得,

（2）

，

由基本不等式和不等式的性质,得，，

故，

当且仅当时,等号成立,